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(1865) p. 412, ritirò le restrizioni che « dans un moment de precipitation » aveva creduto di dover aggiungere alla sua Memoria del 1861.

[71] Pag. 390. Qui l'A. segnò in margine: «Questo teorema si concluda meglio dal n. 23 e dal 49».

[72] Pag. 391. Questo ragionamento è imperfetto. Conviene, per ciò che occorre poi, modificarlo nel modo seguente:

Le prime polari rispetto a $C_n$ dei punti di una retta $A$ passante per $d$ hanno in $d$ per tangente comune la retta $A'$ armonica di $A$ rispetto alle due tangenti $T$ , $U$ di $C_n$ in $d$ (73); sicché il punto successivo a $d$ su $A'$ ha come retta polare $A$ .

Si prenda ora come retta $A$ successivamente ciascuna delle $M$ tangenti in $d$ alle $M$ curve $C_m$ della data serie, le quali passano per $d$ . Costruendo le $M$ rette armoniche di queste tangenti rispetto alla coppia $TU$ , avremo $M$ direzioni secondo cui il luogo $K$ passa per $d$ .

$K$ passa dunque per $d$ con $M$ rami, corrispondentemente alle $M$ curve $C_m$ passanti per $d$ . Se $T$ e $U$ coincidono, per essere $d$ punto stazionario di $C_n$ , coincideranno in $T$ anche le $M$ armoniche ora nominate, ossia le $M$ tangenti in $d$ a $K$ .

[73] Pag. 391. La proposizione del n. 32, che qui s'invoca, non era esatta, come abbiam rilevato nella nota [47]. Tuttavia il risultato a cui ora si giunge è vero. Infatti (v. la fine dell'ultima nota) $K$ passa pel punto stazionario $d$ di $C_n$ con $M$ rami (completi), aventi tutti per tangente la tangente $T$ di $C_n$ : laonde in $d$ saranno riunite appunto $3M$ intersezioni di $K$ e $C_n$ .

[74] Pag. 393. Proposizioni più generali che quelle di questo n. 88, intorno all'influenza di particolari punti sul numero complessivo dei punti doppi delle curve di un fascio, si troveranno nei nn. 8-12 della Memoria 53.

[75] Pag. 396. In un foglietto manoscritto del Cremona è detto di modificare la parte che segue nel testo, così:

(b) Se i due fasci sono dello stesso ordine m, e se hanno una curva comune, questa farà parte dell'inviluppo dianzi ottenuto. Togliendo la curva comune, la quale, supposta priva di punti multipli, sarà della classe $m (m-1)$ , rimane una curva della classe $4m^2-4m - m (m-1)= 3m(m-1)$ ; cioè:

Le tangenti comuni nei punti ove si toccano le curve di due fasci d'ordirle $m$ , aventi una curva comune, inviluppano una linea della classe $3m(m-1)$ .

(c) L'ipotesi precedente si verifica nel caso che i due fasci siano formati da prime polari relative ad una data curva fondamentale d'ordine $n$ , onde $m = n-1$ . Allora: