Lezioni di analisi matematica/Capitolo 8/Paragrafo 57

by Guido Fubini

Capitolo 8 - Derivata del quoziente di due funzioni

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Guido Fubini - Lezioni di analisi matematica (1920)

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§ 57. — Derivata del quosiente di due funzioni.

Ora cerchiamo la derivata di $y={\frac {1}{\psi (x)}}$, supponendo che $\psi (x)$ sia una funzione differente da zero avente derivata finita.

Avremo

$y'=\lim _{h=0}{\frac {{\frac {1}{\psi (x+h)}}-{\frac {1}{\psi (x)}}}{h}}=\lim _{h=0}{\frac {\psi (x)-\psi (x+h)}{h\psi (x)\psi (x+h)}}=$

$\lim _{h=0}{\frac {-1}{\psi (x)\psi (x+h)}}{\frac {\psi (x+h)-\psi (x)}{h}}$,

che è il limite del prodotto di due fattori.

La $\psi (x)$ è continua, perchè la sua derivata esiste (ed è finita); quindi $\psi (x+h)$ tende a $\psi (x)$ per $h=0$, e perciò $\psi (x)\psi (x+h)$ tende a $[\psi (x)]^{2}$; dunque il limite del primo fattore è ${\frac {1}{[\psi (x)]^{2}}}$.

Il secondo fattore è il rapporto incrementale della funzione $\psi (x)$ e il suo limite per $h=0$ è la derivata $\psi '(x)$ (che esiste ed è finita); quindi:

$y'=-{\frac {1}{[\psi (x)]^{2}}}\psi '(x)$;

cioè per derivare la funzione ${\frac {1}{\psi (x)}}$ si divide la derivata della funzione $\psi (x)$ per il quadrato della funzione stessa e si cambia segno al quoziente. Ora, per il teorema sulla derivazione del prodotto di due funzioni se $f(x)$ e $\psi (x)$ sono due funzioni continue aventi derivata finita, se $\psi (x)\not =0$, e si pone $y={\frac {f(x)}{\psi (x)}}=f(x){\frac {1}{\psi (x)}}$, si ha:

$y'=f'(x){\frac {1}{\psi (x)}}-f(x){\frac {\psi '(x)}{[\psi (x)]^{2}}}$,

ossia

$y'={\frac {f'(x)\psi (x)-f(x)\psi '(x)}{[\psi (x)]^{2}}}$;

cioè si ha il

Teorema. La derivata del quoziente ${\frac {f(x)}{\psi (x)}}$ di due funzioni continue $(\psi (x)\not =0$) che hanno derivata finita è una frazione il cui denominatore è il quadrato della funzione denominatore $\psi (x)$, e il cui numeratore si ottiene sottraendo dal prodotto della derivata $f'(x)$ del numeratore $f(x)$ per il denominare $\psi (x)$ il prodotto della derivata $\psi '(x)$ del denominatore per il numeratore $f(x)$.

Questo teorema vale anche per le funzioni complesse.

Esempi.

1° La derivata di ${\text{tg}}x={\frac {{\text{sen}}x}{{\text{cos}}x}}$ è ${\frac {{\text{cos}}^{2}x+{\text{sen}}^{2}x}{{\text{cos}}^{2}x}}$, cioè è ${\frac {1}{{\text{cos}}^{2}x}}$.

2° Nello stesso modo si prova che la derivata di ${\text{cotg}}x={\frac {{\text{cos}}x}{{\text{sen}}x}}$ vale $-{\frac {1}{{\text{sen}}^{2}x}}$.

Questa formola si può anche dimostrare ricordando che ${\text{cotg}}x={\frac {1}{{\text{tg}}x}}$, e usando poi del primo risultato di questo paragrafo.