Lezioni di analisi matematica/Capitolo 21/Paragrafo 135

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Guido Fubini - Lezioni di analisi matematica (1920)

Capitolo 21 - Alcune funzioni di variabile complessa

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[p. 455 modifica]

§ 135. — Alcune funzioni di variabile complessa.

$\alpha$ ) Le funzioni $e^{x},{\text{cos}}\,z,{\text{sen}}\,z$ sono definite per tutti i valori della $z$ da una serie di potenze, e si possono considerare perciò funzioni della $z$ , anche se $z$ è complesso.

$\beta$ ) DImostriamo che anche una funzione razionale, cioè un quoziente di polinomi di una variabile $z$ è pure una funzione della variabile $z$ , cioè è sviluppabile in serie di potenze. Se noi introduciamo nei calcoli anche numeri complessi, l'enunciato del teor. a pag. 250-251 si può semplificare provando che ogni frazione ${\frac {P(z)}{Q(z)}}$ è somma di un polinomio, di frazioni semplici del tepi ${\frac {A}{z-a}}$ ¹ e dalla derivata di un'altra frazione ${\frac {V(z)}{W(z)}}$ . Applicando a quest'ultima lo stesso teorema, e così continuando, si prova che ogni frazione ${\frac {,}{A}}{z-a}$ , e di derivate di tali frazioni semplici.

Basterà dunque provare che ${\frac {A}{z-a}}$ , o, ciò ch'è lo stesso, che ${\frac {1}{z-a}}$ è sviluppabile in serie di potenze. Se $z_{0}\not =a$ è un numero qualsiasi, si ha appunto (per la nota formola delle progressioni geometriche)

${\frac {1}{z-a}}={\frac {1}{(z-z_{0})-(a-z_{0})}}={\frac {1}{z_{0}-a}}{\frac {1}{1-{\frac {z-z_{0}}{a-z_{0}}}}}=$

$={\frac {1}{z_{0}-a}}\left\{1+\sum _{1}^{\infty }{\frac {1}{(a-z_{0})^{n}}}(z-z_{0})^{n}\right\}$

nel cerchio definito dalla: $|z-z_{0}|<|a-z_{0}|$ , cioè entro il cerchio di centro $z_{0}$ , la cui periferia passa per il punto $a$ . [p. 456 modifica]Se ne deduce facilmente che una frazione razionale data ad arbitrio è sviluppabile in serie di potenze della $\mathrm {z-z_{0}}$ in ogni cerchio di centro $\mathrm {z_{0}}$ , il quale non contenga punti ove la frazione dicenta singolare (il cui quindi denominatore si annulla). (Cfr. il teorema di Cauchy citato in nota a piè di pag. 209).

Note

↑ La dimostrazione del § 76 continua a valere, se ad una frazione del ripo ${\frac {Mx+N}{x^{2}+px+q}}$ (il cui denom., uguagliato a zero, abbia radici complesse $b,c$ ) sostituiamo una espressione del tipo ${\frac {B}{x-b}}+{\frac {C}{z-c}}$ (con $B,C$ costanti).

[1] La dimostrazione del § 76 continua a valere, se ad una frazione del ripo ${\frac {Mx+N}{x^{2}+px+q}}$ (il cui denom., uguagliato a zero, abbia radici complesse $b,c$ ) sostituiamo una espressione del tipo ${\frac {B}{x-b}}+{\frac {C}{z-c}}$ (con $B,C$ costanti).

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