Lezioni di analisi matematica/Capitolo 2/Paragrafo 7

by Guido Fubini

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Guido Fubini - Lezioni di analisi matematica (1920)

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§ 7. — Aree e volumi.

Quando si studia in geometria elementare il problema della misura dell’area o del volume di una figura piana¹ o solida, si sceglie un poligono o un poliedro come unità di misura; il quale (secondo l’uso universale) è il quadrato o il cubo, il cui lato è l’unita di misura delle lunghezze.

Osservazioni. — Nonostante la scrittura in doppia colonna, il rigore richiede che la trattazione qui svolta per i volumi segua quella svolta nella prima colonna per le aree delle figure piane.

Sia $C$ un cilindro avente per base una figura piana $F$ e per altezza un segmento di misura $h$⁸. Chiameremo volume di $C$ un numero maggiore dei volumi dei prismi di uguale altezza $h$ aventi per base un poligono $p$ (prismi che sono contenuti in $C$)

Nelle matematiche elementari è definita l’area di ogni poligono 2 che è un numero positivo soddisfacente alle seguenti proprietà:	Nelle matematiche elementari è definito il volume di ogni pluricilindro 3 che è un numero positivo soddisfacente alle seguenti proprietà:
1°) Poligoni uguali hanno aree uguali.	1°) Pluricilindri uguali hanno volumi uguali.
2°) Se il poligono P è somma dei poligoni P1, P2, l’area di P è somma delle aree dei poligoni P1, P2. Da cui segue:	2°) Se il pluricilindro P è somma dei pluricilindri P1, P2, il volume di P è somma dei volumi di P1, P2. Ne segue:
3°) Se il poligono P1 è contenuto in P, l’area di P1 non supera l’area di P.	3°) Se il pluricilindro P1 è contenuto in P, il volume di P1 non supera il volume di P.
Possiamo noi definire l’area di figure piane più generali dei poligoni? Ecco il problema che vogliamo esaminare. Naturalmente dobbiamo porre una definizione che conservi all’area di figure piane più generali dei poligoni le proprietà su accennate per le aree dei poligoni: proprietà del resto comuni alle misure delle grandezze di una specie qualunque.	Possiamo noi definire i volumi di solidi più generali dei pluricilindri? Ecco il problema che vogliamo esaminare. Naturalmente dobbiamo porre una definizione che conservi al volume delle figure solide più generali dei pluricilindri le proprietà su accennate per i volumi dei pluricilindri: proprietà del resto comuni alle misure delle grandezze di una specie qualsiasi. misure delle grandezze di una specie qualunque. comuni alle misure delle grandezze di una specie qualsiasi.
Osserviamo che, se $F$ è una figura piana, la quale contiene un poligono $p$ ed è a sua volta contenuta in un altro poligono $P$, e se $F$ possiede un’area che goda di proprietà analoghe alle precedenti, bisognerà che tale area di $F$ sia definita come un numero non minore dell’area di $p$, nè maggiore dell’area di $P$.	Osserviamo che, se $F$ è una figura solida qualsiasi, la quale contiene un pluricilindro $p$ ed è a sua volta contenuta in un altro pluricilindro $P$, e se $F$ possiede un volume che goda di proprietà analoghe alle precedenti, bisogna che tale volume di $F$ sia definito come un numero non minore del volume di $p$, nè maggiore del volume di $P$.
Guidati da questa osservazione noi converremo di parlare di area di una figura piana $F$ soltanto se esistono tanto dei poligoni $p$ tutti contenuti in $F$, quanto dei poligoni $P$ contenenti $F$4.	Guidati da questa osservazione noi converremo di parlare di volume di una figura solida $F$ soltanto se esistono tanto dei pluricilindri $p$ tutti contenuti in $F$, quanto dei pluricilindri $P$ contenenti $F$4.
E per area di $F$ intenderemo un numero che non sia minore delle aree di un $p$, nè maggiore delle aree di un $P$. In altre parole l’area di $F$ dovrà almeno essere uguale al limite superiore $\lambda$ delle aree dei $p$ e al più essere uguale al limite inferiore $\Lambda$ delle aree dei $P$. (È evidentemente $\lambda \leq \Lambda$).	E per volume di $F$ intenderemo un numero che non sia minore del volume di un $p$, nè maggiore del volume di alcun $P$. In altre parole il volume di $F$ dovrà almeno essere uguale al limite superiore $\lambda$ dei volumi dei $p$ e al più essere uguale al limite inferiore $\Lambda$ dei volumi dei $P$. (È evidentemente $\lambda \leq \Lambda$).
