Teoria degli errori e fondamenti di statistica/8.5.5

by Maurizio Loreti

8.5.5 La distribuzione composta di Poisson

../8.5.4 ../8.5.6 IncludiIntestazione 30 agosto 2022 100% Da definire

Questo testo è stato riletto e controllato.

Maurizio Loreti - Teoria degli errori e fondamenti di statistica (2006)

8.5.5 La distribuzione composta di Poisson

◄

8.5.4

8.5.6

►

8.5.5 La distribuzione composta di Poisson

La distribuzione composta di Poisson è quella seguita da una variabile che sia somma di un numero casuale N di valori di un’altra variabile casuale x, quando sia N che x seguono singolarmente delle distribuzioni di Poisson. Indichiamo con $\nu$ e $\xi$ i valori medi delle popolazioni delle variabili N e x rispettivamente; le funzioni caratteristiche (di variabile complessa) ad esse associate sono date, come sappiamo, dalla (8.17):

$\phi _{N}(z)=e^{\nu (z-1)}$

e

$\phi _{x}(z)=e^{\xi (z-1)}$;

ricordando la (6.14), la variabile casuale

$S=\sum _{i=1}^{N}x_{i}$

ha funzione caratteristica di variabile complessa

$\phi _{S}(z)=\phi _{N}{\bigl [}\phi _{x}(z){\bigr ]}\;=\;e^{\nu \left[e^{\xi (z-1)}-1\right]}$

e funzione caratteristica di variabile reale

$\phi _{S}(t)=e^{\nu \left[e^{\xi (e^{it}-1)}-1\right]}$;

da quest’ultima poi si ricava

${\frac {\mathrm {d} \,\phi _{S}(t)}{\mathrm {d} t}}=\phi _{S}(t)\cdot \nu \,e^{\xi (e^{it}-1)}\cdot \xi \,e^{it}\cdot i$

ed infine

$\left.{\frac {\mathrm {d} \,\phi _{S}(t)}{\mathrm {d} t}}\right|_{t=0}=i\nu \xi$.

La speranza matematica di una variabile che segua la distribuzione composta di Poisson vale quindi

$E(S)=\nu \xi$,

e, similmente, si potrebbero ottenere

${\text{Var}}(S)=\nu \xi (1+\xi )$

per la varianza, e

$\Pr(S)=\sum _{N=0}^{\infty }\left[{\frac {(N\xi )^{S}}{S!}}\,e^{-N\xi }\cdot {\frac {\nu ^{N}}{N!}}\,e^{-\nu }\right]$

per la funzione di frequenza.

Quest’ultima formula non sorprende: è la somma (su tutti i valori ammissibili) della probabilità di ottenere un determinato N, moltiplicata per la probabilità di ottenere il valore di S condizionato da quello di N; infatti la somma di N variabili indipendenti distribuite secondo Poisson con valore medio $\xi$ è ancora, in base a quanto dedotto dall’equazione (8.18), una variabile distribuita secondo Poisson e con valore medio $N\xi$.