Lezioni di analisi matematica/Capitolo 13/Paragrafo 81

by Guido Fubini

Capitolo 13 - Teorema della media per funzioni di due o più variabili

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Guido Fubini - Lezioni di analisi matematica (1920)

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§ 81. — Teorema della media per funzioni di due o più variabili.

Se $\varphi (x)$ è una funzione derivabile della $x$ nell'intervallo <math<(a, a+h) il teorema della media si enuncia con la formola:

$\varphi (a+h)-\varphi (a)=h\varphi '(a+\theta h)$, dove $0<\theta <1$.

Troveremo una formola analoga per le funzioni di più variabili.

Sia $f(x,y)$ una funzione di due variabili $x$ e $y$ definita in un campo $R$ e derivabile in tutto $R$ sia rispetto alla $x$ che rispetto alla $y$. Fig. 32. Sia $A$ un punto di $R$ di coordinate $x$ e $y$: e $B$ (fig. 32) un altro punto del campo di coordinate $x+h,y+k$. Per passare dal punto $A$ al punto $B$ si può, p. es., seguire una spezzata, di cui un segmento è parallelo all'asse delle $x$ e l'altro segmento è parallelo all'asse delle $y$. Se questi due segmenti sono interni al campo $R$, e $C$ è il loro punto comune, il punto $C$ avrà per ascissa l'ascissa di $B$ e per ordinata la ordinata di $A$¹. Allora la differenza $f(x+h,y+k)-f(x,y)$ si può porre, aggiungendo e togliendo il valore della funzione nel punto $C$, uguale a

$[f(x+h,y+k)-f(x+h,y)]+[f(x+h,y)-f(x,y)]$

che è la somma di due differenze.

Se consideriamo $x$ ed $h$ come costanti, la $f(x+h,y)$ si può considerare funzione della sola $y$, ponendo $f(x+h,y)=\varphi (y)$.

Sarà allora:

$f(x+h),y+k)=\varphi (y+k)$,

cosicchè:

$f(x+h,y+k)-f(x+h,y)=\varphi (y+k)-\varphi (y)$,

che per il teorema della media (per le funzioni di una sola variabile) è uguale a

$k\varphi '_{y}(y+\theta k)\,\,\,(0<\theta <1)$;

cioè, essendo

$\varphi '_{y}(y+\theta k)=f'_{y}(x+h,y+\theta k)$,

sarà:

$[f(x+h,y+k)-f(x+h,y)]=kf'_{y}(x+h,y+\theta k)$.

Analogamente si dimostrerebbe:

$[f(x+h,y)-f(x,y)]=hf'_{x}(x+\theta 'h,y)\,\,\,(0<\theta '<1)$.

Sommando membro a membro queste due ultime uguaglianze si ottiene:

$f(x+h,y+k)-f(x,y)=hf'_{x}(x+\theta 'h,y)+$

$+kf'_{y}(x+h,y+\theta k)$.

Quest'ultima formola estende il teorema della media a funzioni di due variabili. Essa ci dice che la differenza dei valori della funzione $\mathrm {f(x,y)}$ in due punti $\mathrm {(x+h,y+k)}$ e $\mathrm {(x,y)}$ è èuguale alla somma del prodotto di $\mathrm {h}$ per la derivata parziale della funzione data, rispetto alla $\mathrm {x}$, calcolata in un punto intermedio del segmento $\mathrm {(x,y),(x+h,y)}$ e del prodotto di $\mathrm {k}$ per la derivata parziale rispetto a $\mathrm {y}$ della funzione data, calcolata in un punto intermedio del segmento $\mathrm {(x+h,y),(x+h,y+k)}$.

Qui si suppone soltanto che le $\mathrm {f'_{x},f'_{y}}$ esistano (e siano quindi finite),.

Scambiando gli assi delle $x,y$ si ottiene una nuova formola della media.

Altre formole si potrebbero ottenere variando la linea che congiunge il punto $A$ al punto $B$. Più avanti, p. es., daremo un'altra formola ottenuta conguingendo $A$ con $B$ col segmento rettilineo $AB$, imponendo però alle $f'_{x},f'_{y}$ la ulteriore condizione di essere funzioni continue.

Il teorema della media si può estendere in generale alle funzioni di $n$ variabili con metodi e ragionamenti affatto analoghi a quelli da noi adoperati nel caso di funzioni di due variabili.

Se $f(x,y,.....,z,t)$ è una funzione di $n$ variabili, si trova la fromola generale:

$f(x+h,y+k.....z+l,t+m)-f(x,y.....z,t)=$

{{centrato\$hf'_{x}(x+\theta h,y.....z,t)+$}}

$+hf'_{y}(x+h),y+\theta 'k,.....,z,t)+$

$.\,.\,.\,.\,.\,.\,.\,.\,.\,.\,.\,.\,.\,.\,.\,+$

$+lg'_{z}(x+h,y+k,.....,z+\theta ''l,t)+$

$mf'_{t}(x+h,y+k,.....,z+l,t+\theta '''m)$.

Note

1. Supponiamo dunque i segmenti $AC,CB$ interni al campo che esaminiamo; nel precedente § 80 non si è fatta analoga ipotesi, perchè superflua, in quanto che $h,k$ si supponevano tendere a zero, ed il punto $8x,y)$ si supponeva interno al campo $R$.