Lezioni di analisi matematica/Capitolo 6/Paragrafo 30

by Guido Fubini

Capitolo 6 - Rappresentazione grafica delle funzioni

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Guido Fubini - Lezioni di analisi matematica (1920)

Capitolo 6 - Rappresentazione grafica delle funzioni

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§ 30. — Rappresentazione grafica delle funzioni.

Si voglia rappresentare una data funzione $f(x)$; si voglia cioè dare un mezzo o per studiare come varia $f(x)$ al variare di $x$, o senz’altro per calcolare i valori che assume $f(x)$ per ogni valore dato alla $x$ (nel campo $G$). Tra i metodi che possono servire a tale scopo, uno, il metodo delle tavole numeriche, è ormai famigliare al lettore, che ben conosce gli esempi delle tavole logaritmiche e trigonometriche, tanto utili per il calcolo rapido e sufficientemente approssimato delle funzioni:

$y=\log x$,

$y=\operatorname {sen} x$,

$y=\cos x$,

$y=\log \operatorname {sen} x$,

eccetera

Naturalmente si possono, almeno teoricamente, costruire tabelle numeriche per ogni funzione. La fisica ne porge numerosi esempi. Ricorderò, per esempio, le tavole che dànno la densità $y$ dell’acqua alle varie temperature $x$, la temperatura $y$ di ebollizione dell’acqua alle varie pressioni $x$, eccetera.

Ma talvolta si suole ricorrere a procedimenti grafici, i quali, sebbene generalmente meno precisi, hanno il vantaggio di permettere di abbracciare con un solo colpo d’occhio l’andamento di una funzione $y=f(x)$, e talvolta persino di risolvere con rapidità questioni che analiticamente porterebbero a lunghi sviluppi di calcolo. Ciò che è specialmente utile, se il campo $G$ dei valori, per cui è definita la $y$, è formato da tutti i punti di un intervallo; caso, al quale soltanto sono dedicate le considerazioni seguenti.

Su un foglio di carta si scelgono due rette normali $Ox$, $Oy$ come assi cartesiani ortogonali.

Sulla prima si portino dei segmenti $OA$ uscenti da $O$, aventi lunghezze $x=OA$ arbitrarie, ma appartenenti al campo $G$, ove la $y$ è definita.

Si innalzino dagli estremi $A$ di questi segmenti delle perpendicolari uguali in lunghezza e segno al valore della $y$ corrispondente al valore $OA$ della $x$. Otteniamo così vari punti; e tanti più ne otterremo, e (nei casi comuni) tanto più vicini, quanto sarà maggiore il numero dei valori della $x$ che si considerano, e quanto meno distano l’uno dall’altro questi valori. Se noi immaginiamo eseguite queste operazioni per tutti i valori della $x$, gli estremi delle perpendicolari innalzate si trovano su una curva, che diremo immagine della funzione $f(x)$, e che la Geometria Analitica chiamerebbe la curva che ha per equazione $y=f(x)$. Dobbiamo anzitutto fare alcune osservazioni:

1° Il disegno resta molto facilitato se la carta è millimetrata, perchè così più facilmente si misurano i segmenti paralleli o normali ad $Ox$ (purchè $Ox$ sia una delle righe tracciate sulla carta). Il Regnault, per maggiore precisione, in taluni suoi studi ricorse a curve tracciate su tavole di rame.

2° È impossibile disegnare effettivamente tutti i segmenti normali ad $Ox$, di cui si ha bisogno. Generalmente se ne traccia soltanto un numero sufficientemente grande, congiungendo poi gli estremi con una linea possibilmente regolare. Questo è sufficiente nei casi più comuni. (La frase linea regolare non ha un preciso significato matematico, ma un ben chiaro significato intuitivo).

3° Talvolta però si usano speciali disposizioni pratiche, che permettono di ottenere senz’altro la nostra curva, o, come si suol anche dire, il nostro diagramma.

Immaginiamo, per esempio, che il nostro foglio di carta strisci su sè stesso, in modo che la retta $Ox$ strisci su sè stessa. La velocità di tale strisciamento sia uniforme e tale da far percorrere verso sinistra l’unità di lunghezza (per esempio 1 cm.) nell’unità di tempo (per esempio $1'$); in altre parole, il punto posto a destra di $O$ su $Ox$, alla distanza di $x$ cm. dal punto $O$, sia dopo $x$ minuti primi venuto proprio in $O$. Il punto $M$ sia mobile sulla retta che è la posizione iniziale di $Oy$, parta dal punto $O$, percorra lo spazio $f(x)$ in $x$ minuti secondi¹, e porti una punta scrivente sul foglio di carta. La traccia lasciata da esso sarà precisamente la $y=f(x)$. In pratica il foglio di carta è avvolto su un cilindro (che un movimento d’orologeria fa rotare di velocità uniforme) e viene poi svolto su un piano; la punta scrivente congiunta ad $M$ è da una molla premuta su tale cilindro. Se il punto mobile $M$ fosse, per esempio, un punto invariabilmente congiunto all’estremità superiore di una colonna termometrica o barometrica, l’apparecchio diverrebbe un registratore automatico della temperatura (termografo), o della pressione atmosferica (barografo).

4° È inutile avvertire che generalmente i punti della retta $Ox$ a sinistra di $O$ corrispondono a valori negativi della $x$, i punti della $Oy$ posti al di sotto di $O$ a valori negativi della $y$.

