Teoria degli errori e fondamenti di statistica/8.5.4

by Maurizio Loreti

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Maurizio Loreti - Teoria degli errori e fondamenti di statistica (2006)

8.5.4 La distribuzione di Erlang

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8.5.4 La distribuzione di Erlang

La funzione di frequenza esponenziale (8.19) si può considerare come un caso particolare di un’altra funzione di frequenza, detta di Erlang^[1]. Supponiamo di voler trovare la densità di probabilità $f_{n}(t;\lambda )$ dell’evento casuale consistente nel presentarsi, dopo un tempo t, dell’n-esimo di una serie di altri eventi che seguano la statistica di Poisson con costante di tempo $\lambda$; la (8.19) è ovviamente la prima di esse, $f_{1}(t;\lambda )=\lambda \,e^{-\lambda t}$.

Il secondo evento si manifesta dopo un tempo t con densità di probabilità data da

$f_{2}(t;\lambda )$	$=\int _{0}^{t}f_{1}(x;\lambda )\,f_{1}(t-x;\lambda )\,\mathrm {d} x$
	$=\lambda ^{2}\int _{0}^{t}e^{-\lambda x}\,e^{-\lambda (t-x)}\,\mathrm {d} x$
	$=\lambda ^{2}\,e^{-\lambda t}\int _{0}^{t}\!\mathrm {d} x$
	$=\lambda ^{2}\,t\,e^{-\lambda t}$;

si è infatti supposto che il primo dei due eventi si sia presentato dopo un tempo x (con $0<x<t$), si è sfruttata l’indipendenza statistica degli eventi casuali tra loro ed infine si è sommato su tutti i possibili valori di x. Allo stesso modo

$f_{3}(t;\lambda )$	$=\int _{0}^{t}f_{2}(x;\lambda )\,f_{1}(t-x;\lambda )\,\mathrm {d} x$
	$=\lambda ^{3}\int _{0}^{t}x\,e^{-\lambda x}\,e^{-\lambda (t-x)}\mathrm {d} x$
	$=\lambda ^{3}\,e^{-\lambda t}\int _{0}^{t}x\,\mathrm {d} x$
	$={\frac {t^{2}}{2}}\,\lambda ^{3}\,e^{-\lambda t}$;

la formula generale (appunto la funzione di frequenza di Erlang) è la

$f_{n}(t;\lambda )={\frac {t^{n-1}}{(n-1)!}}\,\lambda ^{n}\,e^{-\lambda t}$,

con speranza matematica

$E(t)={\frac {n}{\lambda }}$

e varianza

${\text{Var}}(t)={\frac {n}{\lambda ^{2}}}$.

Note

1. Agner Krarup Erlang fu un matematico danese vissuto dal 1878 al 1929; si occupò di analisi e di fisica oltre che di statistica. Dette notevoli contributi alla tabulazione di varie funzioni, ed applicò in particolare la statistica a numerosi problemi relativi al traffico telefonico.