Ma noi vogliamo che l’area di $F$ sia completamente determinata da $F$5. Il caso più elementare in cui questo avviene (Peano-Jordan) è il caso che $\lambda =\Lambda$, ossia che le aree dei $p$ e quelle dei $P$ formino due classi contigue. In questo caso (che è l’unico considerato in questolibro) le precedenti osservazioni bastano a definire completamente l’area di $F$ come il numero $\lambda =\Lambda$ di separazione tra la classe delle aree dei p, e la classe delle aree dei P.	Ma noi vogliamo che il volume di $F$ sia completamente determinato da $F$5. Il caso più elementare in cui questo avviene (Peano-Jordan) è il caso che $\lambda =\Lambda$ ossia che i volumi dei $p$ e quelli dei $P$ formino due classi contigue. In questo caso (che è l’unico considerato in questo libro) le precedenti osservazioni bastano a definire completamente il volume di $F$ come il numero $\lambda =\Lambda$ di separazione tra la classe dei volumi dei p, e la classe dei volumi dei P. libro) le precedenti osservazioni bastano a definire completamente l’area di $F$ come il numero $\lambda =\Lambda$ di separazione tra la classe delle aree dei p, e la classe delle aree dei P. in questo libro) le precedenti osservazioni bastano a definire completamente il volume di $F$ come il numero $\lambda =\Lambda$ di separazione tra la classe dei volumi dei p, e la classe dei volumi dei P.
Noi parleremo dunque di area di una figura $F$, soltanto se esistono poligoni $p$ contenuti in $F$, e poligoni $P$ contenenti $F$; e se inoltre le classi delle loro aree sono contigue. Il numero $\lambda =\Lambda$ di separazione delle due classi si dirà l’area di F.	Noi parleremo dunque di volume di una figura $F$, soltanto se esistono pluricilindri $p$, contenuti in $F$, e pluricilindri $P$ contenenti $F$; e se inoltre le classi dei loro volumi sono contigue. Il numero $\lambda =\Lambda$ di separazione delle due classi si dirà il volume di F.
Questa definizione non è che la naturale estensione della definizione, che nelle matematiche elementari si dà per l’area $\sigma$ di un cerchio $S$. Ivi infatti tale area $\sigma$ viene definita come il numero che separa le classi contigue formate dalle aree dei poligoni $p$ tutti interni a $S$, e dei poligoni $P$ che comprendono il cerchio $S$ all’interno6.	Questa definizione non è che la naturale estensione della definizione che nelle matematiche elementari si dà per il volume $\sigma$ di una sfera $S$. Ivi infatti tale volume $\sigma$ viene definito come il numero che separa le classi contigue formate dai volumi dei pluricilindri $p$ tutti interni ad $S$, e dei pluricilindri $P$ che comprendono la sfera $S$ all’interno7.
È poi evidente che l’area così definita gode delle proprietà enunciate sopra a pagina 219.	È poi evidente che il volume così definito gode delle proprietà enunciate sopra a pagina 219.
Queste proprietà sono del resto insite nel fatto, che le precedenti considerazioni trattano il problema della misura di una classe particolare di grandezze.	Queste proprietà sono del resto insite nel fatto, che le precedenti considerazioni trattano il problema della misura di una classe particolare di grandezze.
Se invece fosse $\Lambda >\lambda$, il numero $\Lambda$ si potrebbe chiamare l’area esterna, il numero $\lambda$ l’area interna della figura considerata. Questi due numeri godono, come è evidente, di alcune, ma non di tutte le proprietà dell’area nel senso elementare (sopra definito) della parola. Noi lo proveremo nel modo esposto in fine al paragrafo.	Se invece fosse $\Lambda >\lambda$, il numero $\Lambda$ si potrebbe chiamare il volume esterno, il numero $\lambda$ il volume interno della figura considerata. Questi due numeri godono, come è evidente, di alcune, ma non di tutte le proprietà del volume nel senso elementare (sopra definito) della parola.
Sia $C$ un cilindro avente per base una figura piana $F$ e per altezza un segmento di misura $h$10. Chiameremo volume di $C$ un numero maggiore dei volumi dei prismi di uguale altezza $h$ aventi per base un poligono $p$ (prismi che sono contenuti in $C$)e minore dei volumi dei prismi di uguale altezza $h$ e aventi per base un poligono $P$ (prismi contenenti $C$). I volumi di tali prismi sono dati dal prodotto di $h$ rispettivamente per l’area della base $p$ e $P$. Quindi, con le notazioni precedenti, il volume di $C$ sarà non minore di $\lambda h$ e non maggiore di $\Lambda h$. Se la base $F$ ha un’area, se cioè $\lambda =\Lambda$, il volume di $C$ sarà $\lambda h=\Lambda h$, cioè sarà dato dal prodotto dell'area della base per la misura dell’altezza. Noi considereremo nel seguito soltanto cilindri la cui base ha un’area. Diremo pluricilindro un solido, che si possa decomporre in un numero finito di cilindri, e suo volume la somma dei volumi dei cilindri parziali.

