Matematica in relax/Gli aiutini

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Gli aiutini

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I problemi Le soluzioni

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Gli aiutini


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1. Le cifre 0, 1, 2 devono apparire su entrambi i dadi, e quindi ne dobbiamo avere in tutto due; in compenso 6 e 9 non appaiono mai insieme.

11. L’area di un triangolo è data dal prodotto della base per l’altezza, diviso due: se vogliamo che l’area sia massima e fissiamo la lunghezza della base, l’altezza deve pertanto essere la massima possibile.

21. Non ci interessa calcolare quanta acqua sia finita nella brocca del vino; è sufficiente ricordare che il volume finale del liquido nella brocca è esattamente quello iniziale.

31. Lasciate perdere le giravolte della mosca e cronometrate la durata del suo viaggio.

41. Il succo d’arancia non è indissolubilmente legato al bicchiere, anche prima di berlo.

51. Non voltate certo la carta con il numero dispari, vero? Bene, qual è la cosa corrispondente da fare rispetto ai dorsi?

61. Non occorre usare tutti i dati forniti: provate a risolvere un problema più generale di calcolo della differenza di due aree.

71. Ricordate che, a parità di area, la figura di perimetro minimo è il cerchio, e che un caleidoscopio crea un esagono facendo specchiare più volte un triangolo.

81. Ricordate la prova del nove? Vi può aiutare.

91. La fretta è sempre una cattiva consigliera: a volte è meglio aspettare e non lanciarsi immediatamente contro qualcuno.

2. Una tessera del domino ricopre sempre una casella bianca e una nera, in qualunque modo la disponiate. [p. 116 modifica]

12. Il tempo che Kant ha impiegato per andare e tornare da casa del suo amico è stato esattamente lo stesso; inoltre la pendola non era rotta ma solo scarica, quindi una volta caricata poteva calcolare correttamente un intervallo di tempo.

22. Immaginate innanzitutto che ci sia una pagnotta senza peso, e tenetela da parte; poi cambiatela con un’altra e applicate il conteggio della parità per vedere cosa succede se c’è una pagnotta che pesa un numero dispari di grammi.

32. La moneta non equa cadrà come testa con probabilità p; basta dividere in due parti uguali questa probabilità e fare in modo che non sia necessario distinguere le due monete.

42. Entrambi i bimbi mangeranno 40 quadretti di cioccolato; entrambi iniziano la loro operazione con una tavoletta formata da un singolo rettangolo; le mosse possibili sono solo di due tipi. Mettete tutto insieme.

52. Inscrivete nel cerchio un esagono; i sei vertici li avete già.

62. I figli non si offenderanno se si darà loro più del dovuto, e in effetti il padre ha sbagliato i conti.

72. Anche se abbiamo battezzato una delle formiche, in realtà sono tutte indistinguibili. Quando si incontrano, potete quindi fingere che non tornino indietro, ma proseguano per la loro strada scavalcandosi.

82. Provate a immaginare che le facce uguali delle monete siano distinguibili tra loro.

92. Se le monete fossero dei rettangoli, raddoppiando le dimensioni di ogni moneta si ricoprirebbe il tavolo; a questo punto basterebbe suddividere ogni rettangolo grande in quattro parti. Peccato che con i cerchi questo sistema non funziona: pertanto cherchez le rectangle! [p. 117 modifica]

3. Nei tornei internazionali di bridge la stessa mano viene giocata due volte da due quartetti diversi delle stesse squadre nazionali, in modo che ciascuna nazione abbia la stessa distribuzione di carte.

13. Prolungate i lati del quadrato grande fino a che tocchino gli altri due lati del quadrato piccolo.

23. Quando un cavallo si muove, finisce in una casella del colore opposto.

33. Anche se potrebbe sembrare impossibile, per risolvere il problema il raggio della sfera è ininfluente; sfruttate questo fatto. Nel caso non ve lo ricordaste, il volume di un cilindro è superficie di base per altezza, e quello di una sfera è 4/3 πr3.

43. Non sempre la via che sembra più immediata è quella migliore; a volte è meglio guardare più lontano.

53. Il numero di percorsi che si possono fare all’interno dell’isola è finito; prima o poi si torna in un punto già passato, che però non è necessariamente quello iniziale. O no?

63. Non lasciatevi suggestionare dalle dimensioni relative; limitatevi a fare i conti.

73. Fate un’analisi retrograda partendo dall’ultima mossa; arrivati alla penultima mossa, considerate quali possibilità si sono potute effettivamente verificare.

