La geometria non-euclidea/Prefazione

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Prefazione

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La geometria non-euclidea Capitolo I


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PREFAZIONE



Il materiale da tempo raccolto intorno alle origini e allo sviluppo della Geometria non-euclidea, l’interesse che hanno acquistato le esposizioni storico-critiche dei fondamenti delle discipline scientifiche mi hanno indotto ad allargare i confini della prima parte del mio articolo «Sulla teoria delle parallele e sulle geometrie non-euclidee.» comparso, or sono sei anni, fra le «Questioni riguardanti la geometria elementare»1, raccolte e coordinate dal prof. F. Enriques.

L’articolo, completamente rifatto per la versione tedesca di quell’opera, tratta prevalentemente la parte costruttiva del tema; questo libro è dedicato invece a una diffusa esposizione della storia delle parallele ed allo sviluppo storico delle geometrie di Lobacefski-Bolyai e di Riemann.

Nel I Capitolo, prendendo le mosse da Euclide e dai più antichi commentatori del V postulato, ho riprodotto i ragionamenti più caratteristici con cui i greci, gli arabi, i geometri della Rinascenza pretesero stabilire su basi più solide la teoria delle [p. iv modifica]parallele. Nel II Capitolo principalmente con l’opera di Saccheri, Lambert, Legendre, ho cercato di lumeggiare il trapasso dalle antiche alle nuove idee, sorte sul principio del XIX secolo; nel III e IV Capitolo, attraverso le ricerche di Gauss, Schweikart, Taurinus e l’opera costruttiva di Lobacefski e Bolyai, ho esposto i fondamenti del primo dei sistemi geometrici edificati sulla negazione della V ipotesi di Euclide. Nel V Capitolo ho delineato sinteticamente i successivi sviluppi della Geometria non-euclidea, che sorsero dalle indagini di Riemann ed Helmholtz sulla struttura dello spazio, e dalla estensione proiettiva di Cayley del concetto di proprietà metrica.

In tutto il corso della esposizione mi sono studiato di presentare i vari argomenti secondo il loro ordine storico: quando però tale ordine mi avrebbe troppo allontanato dalla semplicità espositiva che mi ero prefissa, l’ho sacrificato volentieri, pur di mantenere al libro un carattere strettamente elementare.

Fra i tanti postulati equivalenti al V euclideo, di cui i più notevoli sono riportati in fine al IV capitolo, ve n’è uno d’indole statica, che, verificato sperimentalmente, potrebbe fornire una base empirica alla teoria delle parallele. Da ciò un importante legame fra la Geometria e la Statica (Genocchi), al quale, non avendo trovato un posto adatto nei precedenti capitoli, ho dedicato la prima delle due Note con cui termina il libro.

La II Nota si riferisce ad un argomento non meno interessante. Le ricerche di Gauss, Lobacefski, Bolyai sulla teoria delle parallele hanno la loro origine nella estensione d’uno dei concetti fondamentali della [p. v modifica]Geometria classica. Ma un concetto si può estendere generalmente in varie direzioni.

Nel nostro caso, il parallelismo ordinario, fondato sull’ipotesi di rette non secantisi, coplanari ed equidistanti, fu esteso dai predetti geometri lasciando cadere il V postulato di Euclide (equidistanza), e in seguito da Clifford, abbandonando l’ipotesi della coplanarità.

Delle parallele di Clifford, studiate prima con metodo proiettivo [Clifford-Klein], poi col sussidio della Geometria differenziale [Bianchi, Fubini], mancava una trattazione elementare: la II Nota, è dedicata, in gran parte, alla esposizione sintetico-elementare delle più semplici ed eleganti proprietà che loro competono. La nota termina con un rapido cenno del problema di Clifford-Klein, che storicamente si riattacca al parallelismo di Clifford, e che mira a caratterizzare la struttura geometrica dello spazio in base al più ristretto sistema di postulati compatibili coi dati sperimentali e col principio d’omogeneità dello spazio.

Ecco, brevemente, il contenuto del libro.

Prima di affidare la modesta opera al giudizio dei benevoli lettori, sento il dovere di ringraziare vivamente il mio amato maestro, prof. Federigo Enriques, per i preziosi consigli con cui mi ha soccorso per la disposizione e pel contenuto critico della materia; il prof. Corrado Segre, che gentilmente ha posto a mia disposizione il manoscritto di un Corso di lezioni sulla Geometria non-euclidea, da lui dettato, or son tre anni, nell’Università di Torino; il caro amico prof. Giovanni Vailati, per le preziose indicazioni fornitemi intorno alla [p. vi modifica]Geometria greca e l’aiuto prestatomi nella revisione delle bozze.

Finalmente anche all’ottimo Comm. Cesare Zanichelli, che ha sollecitamente accolto il mio lavoro nella sua collezione di opere scientifiche, vadano pure i miei più sentiti ringraziamenti.

Pavia, marzo 1906.

Roberto Bonola.

  1. Bologna, Zanichelli, 1900.