Lezioni di analisi matematica/Capitolo 21/Paragrafo 136

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Capitolo 21 - Integrazione meccanica

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§ 136. — Integrazione meccanica.

È noto che il calcolo dell'integrale di una funzione non si può eseguire per via grafica (nota a pag. 325); con metodo grafico si possono risolvere le equazioni algebriche. Le scienze applicate dànno numerosi e svariati metodi di calcolo grafico.

Accanto ad essi esistono metodi meccanici per i calcoli più molteplici: ci basta ricordare le macchine così note per eseguire le operazioni fondamentali dell'artimetica.

Più semplici assai di esse sono gli strumenti che, pure ricorrendo al disegno, servono ad eseguire le integrazioni, e che si dividono in due categorie: gli integrafi, che calcolano gli integrali indefiniti, ed i planimetri, che calcolano gli integrali definiti, o più generalmente le aree delle figure piane. Di planimetri esistono tipi svariatissimi; e noi ne studieremo, a titolo di esempio, soltanto due. Avverto che noi studiamo i tipi teoricamente più semplici, ma non parliamo del semplicissimo planimetro di Prytz, perchè non è troppo preciso.

A) Intergrafo di Abdank-Abahanowicz.

Al § 73, pag. 238, abbiamo già citato alcune applicazioni di questo intergrafo al calcolo numerico delle radici di una equazione algebrica. Tale apparecchio risolve il problema seguente: Disegnata una curva , tracciare una qualsiasi delle curve . Esso è fondato sul fatto sperimentale che se una rotella ruota senza strisciare su un foglio di carta ed è sempre contenuta in un piano perpendicolare al foglio stesso, allora il punto di contatto della rotella e del foglio descrive una curva le cui tangenti sono date dall'intersezione del piano del foglio col piano della rotella. Ecco una descrizione soltanto schematica di detto intergrafo.

Sia una curva ; e sia la curva dove , cosicchè . Sia un punto dell'asse delle e siano i punti corrispondenti [p. 457 modifica]delle curve ed . Sia quel punto dell'asse delle tale che il segmento 1.

Il coefficiente angolare della tangente alla curva per math>x=a</math>, ossia nel punto , vale .

Il coefficiente angolare della retta vale:

.

Queste due rette hanno dunque ugual coefficiente angolare, e sono percià parallele.

Supponiamo di aver disegnata la curva e di voler tracciare la curva , mentre una punta ascrivente descrive la . L'intergrafo porta un parallelogrammo articolato, un lato del quale coincide sempre con la reta , ipotenusa del triangolo rettangolo , che ha un cateto posto sull'asse delle ed è eguale a . Il lato opposto del parallelogramma sarà costantemente una retta parallela a ; esso porta una rotella tenuta sul prolungamento di , e in un piano passante per e normale al piano del foglio. Il punto di contatto di tale rotella descrive dunque una curna che ha in per tangente la retta parallela a . Il coefficiente angolare di tale tangente è così uguale al coefficiente angolare di . È perciò, come si voleva, . La indeterminazione di una costante additiva per la funzione corrisponde dell'intergrafo all'arbitrarietà della posizione iniziale della rotella lungo l'ordinata di .

L'intergrafo di Abdank è costruito in modo diverso per assicurarne il buon funzionamento. Il principio fondamentale è però quello da noi esposto.

B)1 Un primo tipo di planimetro.

Noi descriviamo ora un planimetro con un disco. Esso è poco pratico, e l'ingegnere di solito gli sostituisce il planimetro di Corradi a sfera e cilindro, senza filo. Ma, poichè la teoria di quest'ultimo è affatto analoga a quella che qui esporremo, e che presenta caratteri di speciale semplicità, così resta giustificata la scelta del planimetro, che qui descriviamo.

Tale planimetro consiste essenzialmente in un disco circolare piano di centro , il quale può essere dotato di due movimenti; uno di traslazione parallelamente all'asse della , [p. 458 modifica]e uno di rotazione intorno al suo asse centrale . Per poter scorrere parallelamente all'asse delle il disco in questione è guidato generalmente da tre piccole rotaie. Attorno all'asse centrale del disco è avvolto un filo ; quando si tende il filo e lo si svolge dall'asse, il disco acquista un movimento di rotazione e l'angolo di rotazione è proporzionale all'allungamento del filo. Questo filo da una speciale disposizione strumentale (un'asta) è tenuto sempre parallelo all'asse delle .

Quando l'estremità mobile del filo ha un movimento parallelo all'asse delle , tutto l'apparecchio ad esso solidale riceve pure un tale movimento; e il disco di asse non ruota.

Fig. 47. Quando invece il punto riceve un movimento parallelo all'asse delle , l'asse del disco rimane fisso, il filo si allunga e si svolge imprimendo n movimento di rotazione al disco di un angolo proporzionale allo spostamento ricevuto da .

Al piede della perpendicolare calata dal centro del disco all'asse delle vi è una rotellina tangente a , posta in quel piano perpendicolare al piano del disco, che passa per l'asse delle , e tenuta in contatto col disco stesso. tale rotellina è munita di contagiri. Col suo moto di rotazione il disco imprimerà ad pure un movimento di rotazione: un contagiri misura il numero dei giri e frazioni di giro compiuti da .

Vediamo che cosa avviene quando l'estremità mobile del nostro filo (che porta una punta) percorre una curva .

