Lezioni di analisi matematica/Capitolo 16/Paragrafo 103

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Capitolo 16 - Calcolo di un integrale superficiale

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§ 103. — Calcolo di un integrale superficiale.

Se è una funzione continua in una regione del piano , come si calcola lo  ? o meglio: Come se ne può ridurre il calcolo a quello di integrali deifniti? Per vederlo cominceremo ad usare metodi poco rigorosi salvo a verificare poi i risultati ottenuti nel modo più preciso.

Se noi dividiamo l'area in pezzetti con rette parallele agli assi delle e delle , l'area verrà scomposta in rettangoli, e in altri pezzetti, il cui contorno contiene dei pezzi del contrno . Se noi supponiamo (cfr. § 99, pag. 328) che questi ultimi pezzetti siano trascurabili (che diano cioè un contribuo infinitesimol), basterà che consideriamo i rettangolini tutti interni a , la cui area è , se e sono rispettivamente le distanze di due delle rette da noi tirate parallelamente all'asse delle , o all'asse delle . Considerando dapprima i rettangoli posti p. es. in una stessa striscia parallela all'asse delle , e poi le varie strisce, la somma dell'ultimo paragrafo diventa:

,

dove la è relativa ai rettangoli di una stessa striscia, mentre l'altro simbolo di somma si riferisce alle varie striscie. Possiamo scegliere gli stremi di una retta1 nel contorno di , e poi i valori 2 intermedi in guida tale che [p. 338 modifica]. L'integrale così ottenuto dipende dal calore dato alla ; è cioè una funzione della . Se essa è continua, allora , cosicchè si avrà finalmente:

,

o come si suol scrivere:

.

Nel cambiamento di variabili coordinate non si può però (come nel caso di funzioni di una sola variabile) applicare ai simboli la regola per il calcolo dei differenziali (cfr. l'oss. 1a del seg. § 108 a pag. 352).

Prima di dimostrare con rigore questa formola, dobbiamo intendere con precisione il suo significato. Quando noi abbiamo scritto

,

noi tenendo costante la , cioè muovendoci su una rettaFig. 39. parallela all'asse delle (cfr. fog. 39) abbiamo trovato (a meno del fattore ) la somma dei contributi portati dai rettangolini contenenti nella striscia compresa tra la retta e la retta parallela consecutiva, su cui l'ordinata ha il valore . Perciò la nostra integrazione è eseguita rispetto alla (quando si considera la come costante) in un intervallo che, al limite, coincide con (fig. 39). Cosicchè i limiti inferiore e superiore, tra cui si deve calcolare l'integrale , sono le ascisse di e di . Chè se invece acessimo dato alla il valore corrispondente alla retta (cfr. fig. 39), il simbolo [p. 339 modifica] significherebbe la somma degli integrali (eseguiti considerando come costante) estesi ai due intervalli che la retta possiede interni all'area .

Il valore di dipende perciò dal valore dato alla ; e cioè una funzione della . E la nostra formola ci dice che noi dobbiamo integrare questa funzione rapporto ad . Tra quali limiti si deve fare questa seconda integrazione? Poichè si deve tener conto di tutto il campo , essa dovrà quindi essere eseguita nell'intervallo (), se ed sono i valori minimo e massimo della in .

Se noi per fissare le idee supponiamo che il contorno di sia incontrato in due punti al più da una parallela a uno degli assi coordinati, le ascisse dei punti dei punti ove una retta incontra il contorno di saranno due funzioni e della . E le ordinate dei punti , ove una retta incontra il contorno di , saranno due funzioni e della .

Se dunque diciamo ed i valori minimi e massimi rispettivamente della e della in , troveremo:

(1)               3.

E, scambiando i due assi, coordinati, troveremo per simmetria:

(2)               .

Come si vede, confrontando queste formole è lecito cambiare l'ordine delle integrazioni, purchè si cambino convenientemente i limiti dei corrispondenti integrali. È evidente che i limiti non dovrebbero essere cambiati nel caso che fosse un rettangolo coi lati paralleli agli assi coordinati4, come il lettore può facilmente verificare facendo la figura.

Note

  1. Suppongo gli estremi di una retta sul controrno di : ciò che è un errore perchè avendo trascurato i pezzetti posti sul contorno di , potrebbe darsi che gli estremi da considerare fossero interni a . Un'osservazione analoga si può ripetere più sotto. Noi ammettiamo provvisoriamente che l'errore commesso tenda a zero e sia quinti trascurabile.
  2. Suppongo che sil il valore assunto da su uno dei lati del nostro rettangolo paralleli all'asse delle .
  3. Si ricordi (§ 88) che se sono funzioni continue, anche è funzione continua della e si può quindi integrare rispetto alla .
  4. Si applichi questo risultato all'ultima formola del § 93, pag. 307. In questa formola i limiti d'integrazione sono uguali nei due membri, perchè siamo nel caso particolarissimo di un integrale doppio esteso a quel rettangolo coi lati paralleli agli assi coordinati, di cui l'origine e il punto () sono vertici opposti.