83. Quale può essere l’ultimo posto libero prima che entri l’ultimo passeggero? Non ci sono molte possibilità diverse, e soprattutto non ci è dato di sapere come si è arrivati a quella posizione.

93. Ricordatevi che anche lo 0 è un numero.

4. Attenzione! Non si deve fare la media aritmetica delle medie. In quanto tempo ho percorso la prima metà del tragitto?

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14. Alla fine dei tagli otterrete anche il cubetto centrale, che all’inizio è completamente all’interno del cubo.

24. Ci sono dieci possibilità diverse per il numero sulla fronte di ciascun prigioniero. I prigionieri devono pertanto dare dieci risposte tutte diverse: in questo modo una sarà quella corretta. Che cosa possono sapere i prigionieri riguardo alla somma di tutti i numeri, compreso il proprio?

34. Essendo uno spareggio, i giudici non vogliono certo favorire nessuno, quindi tutti e tre i ragazzi potevano fare lo stesso identico ragionamento. Alice è semplicemente stata la più lesta.

44. Considerate ciò che è successo nel campo grande il primo giorno. Quanta parte è stata arata al mattino e quanta al pomeriggio?

54. Disegnate una terza diagonale del cubo e guardate quale figura ottenete.

64. Se il numero totale di pedine è pari, basta procedere con ordine; se il numero è dispari, rimane dispari dopo ogni mossa.

74. Numerate le monete da sinistra a destra da 1 a 50, in modo da tenere i conti; trovate ora un metodo che sfrutti la parità.

84. Trovate un amico, e insieme cercate la simmetria giusta.

94. La probabilità che la faccia che poggia sul tavolo sia quella con la scritta è 1/5, fin qui non ci piove.

5. Se i treni in direzione Maciachini passano alle 14.00, 14.06, 14.12… mentre quelli in direzione Rogoredo passano alle 14.03, 14.09, 14.15, … allora sarei andato a trovare le mie ragazze più o meno con la stessa frequenza.

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15. Cominciate a costruire un reticolo triangolare e colorarlo, e ricordatevi che il primo triangolo avrà necessariamente due vertici di un colore e il terzo dell’altro.

25. Come già detto nel problema 23, il cavallo si muove da una casella di un colore a una del colore opposto.

35. Ruotare un quadrato non ne cambia l’area; provate a disegnare la figura in maniera un po’ diversa.

45.. Un calzino destro e uno sinistro sono interscambiabili; un guanto destro e uno sinistro no.

55. È un po’ come fare un tiro al biliardo. Come potete sfruttare la sponda del tavolo, pardon del fiume?

65. La strategia migliore consiste nel rendere il gioco simmetrico.

75. Partite da una suddivisione qualunque e trovate il modo di ridurre man mano il numero totale di coppie di nemici presenti complessivamente nelle due Camere.

85. Fate giocare contemporaneamente più persone e guardate che cosa succede.

95. Cosa potete produrre, oltre che un purè, se compenetrate le patate?

6. Il figlio deve vincere due partite consecutive. In quali casi capiterà?

16. Più che a Kandinsky, dovreste pensare alla Pop art; tracciata la prima curva, provate a colorare in bianco e in nero le varie aree che si sono formate senza che ce ne siano mai due vicine dello stesso colore.

26. Pensate alle differenze tra le differenze!

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36. La figura è composta da diversi triangoli: valutate la loro area.

46. Iniziate a contare in quanti modi si può arrivare all’isolato più vicino, e proseguite man mano aggiungendo sempre nuovi isolati.

56. Cominciate col calcolare le lunghezze rispettive dei lati del triangolo e dell’esagono.

66. Ciò che è fatto si può disfare: basta procedere nell’ordine opportuno.

76. Iniziate a considerare i due soldati più vicini, e procedete poi man mano con quelli un po’ più lontani.

86. Ruotando l’esagono di 30 gradi, si ottiene un cubo visto in prospettiva. Disegnate una configurazione qualsiasi e osservatela come se fosse un disegno in prospettiva.

96. Una scatola può essere chiusa con più di un lucchetto; e i lucchetti sono tra loro indipendenti, quindi ogni chiave apre un singolo lucchetto.

7. Come indicato nel testo del problema, a Fertilia ci sono tanti maschi quante femmine, e ogni famiglia ha esattamente un figlio maschio.

17. La fascia è sì stretta, ma non la si deve considerare approssimata come un segmento: ha pur sempre due dimensioni! Beh, ne avrebbe anche una terza, ma quella potete trascurarla.