Ecco una proprietà delle aree, che vale anche per le aree esterna ed interna.

Se i punti comuni a due figure piane F₁, F₂ formano un segmento rettilineo r, ed F₁, F₂ giacciono da bande opposte rispetto ad r, l’area esterna (interna) della figura F = F₁ + F₂, vale la somma delle aree esterne (interne) delle F₁, F₂.

Per l’area interna si osservi che un poligono $p$ tutto interno ad $F$ è diviso da $r$ in due poligoni $p_{1}$, $p_{2}$ interni rispettivamente a $F_{1}$, $F_{2}$. E viceversa la somma di due tali poligoni $p_{1}$, $p_{2}$ si può considerare come un poligono $p$ (eventualmente non connesso) interno ad $F$. Tanto basta per asserire che il limite superiore dell’area dei $p$ (area interna di $F$) vale la somma dei limiti superiori delle aree dei $p_{1}$, $p_{2}$ (cioè delle aree interne di $F_{1}$, $F_{2}$).

Una dimostrazione analoga vale per le aree esterne. Si osservi a tal fine che l’area esterna di $F_{i}$ (per $i=1,2$) si può definire come il limite inferiore delle aree dei poligoni $P_{i}$ contenenti $F_{i}$ all’interno e posti rispetto ad $r$ dalla stessa banda di $F_{i}$. Per tali poligoni $P_{1}$, $P_{2}$, e per i poligoni $P$ contenenti $F$ all’interno si possono svolgere considerazioni analoghe alle precedenti relative a $p$, $p_{1}$, $p_{2}$.

Osservazioni critiche.

Il concetto intuitivo di dominio si può precisare nel modo seguente, in cui per brevità ci riferiremo a dominii piani (confronta la prima nota a piè di pagina 21).

Sia $C$ una classe di punti. Sia $A$ un punto di questa classe. Noi diremo che esso è interno a $C$, se esiste un cerchio di centro $A$, i cui punti appartengono tutti a $C$; diremo che un punto $B$ non appartenente a $C$ è esterno a $C$, se esiste un cerchio di centro $B$, nessun punto del quale appartiene a $C$.

Diremo che un punto $L$ del piano appartiene al contorno di $C$, se in ogni cerchio di centro $L$ esistono sia punti che appartengono, sia punti che non appartengono a $C$.

Diremo che una classe $C$ di punti del piano è un dominio se:

$\alpha )$ Ogni punto di $C$ o è interno a $C$, o appartiene al contorno di $C$.

$\beta )$ Ogni punto che non appartiene a $C$ è esterno a $C$.

$\gamma )$ Esiste almeno un punto interno a $C$.

Diremo che il dominio è connesso, se, scelti ad arbitrio due suoi punti interni $E$, $F$ si può trovare un numero finito di cerchi $\gamma _{1},\gamma _{2},\ldots ,\gamma _{n}$ tali che:

$\alpha )$ Due cerchi consecutivi hanno infiniti punti comuni (cioè le loro periferie si incontrano in due punti).

$\beta )$ Il primo cerchio contiene $E$, l’ultimo contiene $F$.

$\gamma )$ I punti di ogni cerchio sono tutti interni a $C$.

I poligoni, i cerchi, eccetera della geometria elementare sono dominii connessi; l’insieme di due cerchi esterni l’uno all’altro è un dominio non connesso. Le precedenti definizioni si possono porre per ogni dominio connesso.

I poligoni $p$ saranno quei poligoni, i cui punti (esclusi al più i punti del perimetro) sono tutti punti interni al dominio considerato. I poligoni $P$ saranno quei poligoni che contengono ogni punto interno o posto sul contorno del dominio considerato. La differenza di due poligoni $P$, $p$ è un poligono (dominio limitato da segmenti) che contiene tra i suoi punti tutti i punti del contorno del dominio dato. Il dominio dato avrà un’area, se esisterà almeno un poligono $P$ (ciò che si esprime dicendo che il dominio dato è finito) e se le aree dei poligoni $P$, $p$ formeranno due classi contigue. Ciò avviene soltanto quando i poligoni che contengono tutti i punti del suo contorno hanno aree, il cui limite inferiore è nullo.

