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Teoria degli errori e fondamenti di statistica/8.5.5

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8.5.5 La distribuzione composta di Poisson

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8.5.5 La distribuzione composta di Poisson

La distribuzione composta di Poisson è quella seguita da una variabile che sia somma di un numero casuale N di valori di un’altra variabile casuale x, quando sia N che x seguono singolarmente delle distribuzioni di Poisson. Indichiamo con e i valori medi delle popolazioni delle variabili N e x rispettivamente; le funzioni caratteristiche (di variabile complessa) ad esse associate sono date, come sappiamo, dalla (8.17):

e ;

ricordando la (6.14), la variabile casuale

ha funzione caratteristica di variabile complessa

e funzione caratteristica di variabile reale

;

da quest’ultima poi si ricava

ed infine

.

La speranza matematica di una variabile che segua la distribuzione composta di Poisson vale quindi

,

e, similmente, si potrebbero ottenere

[p. 129 modifica]per la varianza, e

per la funzione di frequenza.

Quest’ultima formula non sorprende: è la somma (su tutti i valori ammissibili) della probabilità di ottenere un determinato N, moltiplicata per la probabilità di ottenere il valore di S condizionato da quello di N; infatti la somma di N variabili indipendenti distribuite secondo Poisson con valore medio è ancora, in base a quanto dedotto dall’equazione (8.18), una variabile distribuita secondo Poisson e con valore medio .