Dall’esame della curva $y=f(x)$ si possono dedurre molte proprietà della $f(x)$. Così, per esempio, se noi ritorniamo al punto mobile $M$, e alla figura qui sopra disegnata, noi vediamo tosto da essa che $y$ cresce fino a che $x$ assume un valore $x=\alpha$ di poco inferiore a $\textstyle {\frac {7}{4}}$ per poi diminuire. Ciò vuol dire che nei primi $\alpha$ minuti il punto $M$ si allontana da $O$ per poi di nuovo avvicinarsi ad $O$. Essendo, diremo così, più ripida la curva per $x>\alpha$, che per $x<\alpha$, ne deduciamo che la velocità con cui $M$ ritorna verso $O$ è maggiore di quella con cui se ne era allontanato, eccetera.

Se ci proponiamo di vedere in quali istanti la distanza $OM$ era, per esempio, uguale a 1, basta cercare i punti della nostra curva, la cui distanza da $Ox$ vale 1; si trovano facilmente i punti $B$, $C$, le cui ascisse la nostra figura dimostra approssimativamente uguali a $\textstyle {\frac {5}{8}}$ e $\textstyle {\frac {21}{8}}$. Quindi dopo circa $\textstyle {\frac {5}{8}}$ o $\textstyle {\frac {21}{8}}$ minuti la distanza $OM$ vale 1, eccetera, eccetera.

Anche solo queste prime e semplicissime applicazioni basteranno a dare un’idea di alcuni dei vantaggi che presenta il metodo grafico di rappresentare una funzione. E oramai negli studi più svariati di fisica, di economia, eccetera, si ricorre ad esso. Ricorderò qui soltanto i così utili orari grafici delle strade ferrate, che sono appunto costruiti per rappresentare il movimento su una linea $Ox$ di un treno $M$ secondo i principii sopra svolti.

Voglio citare ancora un esempio di rappresentazione grafica². Sia data dell’anidride carbonica che alla temperatura 0° e alla pressione di un’atmosfera ha il volume 0,9936. Tenendo costante la temperatura, la pressione $y$, misurata in atmosfere, a cui si assoggetta il gas, è funzione del volume $x$ occupato dallo stesso gas. E si ha precisamente l’equazione di Van Der Waals:

$\left(y+{\frac {0,00874}{x^{2}}}\right)(x-0,0023)=1$

che permette, per ogni valore della $x$, di calcolare il corrispondente valore della $y$.

In questa equazione sono contenute tutte le leggi di dipendenza della $y$ dalla $x$. Ma queste diventano ben più intuitive, se ricorriamo alla rappresentazione grafica. Calcolando per mezzo di questa equazione i valori di $y$ corrispondenti a un dato valore della $x$, costruiamo facilmente la seguente tabella:

x	y		x	y
0,1	9,4		0,008	38,8
0,05	17,5		0,005	20,9
0,015	39,9		0,004	42,0
0,01	42,6		0,003	45,7

E la rappresentazione grafica dà la curva qui disegnata, in cui però per misurare i segmenti dell’asse delle $x$ e quelli dell’asse delle $y$ si sono scelte distinte unità di lunghezza.

Ne deduciamo, per esempio, che:

1° Data la distanza $y$ di un punto della curva dall’asse delle $x$, il punto è determinato, e ne è quindi determinata l’ascissa $x$, se per esempio $y>\alpha$ o $y<\beta$, essendo $\alpha$ un numero che la figura dimostra compreso tra 40 e 50, e $\beta$ prossimamente uguale a 20. Vale a dire: Se la pressione è minore di $\beta$ atmosfere o maggiore di $\alpha$, il volume del gas è completamente determinato dalla pressione a cui si assoggetta. Invece si vede tosto che a ogni valore della pressione $y$ compreso tra $\alpha$ e $\beta$ corrispondono tre possibili valori del volume $x$;

2° Si vede pure che mentre il volume cresce da 0,01 in poi, la pressione va diminuendo dapprima con una certa rapidità, poi con una certa lentezza. E, mentre il volume diminuisce da 0,005 in poi, la pressione va rapidamente aumentando, eccetera.

Esercizi.

1° Una funzione $y=\mathrm {cost} .$ è rappresentata da una retta parallela all’asse delle $x$.

2° Rappresentare le funzioni $y=3x+4$, $y=3x+5$, $y=4x+6$, $y=4x+7$.

Risposta Si deve verificare col disegno: $\alpha )$ che le curve corrispondenti sono rette; $\beta )$ che le prime due sono tra loro parallele, perchè hanno lo stesso coefficiente angolare 3; $\gamma )$ che anche le ultime due sono parallele.

3° Rappresentare graficamente la legge di Boyle-Mariotte. (Se $x$ è il volume d’un gas perfetto alla pressione $y$, è: $xy=costante$; si supponga questa costante, per esempio, uguale a 1). E dedurne come varia $y$ al variare della $x$. (La curva immagine è un’iperbole equilatera).

4° Rappresentare la curva $y={\sqrt {1-x^{2}}}$.

Risposta Si deve trovare un semicerchio.

5° Si rappresenti graficamente qualche fenomeno fisico, partendo o da una legge fisica o da tavole numeriche.

Così, per esempio, sì può rappresentare come varia la intensità luminosa $y$ al variare della distanza $x$ dalla sorgente luminosa ($yx^{2}=\mathrm {cost} .$), oppure come varia la densità $y$ di un corpo, l’acqua, per esempio, col variare della temperatura $x$, eccetera.

Note

1. Lo spazio $OM$ percorso da $M$ su $Oy$ è evidentemente una funzione del tempo $x$ impiegato a percorrerlo.
2. Tolgo questo esempio dal libro di Nernst u. Schöenfliess: Einführung in die mathem. Behandlung der Naturwissenschaften.