Elementi/Libro primo/Propositione 39

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Libro primo
Propositione 39

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Euclide - Elementi (Antichità)
Traduzione dal greco di Niccolò Tartaglia (1543)
Libro primo
Propositione 39
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Theorema. 29. Propositione. 39.

39|39 Ogni duoi triangoli equali, se seranno costituidi sopra medesima basa, e da una medesima parte, seranno fra due linee equidistante.

Siano li duoi triangoli .a.b.c. & .d.b.c. costituidi sopra la basa .b.c. da una medesima parte, & siano equali. Hor dico che questi duoi triangoli sono fra due linee equidistante. Questo è il conuerso della trigesima settima. Dal ponto .a. tirarò una linea equidistante alla basa .b.c. la quale se quella transirà,
Euclid 034r b.jpg
per il ponto .d. è manifestò il proposito. Se non quella transirà di sopra, ouer di sotto, transisca prima di sopra, & sia la .a.e. & produrò la linea .b.d. per fina a tanto che seghi la linea .a.e. in ponto ,e, & tirarò la linea .e.c. Et perche il triangolo .e.b.c. è equale al triangolo a.b.c. (& per la trigesima settima propositione). Etiam lo triangolo d.b.c. fu posto equale al ditto triangolo .a.b.c. Adonque (per la prima concettione) lo triangolo .b.d.c. serà equale al triangolo .b.e.c. laqual cosa è impossibile, che la parte sia equale al tutto (per l'ultima concettione) dilche tirando dal ponto .a. una linea equidistante ala basa .b.c. no puotrà transire di sopra dal ponto .d. Anchora dico che non pertransirà di sotto dal ditto ponto .d. & se pur fusse possibile (per l'aduersario) poniamo sia la linea .a.f. segante la linea .d.b. in ponto .f. io tirarò adonque la linea .f.c. e perche il triangolo .f.b.c. (per la trigesima settima propositione) si è equale al triangolo .a.b.c. similmente il triangolo .d.b.c. fu posto equale al ditto triangolo .a.b.c. donde (per la prima concettione) il triangolo .b.f.c. seria equale al triangolo .d.b.c. cioè la parte seria equal al tutto che è impossibile (per l'ultima concettione) adonque perche la linea protratta
[p. 34v modifica]dal ponto .a. equidistante alla basa .b.c. non può transire, ne di sopra, ne di sotto, dallo ponto .d. seguita de necessitade, che quella trafisca per esso ponto d. il quale è il prosito. Et tu debbi da notare che da questa, & dalla precedente ci manifesta che se
Euclid 034v a.jpg
una linea retta segarà li duoi lati d'un triangolo in due parti equale quella tal linea serà equidistante al terzo lato, laquale cosa se dimostrarà in questo modo, sia il triangolo .a.b.c. che li duoi lati .a.b. & .a.c. di quello siano segati dalla linea .d.c. in due parti equale nelli duoi ponti, d. & .e. Dico che la linea .d.e. si è equidistante al .b.c. & per demostrar questo io tirarò nel quadrilatero .d.e.b.c. li duoi diametri .d.c. & .b.e. hor dico che'l triangolo .d.e.b. per la trigesima ottava propositione, serà equale al triangolo .a.d.e. perche sono sopra due base equale, perchè la .d.b., è equale alla .d.a. dal prosupposito e ciscun si loro termina nel ponto .e. dal qual se puo tirar una linea che serà equidistante alla basa ouer linea .b.a. per la trigesima prima propositione, dilche se puo dir che sono etiam fra due linee equidistante, abemche la linea non gli sia tirata anchora per le medesime ragione il triangolo .c.e.d. serà equale al medesimo triangolo .a.d.e. dilche per la prima concettione, il triangolo .d.e.b. serà equale al triangolo .d.e.c. liquali sono costituidi sopra la medesima dasa .d.e. donde per la presente trigesima nona propositione, seranno fra due linee equidistante, odonque la linea, d.e. è equidistante alla linea .b.c. che è il proposito.