[p. 169 modifica ]
§ 51. — Derivate fondamentali.
α) Sia
y
=
cost.
{\displaystyle y={\text{cost.}}}
(p. es.
y
=
3
{\displaystyle y=3}
, oppure
y
=
5
{\displaystyle y=5}
). vale a dire la
y
{\displaystyle y}
non varii al variare della
x
{\displaystyle x}
. Gli incrementi
Δ
y
{\displaystyle \Delta y}
della
y
{\displaystyle y}
saranno sempre nulli; è quindi constantemente
Δ
y
Δ
x
=
0
{\displaystyle {\frac {\Delta y}{\Delta x}}=0}
, e perciò anche
y
′
=
lim
Δ
x
=
0
Δ
y
Δ
x
=
0
{\displaystyle y'=\lim _{\Delta x=0}{\frac {\Delta y}{\Delta x}}=0}
.
Ciò che del resto è geometricamente intuitivo, poichè
y
=
cost.
{\displaystyle y={\text{cost.}}}
è una retta parallela all'asse delle
x
{\displaystyle x}
.
Le sue tangenti coincidono quindi con essa, e perciò hanno coefficiente angolare
y
′
{\displaystyle y'}
nullo.
β) Si trovi la derivata di
y
=
sen
x
{\displaystyle y={\text{sen}}x}
.
Il rapporto incrementale è
sen
(
x
+
h
)
−
sen
x
h
{\displaystyle {\frac {{\text{sen}}(x+h)-{\text{sen}}x}{h}}}
; e perciò
y
′
=
lim
h
=
0
sen
(
x
+
h
)
−
sen
x
h
=
lim
h
=
0
sen
x
cos
h
+
sen
h
cos
x
−
sen
x
h
=
{\displaystyle y'=\lim _{h=0}{\frac {{\text{sen}}(x+h)-{\text{sen}}x}{h}}=\lim _{h=0}{\frac {{\text{sen}}x\cos h+{\text{sen}}h\cos x-{\text{sen}}x}{h}}=}
sen
x
lim
h
=
0
cos
h
−
1
h
+
cos
x
lim
h
=
0
sen
h
h
=
{\displaystyle {\text{sen}}x\lim _{h=0}{\frac {\cos h-1}{h}}+\cos x\lim _{h=0}{\frac {{\text{sen}}h}{h}}=}
=
0
⋅
sen
x
+
1
⋅
cos
x
=
cos
x
{\displaystyle =0\cdot {\text{sen}}x+1\cdot \cos x=\cos x}
.
Si ricordi che al § 37, p. 122-123, si è dimostrato
lim
h
=
0
sen
h
h
=
1
,
lim
=
0
1
−
cos
h
h
=
0
{\displaystyle \lim _{h=0}{\frac {{\text{sen}}h}{h}}=1,\lim _{=0}{\frac {1-\cos h}{h}}=0}
.
γ) Si trovi la derivata di
y
=
cos
x
{\displaystyle y=\cos x}
.
In modo analogo al precedente si trova:
y
′
=
lim
h
=
0
cos
(
x
+
h
)
−
cos
x
h
=
lim
h
=
0
cos
x
cos
h
−
sen
x
sen
h
−
cos
x
h
=
{\displaystyle y'=\lim _{h=0}{\frac {\cos(x+h)-\cos x}{h}}=\lim _{h=0}{\frac {\cos x\cos h-{\text{sen}}x{\text{sen}}h-\cos x}{h}}=}
=
cos
x
lim
h
=
0
cos
h
−
1
h
−
sen
x
lim
h
=
0
sen
h
h
=
−
sen
x
{\displaystyle =\cos x\lim _{h=0}{\frac {\cos h-1}{h}}-{\text{sen}}x\lim _{h=0}{\frac {{\text{sen}}h}{h}}=-{\text{sen}}x}
.
[p. 170 modifica ] δ) Si trovi la derivata di
y
=
a
x
(
a
>
0
)
{\displaystyle y=a^{x}(a>0)}
.
Si ha
y
′
=
lim
h
=
0
a
x
+
h
−
a
x
h
=
lim
h
=
0
a
z
(
a
h
−
1
)
h
=
a
x
lim
h
=
0
a
h
−
1
h
=
{\displaystyle y'=\lim _{h=0}{\frac {a^{x+h}-a^{x}}{h}}=\lim _{h=0}{\frac {a^{z}(a^{h}-1)}{h}}=a^{x}\lim _{h=0}{\frac {a^{h}-1}{h}}=}
=
a
x
log
e
a
{\displaystyle =a^{x}\log _{e}a}
(cfr. § 38, pag. 127).
