Teoria degli errori e fondamenti di statistica/A.3

by Maurizio Loreti

A.3 Disposizioni

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Maurizio Loreti - Teoria degli errori e fondamenti di statistica (2006)

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A.3 Disposizioni

Se $N$ e $K$ sono due numeri interi positivi tali che sia $K\leq N$, si definisce come numero delle disposizioni di $N$ oggetti di classe $K$ (che si indica con il simbolo $D_{K}^{N}$) il numero dei gruppi distinti di $K$ oggetti che è possibile formare a partire dagli $N$ originali; definendo come distinti due gruppi se essi differiscono o per qualche elemento o per l’ordine.

Come esempio, le disposizioni di classe 2 che si possono formare con le 21 lettere dell’alfabeto italiano sono le seguenti:

		AB	AC	AD	···	AV	AZ
	BA		BC	BD	···	BV	BZ
					···
	ZA	ZB	ZC	ZD	···	ZV

Il valore di $D_{K}^{N}$ si può facilmente trovare sfruttando il lemma fondamentale del calcolo combinatorio: il primo elemento di una disposizione si può infatti scegliere in $N$ modi distinti, il secondo in $N-1$, e così via. Di conseguenza $D_{K}^{N}$ è il prodotto di $K$ numeri interi decrescenti a partire da $N$:

$D_{K}^{N}\;=\;N\cdot (N-1)\cdot (N-2)\cdots (N-K+1)\;=\;{\frac {N!}{(N-K)!}}$

(A.1)

(nel caso dell’esempio fatto, le disposizioni sono $D_{2}^{21}=21\cdot 20=420$; nella tabella in cui sono state elencate vi sono 21 righe di 20 elementi ciascuna).

L’espressione (A.1) è verificata anche se $K=N$, però purché (come prima detto) si ponga $0!=1$.