Pagina:Opere matematiche (Cremona) I.djvu/502

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(1865) p. 412, ritirò le restrizioni che « dans un moment de precipitation » aveva creduto di dover aggiungere alla sua Memoria del 1861.

[71] Pag. 390. Qui l'A. segnò in margine: «Questo teorema si concluda meglio dal n. 23 e dal 49».

[72] Pag. 391. Questo ragionamento è imperfetto. Conviene, per ciò che occorre poi, modificarlo nel modo seguente:

Le prime polari rispetto a C_n dei punti di una retta A passante per d hanno in d per tangente comune la retta A' armonica di A rispetto alle due tangenti T, U di C_n in d (73); sicché il punto successivo a d su A' ha come retta polare A.

Si prenda ora come retta A successivamente ciascuna delle M tangenti in d alle M curve C_m della data serie, le quali passano per d. Costruendo le M rette armoniche di queste tangenti rispetto alla coppia TU, avremo M direzioni secondo cui il luogo K passa per d.

K passa dunque per d con M rami, corrispondentemente alle M curve C_m passanti per d. Se T e U coincidono, per essere d punto stazionario di C_n, coincideranno in T anche le M armoniche ora nominate, ossia le M tangenti in d a K.

[73] Pag. 391. La proposizione del n. 32, che qui s'invoca, non era esatta, come abbiam rilevato nella nota [47]. Tuttavia il risultato a cui ora si giunge è vero. Infatti (v. la fine dell'ultima nota) K passa pel punto stazionario d di C_n con M rami (completi), aventi tutti per tangente la tangente T di C_n: laonde in d saranno riunite appunto 3M intersezioni di K e C_n.

[74] Pag. 393. Proposizioni più generali che quelle di questo n. 88, intorno all'influenza di particolari punti sul numero complessivo dei punti doppi delle curve di un fascio, si troveranno nei nn. 8-12 della Memoria 53.

[75] Pag. 396. In un foglietto manoscritto del Cremona è detto di modificare la parte che segue nel testo, così:

(b) Se i due fasci sono dello stesso ordine m, e se hanno una curva comune, questa farà parte dell'inviluppo dianzi ottenuto. Togliendo la curva comune, la quale, supposta priva di punti multipli, sarà della classe m (m-1), rimane una curva della classe 4m^2-4m - m (m-1)= 3m(m-1); cioè:

Le tangenti comuni nei punti ove si toccano le curve di due fasci d'ordirle m, aventi una curva comune, inviluppano una linea della classe 3m(m-1).

(c) L'ipotesi precedente si verifica nel caso che i due fasci siano formati da prime polari relative ad una data curva fondamentale d'ordine n, onde m = n-1. Allora:

Le tangenti comuni nel punti di contatto ecc. ecc. [come nel testo].

[76] Pag. 397. Questa proposizione fondamentale non deriva così immediatamente dalla definizione data della rete.

In un foglietto manoscritto il Cremona ha indicato di sostituire alla parte del n. 92 che giunge fino a questo punto la trattazione seguente:

Abbiamo veduto [n. 41] che, se U_1=0, U_2=0 sono le equazioni di due curve dello stesso