Teoria degli errori e fondamenti di statistica/8.5.3

by Maurizio Loreti

8.5.3 La distribuzione esponenziale

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Maurizio Loreti - Teoria degli errori e fondamenti di statistica (2006)

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8.5.3 La distribuzione esponenziale

Alla distribuzione di Poisson ne è strettamente legata un’altra, quella esponenziale: sia infatti un fenomeno casuale qualsiasi che segua la distribuzione di Poisson, ovvero tale che la probabilità di osservare x eventi nell’intervallo finito di tempo t sia data dalla 8.13; definiamo una nuova variabile casuale, $\delta$, come l’intervallo di tempo che intercorre tra due eventi successivi.

Visto che in un tempo $\delta$ nessun evento deve venire osservato, la probabilità che $\delta$ risulti maggiore di un valore predeterminato d coincide con la probabilità di osservare zero eventi nel tempo d:

$\Pr(\delta >d)\equiv \Pr(0;d)=e^{-\lambda d}$

e quindi la funzione di distribuzione di $\delta$ è la

$F(d)=\Pr(\delta \leq d)=1-e^{-\lambda d}$

Come conseguenza, la funzione di frequenza è esponenziale:

$f(\delta )={\frac {\mathrm {d} \,F(\delta )}{\mathrm {d} \delta }}=\lambda \,e^{-\lambda \delta }$;

(8.19)

e, volendo, da essa si può ricavare la funzione caratteristica — che vale

$\phi _{\delta }(t)={\frac {\lambda }{\lambda -it}}$.

I momenti successivi della distribuzione esponenziale si possono ottenere o integrando direttamente la funzione densità di probabilità (moltiplicata per potenze opportune di $\delta$) o derivando successivamente la funzione caratteristica; troviamo i primi due momenti, speranza matematica e varianza, usando questo secondo metodo:

${\frac {\mathrm {d} \,\phi _{\delta }(t)}{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {\lambda }{\lambda -it}}\right)={\frac {i\lambda }{(\lambda -it)^{2}}}$

$\left.{\frac {\mathrm {d} \,\phi _{\delta }(t)}{\mathrm {d} t}}\right|_{t=0}={\frac {i}{\lambda }}\equiv i\cdot E(\delta )$

per cui la speranza matematica di $\delta$ vale

$E(\delta )={\frac {1}{\lambda }}$;

poi

${\frac {\mathrm {d} ^{2}\,\phi _{\delta }(t)}{\mathrm {d} t^{2}}}={\frac {-i\lambda \cdot 2(\lambda -it)(-i)}{(\lambda -it)^{4}}}=-{\frac {2\lambda }{(\lambda -it)^{3}}}$

$\left.{\frac {\mathrm {d} ^{2}\,\phi _{\delta }(t)}{\mathrm {d} t^{2}}}\right|_{t=0}=-{\frac {2}{\lambda ^{2}}}\;\equiv \;i^{2}\,E{\bigl (}\delta ^{2}{\bigr )}=-E{\bigl (}\delta ^{2}{\bigr )}$,

ed infine la varianza è

${\text{Var}}(\delta )=E{\bigl (}\delta ^{2}{\bigr )}-{\bigl [}E(\delta ){\bigr ]}^{2}={\frac {1}{\lambda ^{2}}}$.

Se una variabile casuale t rappresenta il tempo trascorso tra due eventi casuali successivi che seguono una distribuzione di Poisson, t necessariamente ha una distribuzione di probabilità di tipo esponenziale data dalla (8.19); vogliamo ora calcolare la probabilità che t sia maggiore di una quantità $t_{0}+\Delta t$, condizionata però dal sapere in anticipo che t è sicuramente maggiore di $t_{0}$. Sfruttando la (3.3), abbiamo:

$\Pr(t>t_{0}+\Delta t\,|\,t>t_{0})$	$={\frac {\Pr(t>t_{0}+\Delta t)}{\Pr(t>t_{0})}}$
	$={\frac {\int _{t_{0}+\Delta t}^{+\infty }e^{-\lambda t}\,\mathrm {d} t}{\int _{t_{0}}^{+\infty }e^{-\lambda t}\,\mathrm {d} t}}$
	$={\frac {\left[-e^{-\lambda t}\right]_{t_{0}+\Delta t}^{+\infty }}{\left[-e^{-\lambda t}\right]_{t_{0}}^{+\infty }}}$
	$={\frac {e^{-\lambda (t_{0}+\Delta t)}}{e^{-\lambda t_{0}}}}$
	$=e^{-\lambda \,\Delta t}$
	$\equiv \Pr \left(t>\Delta t\right)$.

In conclusione, la distribuzione esponenziale (ovvero la cadenza temporale di eventi casuali che seguono la statistica di Poisson) non ricorda la storia precedente: il presentarsi o meno di uno di tali eventi in un tempo $\Delta t$ non dipende in alcun modo da quello che è accaduto nell’arbitrario intervallo di tempo $t_{0}$ precedente; così come ci dovevamo aspettare, vista l’ipotesi numero 2 formulata a pagina 117.