Lezioni di analisi matematica/Capitolo 15/Paragrafo 99

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Guido Fubini - Lezioni di analisi matematica (1920)

Capitolo 15 - Metodi e locuzioni abbreviate

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§ 99. — Metodi e locuzioni abbreviate.

$\alpha$ ) Di locuzioni non precise, ma comode, e che si possono intendere soltanto con modi abbreviati di enunciare considerazioni precise ma più lunghe, abbiamo già discorso altrove (§ 54, pag. 177). Tali modi di esposizione si applicano pure nel calcolo integrale.

Per i teoremi dei paragrafi 96 e 96^bis si può definire $\int _{a}^{b}F(x)dx$ nel modo seguente:

Si divida l'intervallo $(a,b)$ in più intervallini parziali $\delta _{i}$ (la [p. 327 modifica]cui misura si prenderebbe negativa se $a>b$ ) e la cui ampiezza faremo poi tendere a zero¹.

In uno di questi intervallini la $F(x)$ avrà generalmente infiniti valori. Moltiplichiamo $\delta _{i}$ per uno di questi valori $F_{1}$ scelto ad arbitrio.

Il $\lim _{\delta =0}\Sigma \delta _{i}F_{i}$ è integrale cercato.

Ecco invece come confronto le locuzioni a cui si è accennato più sopra.

Dividiamo l'intervallo $(a,b)$ in infiniti intervallini parziali infinitesimi $\delta _{i}$ (la cui misura si prenderà positiva, se, come supponiamo, $b>a$ ). In ciascuno di questi intervallini infinitesimi la $F(x)$ si potrà considerare com costante. La somma $\Sigma _{i}\delta _{i}F_{i}$ degli infiniti prodotti ottenuti moltiplicando l'ampiezza di uno di questi intervalli per il corrispondente valore di $F$ l'integrale di $F(x)$ da $a$ a $b$ .

Per dedurne che, se si considera $b$ come variabile, la derivata di questo integrale rispetto alla $b$ è proprio uguale a $F(b)$ , si procede nel seguente modo, che noi considereremo al solito soltanto come una esposizione abbreviata. Si dia alla $b$ un incremento infinitesimo $db$ , che, per fissar le idee, supporremo positivo (come supponiamo positiva la differenza $b-a$ ). L'intervallo

$(a,b+db)=(a,b)+(b,b+db)$

è uguale alla somma degli intervallini $\delta _{i}$ e di $db$ ; perciò l'integrale relativo ad esso è uguale a $\Sigma \delta _{i}F_{i}+F(b)db$ [poichè in Fig. 37. $(b,b+db)$ la $F(x)$ si può pensare conservi il valore costante $F(b)$ ]. L'incremento ricevuto dal nostro integrale e così $F(b)db$ , e la sua derivata è quindi $F(b)$ . c.d.d.

Per dimostrare poi, p. es., che l'area del rettangoloide $ABB'A'$ (fig. 37) è uguale al solito integrale definito, si osservi che la divisione $A'B'=(a,b)$ in infiniti intervallini infinitesimi $\delta$ definisce la divisione del nostro rettangoloide [p. 328 modifica]in infiniti rettangoloidi parziali infinitesimi. In ciascuno di essi la $y$ si può considerare come costante; cosicchè il lato opposto all'asse delle $x$ si può considerare come un segmento parallelo all'asse delle $x$ . L'area di tale rettangoloide parziale è perciò $\delta _{i}F_{i}$ ; e il rettangoloide totale ha quindi per area $\Sigma _{i}\delta _{i}F_{i}$ c.d.d.

$\beta$ ) Ma osserviamo un po' più precisamente le locuzioni sopra esposte. La frase Dividiamo $\mathrm {(a,b)}$ in infiniti intervallini infinitesimi traduce proprio la stessa idea che noi enunciamo dicendo: Dividiamo $(a,b)$ in intervallini $\delta _{i}$ , che facciamo tendere a zero ossia che rendiamo infinitesimi (facendono contemporaneamente crescere il numero all'infinito).

