Teoria degli errori e fondamenti di statistica/5.10

by Maurizio Loreti

5.10 Ancora sull'errore quadratico medio

../5.9 ../6 IncludiIntestazione 18 aprile 2022 100% Da definire

Questo testo è stato riletto e controllato.

Maurizio Loreti - Teoria degli errori e fondamenti di statistica (2006)

5.10 Ancora sull'errore quadratico medio

◄

5.9

6

►

5.10 Ancora sullʼerrore quadratico medio

Diamo qui un’altra dimostrazione del teorema riguardante la stima corretta dell’errore quadratico medio di una popolazione a partire da un campione, seguendo una linea diversa e più vicina alle verifiche sperimentali che si possono fare avendo a disposizione numerosi dati.

Si supponga di avere $M$ campioni contrassegnati dallʼindice $j$ (con $j$ che assume i valori $1,\ldots ,M$); ciascuno di essi sia poi costituito da $N$ misure ripetute della stessa grandezza $x$, contrassegnate a loro volta dallʼindice $i$ ($i=1,\ldots ,N$): il valore osservato nella misura $i$-esima del campione $j$-esimo sia indicato insomma dal simbolo $x_{ij}$.

Indicando con $x^{*}$ il valore vero di $x$, e con ${\bar {x}}_{j}$ la media aritmetica del campione $j$-esimo, vale la

$\left(x_{ij}-x^{*}\right)^{2}$	$=$	${\Bigl [}\left(x_{ij}-{\bar {x}}_{j}\right)+\left({\bar {x}}_{j}-x^{*}\right){\Bigr ]}^{2}$
	$=$	$\left(x_{ij}-{\bar {x}}_{j}\right)^{2}+\left({\bar {x}}_{j}-x^{*}\right)^{2}+2\left({\bar {x}}_{j}-x^{*}\right)\left(x_{ij}-{\bar {x}}_{j}\right)$.

Ora sommiamo su $i$ tutte le $N$ uguaglianze che si hanno per i valori dellʼindice $i=1,2,\ldots ,N$ e dividiamo per $N$; se indichiamo con ${s_{j}}^{2}$ la varianza del campione $j$-esimo, data da

${s_{j}}^{2}={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\left(x_{ij}-{\bar {x}}_{j}\right)^{2}$

otteniamo alla fine

${\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\left(x_{ij}-x^{*}\right)^{2}={s_{j}}^{2}+\left({\bar {x}}_{j}-x^{*}\right)^{2}+{\frac {2}{N}}\left({\bar {x}}_{j}-x^{*}\right)\sum _{i=1}^{N}\left(x_{ij}-{\bar {x}}_{j}\right)$.

Lʼultima sommatoria a destra è la somma algebrica degli scarti delle misure del campione $j$-esimo dalla loro media aritmetica ${\bar {x}}_{j}$ che sappiamo essere identicamente nulla. Dunque, per ogni $j$ vale la

${\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\left(x_{ij}-x^{*}\right)^{2}={s_{j}}^{2}+\left({\bar {x}}_{j}-x^{*}\right)^{2}$

e se sommiamo membro a membro tutte le $M$ uguaglianze che abbiamo per $j=1,2,\ldots ,M$ e dividiamo per $M$, risulta

${\frac {1}{M}}\sum _{j=1}^{M}{\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\left(x_{ij}-x^{*}\right)^{2}={\frac {1}{M}}\sum _{j=1}^{M}{s_{j}}^{2}+{\frac {1}{M}}\sum _{j=1}^{M}\left({\bar {x}}_{j}-x^{*}\right)^{2}$.

Ora supponiamo di avere a disposizione moltissimi campioni e passiamo al limite per $M\rightarrow \infty$. Il primo membro (che rappresenta il valore medio, su tutti i dati e tutti gli infiniti campioni, del quadrato degli scarti dal valore vero) converge stocasticamente alla varianza della variabile casuale $x$; il secondo termine a destra (valore medio, su tutti gli infiniti campioni, del quadrato degli scarti della media aritmetica del campione dal proprio valore vero) converge alla varianza delle medie dei campioni di $N$ misure ${\sigma _{\bar {x}}}^{2}$.

Il primo termine a destra è il valore medio della varianza dei campioni di $N$ misure e, sostituendo, infine si trova

$~\sigma ^{2}$	$=$	$\lim _{M\rightarrow \infty }{\frac {1}{NM}}\sum \nolimits _{ij}\left(x_{ij}-x^{*}\right)^{2}$
	$=$	$\lim _{M\rightarrow \infty }{\frac {1}{M}}\sum _{j=1}^{M}{s_{j}}^{2}+\lim _{M\rightarrow \infty }{\frac {1}{M}}\sum _{j=1}^{M}\left({\bar {x}}_{j}-x^{*}\right)^{2}$
	$=$	$E(s^{2})\;+\;{\sigma _{\bar {x}}}^{2}.$

Ora, avendo già dimostrato che

${\sigma _{\bar {x}}}^{2}={\frac {\sigma ^{2}}{N}},$

si ricava facilmente

$\sigma ^{2}=E(s^{2})+{\frac {\sigma ^{2}}{N}}$

ovvero

$E(s^{2})={\frac {N-1}{N}}\sigma ^{2}$

che è il risultato già ottenuto.

Si noti che mentre molti teoremi della statistica sono validi solo asintoticamente, cioè per campioni numerosi o per un numero molto grande di variabili, questo teorema vale per ogni $N$ ($\geq 2$).