Teoria degli errori e fondamenti di statistica/8.5.1
Questo testo è stato riletto e controllato. |
◄ | 8.5 | 8.5.2 | ► |
8.5.1 Applicazione: esperimenti “negativi”
Si osserva un numero di protoni per un tempo t, e non si registra alcun decadimento. Quale è il limite inferiore che si può dare sulla vita media del protone, , con una probabilità (livello di confidenza) del 95%?
L’evento casuale consistente nel non avere osservato alcun decadimento è somma logica di altri due eventi mutuamente esclusivi: o il protone è stabile (e non può quindi decadere); o il protone è instabile, e si sono inoltre verificati 0 decadimenti nel tempo di osservazione (supponiamo per semplicità che ognuno di essi abbia poi probabilità 1 di essere osservato).
In questa seconda eventualità, dalla (8.10) si può ricavare il numero medio di decadimenti attesi nel tempo t, che è
(supponendo che sia molto maggiore del periodo di osservazione t); e da esso la probabilità di osservare 0 eventi sempre nel tempo t, che è data dalla statistica di Poisson e vale
.
Quello che si domanda è di calcolare, assumendo come certa l’ipotesi che il protone sia instabile, il valore minimo che deve avere la sua vita media perché la probabilità di non osservare nulla sia almeno del 95%: e questo avviene quando
(abbiamo invertito il segno della disuguaglianza nell’ultimo passaggio perché è un numero negativo).