Supponiamo, p. es., la crescente come nel caso della figura. Man mano che la punta cammina sulla curva, il filo si innalza e si allunga verso destra, così che il disco si innalza e insieme ruota. [p. 459 modifica]Dico che l'integrale è proporzionale al numero di giri, contato dal contagiri, compiuti dalla rotellina , mentre la punta percorre il pezzo di curva che si proietta nel segmento .

Il coefficiente di proporzionalità varierà poi secondo le dimensioni dell'apparecchio e le unità di misura scelte. Dimostreremo il teorema, usando senz'altro locuzioni abbreviate.

Osserviamo anzitutto che, mentre il disco si innalza o si abbassa parallelamente all'asse delle , la rotella non gira.

Affinchè la rotella giri bisogna che:

1° Il filo si svolga dall'asse e faccia rotare il disco .

2° La rotella non si trovi sul centro del disco, ma sia eccentrica.

Ed è anzi be evidente che l'angolo di cui gira la rotella è proporzionale a due quantità:

) l'allungamento dei fili ; ) la distanza da al centro del disco .

Dividiamo ora l'intervallo in infiniti segmenti infinitesimi; e sia uno di questi intervallini. In esso la si può considerare come costante (cfr. § 99); e mentre percorre il tratto di curva corrispondente, la distanza sarà appunto uguale alla di un punto di questo pezzo di curva.

L'allungamento del filo sarà uguale alla lunghezza della proiezione del nostro pezzo di curva sull'asse della ; e quindi, per quant dicemmo, l'angolo di cui gira la rotella (mentre percorre il tratto di curva che siproietta in ) è proporzionale tanta ala che a , e perciò, a meno di un fattore costante , che dipende dalle dimensioni dell'apparecchio 2. Il numero dei giri compiuto da , mentre l'estremintà del filo descrive tutto il pezzo di curva che si proietta nell'intervallo , è proporzionale alla somma degli angoli di cui ruota nei singoli intervallini parziali . tale numero di giri è dnque proporzionale a

                                                  ,                                        c. d. d. [p. 460 modifica]Questo planimetro può in modo affatto simile servire al calcolo dell'area non solo di rettangoloidi, ma di figure piane qualsiasi, come il lettore può facilmente dimostrare.

B)2 Planimetri di Amsler.

Un'asta rettilinea porti a un estremo una rotella posta in un piano normale ad e girevole intorno al suo centro . Un punto della retta sia costretto a muoversi su una linea prefissata , mentre il punto descrive un cammino chiuso posto nel piano di , e l'asta ritorna alla posizione iniziale. In tale movimento la rotella sia appoggiata al foglio del disegno, e compia un certo numero di giri. Si vuole, conoscendo , dedurne l'area racchiusa da .

A seconda della forma di , cambia il nome dato al planimetro: rettilinea, se è una retta; polare, se è un cerchio; curvilineo negli altri casi.

Per semplicità occupiamoci del primo caso, supponendo che:

) Il cammino non interseca la linea (guida) ;

) Il punto sia interno al segmento .

Supponiamo dapprima che il cammino sia composto di segmenti paralleli alla retta e di arghi di cerchi col centro su , e con raggio uguale al segmento . Quando descrive un , la nostra asta non muta di direzione e il segmento descrive un parallelogramma ; quando descrive un , la nostra asta gira di un angolo , e il segmento descrive un settore di area . Ma, poichè, alla fine del movimento l'asta è tornata alla posizione iniziale, la somma degli angoli percorsi in un senso è uguale alla somma degli angoli percorsi nel verso opposto, e i giri eseguiti corrispondentemente dalla in un verso elidono quelli eseguiti nel verso opposto. E così pure i settori descritti da , mentre l'asta ruota in un verso, hanno complessivamente un'area uguale a quella dei settori descritti da , mentre l'asta ruota nel verso opposto.

Ricordando questo, è facile riconoscere che l'area racchiusa da vale la differenza tra le aree dei parallelogrammi descritti da , quando descrive un segmento , muovendosi, p. es., da sinistra a destra, e quelli descritti da , quando descrive un segmento , muovendosi, p. es., da destra a sinistra. Quando descrive un , l'asta si muove parallelamente [p. 461 modifica]a sè stessa, e l'esperienza insegna che il numero dei giri compiuti da vale la distanza tra la posizione inziale e finale della sbarra divisa per la periferia di (se è il raggio di ), cioè vale l'area del parallelogrammo descritto dal segmento divisa per la costante .

L'area racchiusa da sarà dunque data dal numero totale dei giri eseguiti da (che possiamo leggere col contagiri) diviso per la cosante strumentale . Anzi con opportuna graduazione si può leggere senz'altro il numero

.

Se poi è un cammino chiuso di forma arbitraria, lo si può pensare come limite di cammini del tipo precedente. E, poichè l'esperienza insegna che, se dei cammini si avvicinano indefinitamente a un cammino , allora il n umero corrispondente tende al numero di giri corrispondente a , e nei casi comuni l'area racchiusa da ha per limite l'area racchiusa da , se ne deduce che il precedente risultato vale per cammini chiusi in generale.



FINE.

Note

  1. Il lettore disegni la figura.
  2. In modo preciso esso è compreso tra i prodotti di per il massimo o il minimo di in . L'allievo completi questa dimostrazione senza sussidio di locuzioni abbreviate.