Lezioni di analisi matematica/Capitolo 8/Paragrafo 58

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Capitolo 8 - Regola di derivazione delle funzioni inverse

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Capitolo 8 - Regola di derivazione delle funzioni inverse
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§ 58. — Regola di derivazione delle funzioni inverse.


α) Tra le due variabili ed esiste una corrispondenza biunivoca, in guida cioè che ad ogni valore della in unc erto intervallo α corrisponda uno ed uno solo valore della di un certo intervallo β, e viceversa. Vale a dire la si possa considerare come funzione della (per appartenente all'intervallo α) e viceversa la si possa considerare come [p. 183 modifica]funzione della (per appartenente all'intervallo . In altre parole in tali intervalli le

                                        ,          

definiscono una stessa curva. Queste funzioni si diranno inverse l'una dell'altra. Così, p. es., avviene della coppia di funzioni

                              ,               

[intervallo ]               [intervallo ]

                                        ( intero positivo dispari)

[intervallo ]               [intervallo ]

                                        ( intero positivo pari)

[intervallo ]               [intervallo ].

(In questi intervalli si debbono trascurare gli estremi, eccetto l'estremo dell'ultimo esempio).

Nell'ultimo esempio si suppone , affinchè il simbolo non sia privo di significato; e si suppone , perchè altrimenti a un valore della corrisponderebbero due valori distinti per la .

Supposte continue entrambe le , e supposto che esista e sia differenze da zero, si vuol calcolare . Evidentemente per ipotesi l'incremento dato alla individua l'incremento dato alla ; e viceversa. Di più (per la supposta continuità delle ), gli incrementi tendono contemporaneamente a zero1. ora:

.


Poichè esiste ed è uguale a , se ne deduce:

.


Cioè, nelle nostre ipotesi, la derivata φ'(x) è il numero reciproco di f'(x); e viceversa. Così, p. es., si verifica, posto [p. 184 modifica], che le due derivate sono reciproche, perchè .


Esercizi.


1° Si derivi .

Ris. Si ha

, cosicchè la derivata vale:

.


2° Si derivi.

Ris. È , donde .

3° Si derivi .

Ris. È , donde .

4° (Da tutte queste formole si trae che) la derivata di per ogni valore razionale di vale .Più avanti estenderemo questa importante formola anche al caso di irrazionale. (Il lettore esamini il caso ).

β) Sia La curva immagine è la cosidetta sinusoide. Se ne ricava che x=</math> arco, che ha il seno uguale ad ). Osserviamo però che, dato il valore () del seno, l'arco corrispondente non è univocamente determinato, ma ha infiniti valori, come è ben noto, e come si può verificare dalla figura 21.


Questa rende ben evidente che, p. es., al valore del seno corrispondono infiniti valori dell'arco . La [p. 185 modifica]corrispondenza si rende biunivoca, se noi ci limitiamo a considerare, p. es., i valori della compresi tra e . Ad ogni valore possibile di sen (cioè ad ogni valore dell'intervallo corrisponderà allora un solo valore di ; e vicevera. Sarà allora:

per .


L'ambiguità di segno dovuta al radicale è dovuta all'arbitrarietà con cui possiamo scegliere l'arco di sinusoide che rende biunivoca la corrispondenza tra . Se adottiamo la convenzione fatta più sopra, siccome è scritto al posto , e per <math|x|<\frac{\pi}{2}</math> è positivo, si dovrà dare al radicale il segno . Scambiando il significato delle lettere si ha: Se , è .

γ) In modo simile si prova che, se , e quindi , e se , allora . Ciò che si può controllare, osservando che nelle attuali convenzioni e quindi , cosicchè devono avere derivate uguali e di segno opposto.

δ) Vogliamo derivare a funzione inversa della . Anche qui, se si vuole rendere determinata la math>y</math> è biunivoca la corrispondenza tra le si deve limitare in qualche modo la variabilità della , p. es., supponendo . De. resto le varie possibili determinazioni della si ottengono aggiungendo a una di esse un multiplo di , cioè una costante, e perciò hanno la stessa derivata. Si ha poi

.

[p. 186 modifica]

Osservazione.


Si può dimostrare direttamente che .

Ris. Dimostriamo, p. es., l'ultima formola. Ricordo che:

, ossia:


.


Se ne deduce:

, dove .

Se ne deduce: .

Note

  1. Le ipotesi si possono ridurre. Così, p. es., nel Capitolo dedicato alla teoria delle funzioni implicite, si vedrà che, se possiede derivata differente da zero per , e se , allora esiste una funzione della , uguale ad per , che è quindi continua per e soddisfa alla . Si noti che: Se y è funzione continua della x nell'intervallo α, se essa è sempre crescente o sempre decrescente, allora la x è funzione continua della y nell'intervallo β corrispondente.