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Teoria degli errori e fondamenti di statistica/6.2

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6.2 La speranza matematica per le variabili continue

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6.2 La speranza matematica per le variabili continue
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6.2 La speranza matematica per le variabili continue

Possiamo ora determinare l’espressione della speranza matematica di una generica variabile casuale continua x; questa grandezza, che avevamo gia definito nell’equazione (5.1) come

per una variabile discreta, si dovra ora scrivere per una variabile continua

;

dove per si intende la funzione densità di probabilità della variabile casuale x.

Per ricavare questa formula, basta pensare di aver suddiviso l’asse delle x in un numero grandissimo di intervalli estremamente piccoli di ampiezza dx, ad ognuno dei quali è associata una probabilità anch’essa estremamente piccola che vale ; e sostituire poi nella formula per variabili discrete. In base al teorema di pagina 57 (il teorema di Čebyšef), le medie aritmetiche dei campioni finiti di valori della grandezza x tendono proprio a questo all’aumentare indefinito di N.

La speranza matematica di una qualsiasi grandezza funzione della variabile casuale x sarà poi

. (6.2)