27. Negli scacchi, semplici o doppi che siano, il cavallo salta gli altri pezzi.

37. Il problema può essere risolto usando nove numeri (positivi) consecutivi.

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47. A volte non conviene fare le cose da cima a fondo; interrompere le operazioni può permettere di ottimizzarle.

57. Anche la somma delle righe, delle colonne e delle diagonali di un quadrato magico 3×3 è 15.

67. Dopo aver fatto l’ultima mossa del gioco, tornate indietro alla penultima, e considerate che cosa è successo, sapendo appunto che è stata effettivamente la penultima.

77. C’è tanto spazio al di là dei punti, potete anche usarlo!

87. Se ci pensate un attimo, scommettere sulla carta successiva oppure sull’ultima carta del mazzo è la stessa cosa!

97. Una volta rotto un uovo, ve ne rimane a disposizione uno solo, e quindi dovete provare uno per uno tutti i piani inferiori; ma se dopo il lancio non si rompe, non vi servirà più provare i piani inferiori. Bisogna trovare un giusto equilibrio tra i due vincoli.

8. Nessuno ci obbliga a lanciare la moneta una sola volta, e non siamo nemmeno costretti a usare i risultati di tutti i lanci che abbiamo fatto; possiamo annullarne qualcuno, se la cosa ci fa comodo.

18. Il bicchiere non dev’essere necessariamente a testa in su, e i due fiammiferi possono anche essere spostati solo in parte.

28. La moglie ha evitato di percorrere la strada dal punto di incontro alla stazione e ritorno.

38. Un recinto contiene tutto quello che si trova al suo interno, non solamente i cavalli.

48. Tagliare un anello può creare tre pezzi di catena separati.

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58. Contate il numero di coppie formate da un pollo e un coniglio, e vedete cosa rimane.

68. Due punti che non si trovano agli antipodi su una sfera definiscono un cerchio massimo, che taglia a metà la sfera stessa.

78. Immaginate di poter viaggiare con benzina presa a prestito (senza interessi, chiaro!). Cosa succederebbe alla fine del giro?

88. A prima vista non sembra, ma anche questo problema è risolvibile con le tecniche di parità, proprio perché l’importante è che siano tutti d’accordo.

98. È tutta questione di disuguaglianze; cercate quella giusta.

9. Se ci fosse stato un mio clone che avesse esattamente replicato le mie azioni con una settimana di ritardo, che cosa sarebbe successo mentre scendevo dalla montagna?

19. Oltre alla simmetria rispetto a un asse centrale, il bicchiere ne ha anche una di rotazione. Provate a guardarlo in modo diverso.

29. Dato che potete spostare un solo stecchino, iniziate a indicare quali non devono essere toccati e considerate che cosa rimane a disposizione.

39. Normalmente, mentre il disco girava, la puntina del giradischi non saltava.

49. Una torta non ha solo due dimensioni!

59. Spostate man mano una retta all’interno del cerchio, facendo attenzione a non incocciare mai in due punti contemporaneamente.

69. Iniziate dalla prima stretta di mano avvenuta nella storia e proseguite nel tempo.

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79. Non fate assunzioni che non trovate scritte nel testo.

89. Innanzitutto dimostrate che le lampadine non potranno mai essere tutte spente: inoltre il numero di combinazioni possibili che si possono ottenere è finito.

99. Il numero totale di camaleonti è multiplo di 3; quindi alla fine le differenze tra i vari colori dovranno essere multipli di 3.

10. Non viene chiesto dopo quanto tempo i missili collideranno; le rampe di lancio sono inoltre abbastanza lontane per essere certi che nell’ultimo minuto i due missili si stavano già dirigendo direttamente l’uno contro l’altro.

20. Dovete trovare un modo per riuscire ad associare a ciascuna pila un valore diverso. Fortunatamente le pile sono composte da tante monete.

30. Come succede in Dieci piccoli indiani, dopo ogni partita viene eliminato un giocatore.

40. Considerate quelli che non sono riusciti a raccogliere tutte le coccarde, e contateli.

50. La somma di a e b è il raggio della circonferenza.

60. I numeri 5 e 8 sono primi tra loro, quindi il primo multiplo che hanno in comune è il loro prodotto.

70. Completate i semicerchi piccoli e osservate la figura che appare.

80. È tutta questione di simmetrie (o asimmetrie) tra le coppie!

90. Se il secondo giocatore avesse una strategia vincente, ce l’avrebbe per una qualunque mossa iniziale del primo; trovate una mossa di apertura minimale.