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Note

1. Qui e nel seguito usiamo la parola figura piana (sarebbe più preciso dire dominio connesso) (confronta l’osservazione critica in fine del § 7).
   Nei casi più comuni delle applicazioni si tratta di figure limitate da tratti di rette, cerchi, ellissi, eccetera.
   Osservazioni analoghe valgono per i solidi di cui ci occuperemo.
2. Vedremo che sovente potremmo parlare soltanto di plurirettangoli (cioè poligoni somma di un numero finito di rettangoli parziali). Ciò che rende più evidente ancora l’analogia tra i due problemi: quello della misura delle aree, quello della misura dei volumi.
3. Si potrebbe anche parlare di piramidi, o di poliedri. Ma per noi basta parlare di pluricilindri (cioè di un solido somma di un numero finito di cilindri).
4. Cioè ogni punto interno a $p$ è interno ad $F$, ed ogni punto interno ad $F$ è interno a $P$.
5. Naturalmente se è prefissata l’unità di misura.
6. Si noti ancora che nel caso del cerchio $S$ i poligoni $p$ si suppongono inscritti in $S$, i poligoni $P$ circoscritti. E ciò perchè i poligoni inscritti in $S$ sono interni ad $S$, i poligoni circoscritti ad $S$ contengono $S$ all’interno. Nel caso generale non si può più parlare di poligoni inscritti e circoscritti; perchè (anche ammessa l’esistenza di tali poligoni) i poligoni $p$ inscritti possono essere non tutti interni a $S$, e i poligoni $P$ circoscritti possono non contenere $S$ tutto all’interno, come dimostrano le seguenti figure 3-4. Fig. 3. Fig. 4.
7. Veramente nei trattati elementari ci si limita a considerare generalmente dei pluricilindri inscritti o circoscritti (confronta Nota precedente).
8. È noto che, se $\pi$ è il piano della figura $F$, allora $C$ è il luogo dei punti posti da una stessa banda di $\pi$, i quali distino da $\pi$ non più di $h$, e che abbiano per proiezione su $\pi$ un punto di $F$.
9. Infatti sia $F$, per esempio, una figura piana somma di due figure $F_{1}$, $F_{2}$ senza punti interni comuni. Tra i poligoni $p$ interni ad $F$ vi sono quelli (ad uno o più pezzi), che sono somma di un poligono $p_{1}$ relativo ad $F_{1}$ e di un poligono $p_{2}$ relativo ad $F_{2}$. Quindi il limite superiore $\lambda$ delle aree dei poligoni $p$ vale almeno la somma dei limiti superiori $\lambda _{1}$, $\lambda _{2}$ delle aree dei poligoni $p_{1}$, $p_{2}$, cioè $\lambda \geq \lambda _{1}+\lambda _{2}$. Sia $P_{1}$ un poligono che contiene $F_{1}$ all’interno, e $P_{2}$ un poligono analogo per $F_{2}$; sia $\pi$ la parte comune. Il poligono $P_{1}+P_{2}-\pi$ contiene $F$ all’interno, ed è perciò un poligono $P$ relativo ad $F$. La sua area non supera la somma delle aree dei poligoni $P_{1}$, $P_{2}$. Perciò, sommando insieme l’area di un poligono $P_{1}$ con l’area di un poligono $P_{2}$, si trova un numero, che non è inferiore all’area di qualche poligono $P$ relativo alla figura $F$. Quindi il limite inferiore $\Lambda$ delle aree dei poligoni $P$ non può superare la somma $\Lambda _{1}+\Lambda _{2}$ dei limiti analoghi per $F_{1}$, $F_{2}$. Perciò $\Lambda _{1}+\Lambda _{2}\geq \Lambda \geq \lambda \geq \lambda _{1}+\lambda _{2}$. Poichè $\lambda _{1}=\lambda _{1}$, $\lambda _{2}=\Lambda _{2}$ per ipotesi, sarà $\Lambda _{1}+\Lambda _{2}=\lambda _{1}+\lambda _{2}=\Lambda =\lambda$, come volevasi provare.
10. È noto che, se $\pi$ è il piano della figura $F$, allora $C$ è il luogo dei punti posti da una stessa banda di $\pi$, i quali distino da $\pi$ non più di $h$, e che abbiano per proiezione su $\pi$ un punto di $F$.