Gli Elementi d'Euclide/Appendice/Misure del cerchio e della circonferenza
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Misura del cerchio e della circonferenza.1
8. Dicesi linea conressa qualunque linea spezzata (composta di rette) o curva, la quale da una retta
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Osservazione. — Che le superficie dei poligoni regolari
inscritti o circoscritti possano, col raddoppiare
successivamente il numero dei lati, differire dal cerchio
meno di una quantità determinata, piccola ad arbitrio,
risulta facilmente dal lemma 1° del libro XII. Quanto ai
perimetri di due poligoni regolari dello stesso numero di
lati, l’uno inscritto e l’altro circoscritto, si può osservare
che siccome essi sono tra loro come il raggio è all’apotema
del poligono inscritto, così [V, 47] la loro differenza
sarà al poligono inscritto come la differenza del
raggio e dell’apotema, è all’apotema, e quindi la differenza
dei due perimetri sarà uguale alla differenza fra
il raggio del cerchio e l’apotema del poligono inscritto
moltiplicata per il rapporto del perimetro del poligono
inscritto al suo apotema, che è un numero finito; e siccome
questa differenza coll’aumentare il numero dei lati
può ridursi minore di una quantità piccola ad arbitrio,
così potremo dire la stessa cosa della differenza fra i perimetri
dei due poligoni; e la stessa cosa, a più forte ragione,
della differenza fra la circonferenza e i due perimetri,
imperocché quella è sempre compresa fra questi.
10. L'area del cerchio è data dal prodotto della sua
circonferenza per la metà del raggio. Siano A e C l’area
e la circonferenza del cerchio di raggio R; S e P l’area
e il perimetro d’un poligono regolare circoscritto al
cerchio: per ciò che sappiamo sarà S=PxR/2. S’immagini
ora che il numero dei lati del poligono cresca
continuamente; l’uguaglianza precedente sussisterà sempre;
e siccome S tende verso il limite A, e P verso il limite C, avremo
A=CxR/2
11. Le circonferenze stanno fra loro come i raggi, i Pagina:Betti Brioschi - Gli Elementi d'Euclide, 1868.djvu/417 Pagina:Betti Brioschi - Gli Elementi d'Euclide, 1868.djvu/418 Pagina:Betti Brioschi - Gli Elementi d'Euclide, 1868.djvu/419 Pagina:Betti Brioschi - Gli Elementi d'Euclide, 1868.djvu/420 APPENDICE AGLI ELEMENTI D’EUCLIDE. 407
cedenti, quelle dei due ottagoni, inscritto e circoscritto, e successivamente quelle dei poligoni inscritti e circoscritti di 1G, 32, G4, lati. Si calcolino queste aree in guisa da essere sicuri della ennesima cifra decimale, e spingasi il calcolo finche siansi trovati due poligoni, l’uno inscritto e l’altro circoscritto, le di cui aree comincino a differire dopo la ennesima cifra decimale. 1 rapporti che i due poligoni hanno al quadrato del raggio, differiscono fra loro meno di una unità decimale dell’ennesimo ordine; ed essendo il rapporto del cerchio al quadralo del raggio compreso fra quei due (imperocché il cerchio è compreso fra i due poligoni), saremo certi di conoscere il valore di n con n cifre decimali esatte col prendere per n l’uno o l’altro dei due rapporti nominati.
Si trova così il valore di n essere
3,14 15 92 65 35 89 79 32....
Archimede colla considerazione dei perimetri dei poligoni regolari iscritto e circoscritto di 96 lati trovò per limili di questo rapporto 3yj, 3^; si prende cornuto 22 “ 7 355 valore molto più approssimalo (’). nemente il valore 3 ^. Mezio fece conoscere il
- ↑ In ciò che segue noi faremo uso delle seguenti proposizioni sui limiti, la di cui dimostrazione d’altronde è facilissima. Se due quantità variabili v e v’ conservandosi sempre uguali tendono verso i limiti l ed l’ questi limiti saranno uguali. Se una quantità variabile v tende verso il limite l, il prodotto vXm ed il quoziente , ove m è costante, tenderanno verso i limiti lxm ed .
