Lezioni di analisi matematica/Capitolo 2/Paragrafo 6

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§ 6. — Coordinate di un punto di una retta.

) Sia una retta orientata, su cui cioè si è scelto come positivo, per esempio, il verso da sinistra a destra.

Fissiamo sopra la retta un punto , che chiameremo l'origine; la posizione di un punto qualsiasi di è determinata quando si conosca la misura del segmento in valore assoluto e in segno [p. 20 modifica](il quale segno sarà + oppure — secondo che si trova a destra od a sinistra di ): così, se per esempio , il punto è quel punto di , posto a destra dell’origine che ne dista il triplo dell’unita di lunghezza; se , è quel punto di posto a sinistra di , la cui distanza da è il quintuplo dell’unita di lunghezza.

In generale la misura del segmento si chiama la coordinata di e si indica di solito con una delle lettere , , ...

L’origine è l’unico punto della retta che abbia la coordinata nulla; poichè un punto di ha una coordinata perfettamente individuata, e viceversa ad ogni valore della coordinata corrisponde uno (e un solo) punto di , vi è una corrispondenza biunivoca senza eccezione tra i valori della coordinata ed i punti di .

) Se , sono due punti di , le cui coordinate sono rispettivamente , sarà:

, , , .

Ma ; quindi la misura del segmento , i cui estremi , hanno rispettivamente le coordinate , , è (in valore assoluto e in segno).

Se è positivo, ossia se , allora il segmento è positivo, ossia giace a sinistra di ; se invece è negativo, ossia , allora giace a destra di ; ciò che è intuitivo per la definizione stessa di coordinata. I punti del segmento sono i punti, le cui coordinate sono comprese tra ed ; se per esempio , essi sono i punti per cui .

Se , ,... sono punti di di coordinate , , ..., , avrà luogo l’identità:

che equivale alla dimostrata nel §4, β (pagina 13).

) Noi spesso identificheremo un valore della variabile col punto di coordinata ; così, per esempio, diremo il punto anzichè dire il numero ; viceversa diremo talvolta il numero per indicare il punto , tale che il segmento abbia per misura .

La relazione biunivoca, da noi così determinata tra i numeri dell’aritmetica ed i punti di una retta, permette di trasformare proprietà geometriche in teoremi aritmetici e viceversa.