Più istruttivo è invece l'esame della seconda parte delle precedenti definizioni e dimostrazioni. Vi si dice: In ciascuno degli intervalli infinitesimi $\mathrm {\delta _{i}}$ la $\mathrm {F(x)}$ si può considerare come costante. Fig. 38.Da un punto di vista empirico questa asserzione si potrebbe giustificare così (fig. 38). Se, p. es., i segmentini $\delta _{i}$ sono i più piccoli segmenti che noi riusciamo a disegnare, e se noi al pezzo $CD$ della curva $y=F(x)$ , che si proietta in uno dei tali segmentini $\delta _{i}=C'D'$ , sostituiamo il segmento $CP$ paralelo all'asse delle $x$ tirato da $C$ , e che è rappresentato da un'equazione

$y={\text{cost.}}$ ,

seguito, se vogliamo, dal segmentino $PD$ , la spezzata così ottenuta coincide quasi con la nostra curva, in quanto che il nostro occhio può forse appena distinguere la curva della spezzata.

Ma d'altra parte, quando si considera in $\delta _{i}$ la $y$ come costante, si costituisce, il rettangolo, che ha per base $\delta _{i}$ e per lato opposto il segmento $CP$ , al rettangoloide parziale che ha per base $\delta _{i}$ ; e si trascura così il triangoletto curvilineo $DPC$ . Vediamo come si può prevedere in modo diretto che il trascurare tali triangolini non conduce ad errori. Supponiamo per semplicità che $F(x)$ abbia l'intervallo $(a,b)$ un minimo $m\not =0$ . Il triangolino $DPC$ è evidentemente interno al rettangolo, che ha per [p. 329 modifica]base $CP$ e per altezza la differenza $M_{i}-m_{i}$ tra il massimo e il minimo di $F(x)$ in $\delta _{i}$ ; ed ha quindi un'area $a_{i}$ inferiore a $(M_{i}-m_{i})\delta _{i}$ . Il rettangolo che ha per base $\delta _{i}$ e per lato opposto $CP$ ha un'area $A_{i}$ non inferiore a $m\delta _{1}$ Il rapporto ${\frac {a_{i}}{A_{i}}}$ dell'area di uno dei nostri triangolini al corrispondente rettangolo non supera quindi ${\frac {M_{i}-m_{i}}{m}}$ .

Ora, scegliendo i $\delta _{i}$ abbastanza piccoli, noi sappiamo (§ 40, pag. 135, e § 63, pag. 197) che si possono rendere tutte le $M_{i}-m_{i}$ e perciò anche tutti questi rapporti minori di un numero $\epsilon$ predissato ad arbitrio. Dunque non solo le $\mathrm {a_{i}}$ sno infinitesimi di ordine superiore rispetto alle $\mathrm {A_{i}}$ , ma anzi si possono rendere i rapporti $\mathrm {\frac {a_{i}}{A_{i}}}$ contemporaneamente minori di un numero prefissato ad arbitrio.

È facile dimostrare in tale ipotesi che

$\lim[\Sigma A_{i}-\Sigma (A_{i}+a_{i})]=0$ .

Infatti, scelti i $\delta _{i}$ così piccoli che $\left|{\frac {a_{i}}{A_{i}}}\right|<\epsilon$ , sarà anche $\left|{\frac {\Sigma a_{i}}{\Sigma A_{i}}}\right|<\epsilon$ ; $|\Sigma a_{i}|<\epsilon |\Sigma A_{i}|$ ; $|\Sigma (A_{i}+a_{i}=-\Sigma A_{i}|<\epsilon |\Sigma A_{i}|$ ; e quindi, supposto come nel caso nostro, che le $\mathrm {\Sigma A_{1}}$ siano numeri limitati, inferiori cioè ad una costante finita, $\lim[\Sigma (a_{i}+a_{i})-\Sigma A_{i}]=0$ come dovevasi dimostrare.