In particolare la derivata
y
=
e
x
{\displaystyle y=e^{x}}
è uguale a
y
′
=
e
x
log
e
=
e
x
{\displaystyle y'=e^{x}\log _{e}=e^{x}}
.
ε) Si trovi la derivata di
y
=
log
a
x
(
a
>
0
)
(
x
>
0
)
{\displaystyle y=\log _{a}x(a>0)(x>0)}
.
Si ha
y
′
?
lim
h
=
0
log
a
(
x
+
h
)
−
log
a
x
h
{\displaystyle y'?\lim _{h=0}{\frac {\log _{a}(x+h)-\log _{a}x}{h}}}
.
Posto
h
=
x
m
{\displaystyle h={\frac {x}{m}}}
, ossia posto
m
=
x
h
{\displaystyle m={\frac {x}{h}}}
, se ne deduce:
y
′
=
lim
m
=
∞
log
a
(
x
+
x
m
)
−
log
a
x
x
:
m
=
1
x
lim
m
=
∞
m
log
a
x
+
x
m
x
=
{\displaystyle y'=\lim _{m=\infty }{\frac {\log _{a}\left(x+{\frac {x}{m}}\right)-\log _{a}x}{x:m}}={\frac {1}{x}}\lim _{m=\infty }m\log _{a}{\frac {x+{\frac {x}{m}}}{x}}=}
=
1
x
lim
m
=
∞
log
a
(
1
+
1
m
)
m
=
log
a
e
{\displaystyle ={\frac {1}{x}}\lim _{m=\infty }\log _{a}\left(1+{\frac {1}{m}}\right)^{m}=\log _{a}e}
.
In particolare, se
a
=
e
{\displaystyle a=e}
, si ha che la derivata di
y
=
log
e
x
{\displaystyle y=\log _{e}x}
è
y
′
1
x
{\displaystyle y'{\frac {1}{x}}}
: coò che del resto avevamo già trovato (pag. 166, es. 1°, γ) per via geometrica.
λ) Derivare
y
=
x
n
{\displaystyle y=x^{n}}
(
n
{\displaystyle n}
intero positivo).
Ris. Si noti che
(
x
+
h
)
n
=
x
n
+
n
h
x
n
−
1
+
n
(
n
−
1
)
2
h
2
x
n
−
2
+
⋯
{\displaystyle (x+h)^{n}=x^{n}+nhx^{n-1}+{\frac {n(n-1)}{2}}h^{2}x^{n-2}+\cdots }
Si troverà
y
′
=
n
x
n
−
1
{\displaystyle y'=nx^{n-1}}
.
η) Derivare
y
=
x
{\displaystyle y={\sqrt {x}}}
.
Si ha
y
′
=
lim
h
=
0
x
+
h
−
x
h
=
lim
(
x
+
h
)
−
x
h
|
x
+
h
+
x
|
{\displaystyle y'=\lim _{h=0}{\frac {{\sqrt {x+h}}-{\sqrt {x}}}{h}}=\lim {\frac {(x+h)-x}{h|{\sqrt {x+h}}+{\sqrt {x}}|}}}
.
Si trova
y
′
=
1
2
x
{\displaystyle y'={\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}}
. [p. 171 modifica ] θ) Derivare
y
=
tg
x
{\displaystyle y={\text{tg}}x}
Ris. Il rapporto incrementale è
tg
(
x
+
h
)
−
tg
x
h
=
1
cos
x
cos
(
x
+
h
)
sen
h
h
{\displaystyle {\frac {{\text{tg}}(x+h)-{\text{tg}}x}{h}}={\frac {1}{\cos x\cos(x+h)}}{\frac {{\text{sen}}h}{h}}}
.
Si trova
y
′
=
1
cos
2
x
{\displaystyle y'={\frac {1}{\cos ^{2}x}}}
.
Derivare
x
=
cotg
x
{\displaystyle x={\text{cotg}}x}
.
Si trova
y
′
=
−
1
sen
2
x
{\displaystyle y'=-{\frac {1}{{\text{sen}}^{2}x}}}
.
La derivata di
y
=
s
h
x
{\displaystyle y=shx}
vale
c
h
x
{\displaystyle chx}
; e quella di
y
=
c
h
x
{\displaystyle y=chx}
vale
s
h
x
{\displaystyle shx}
(e non
−
s
h
x
{\displaystyle -shx}
) (cfr. pag. 133).