Matematiche Fascicolo quarto/Tema quinto - Capitolo II

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Tema quinto - Capitolo II

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Tema quinto - Capitolo I
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§. II.

Traduzione approssimativa dei Radicali in decimali; e segnatamente dei Radicali quadrati e cubici.

1. Riguardando un Radicale come il simbolo della radice esatta della sua base (pag. 47), dopo aver tradotta questa in un numero indefinito di cifre decimali (pag. 13, 27), nella operazione parimente indefinita, che attualmente si fà sul resultato per ottener le successive cifre di cotesta radice, a tenore di quanto precedentemente si è detto (pag. 42), consiste ciò, che noi intendiamo per Traduzione approssimativa dei Radicali in decimali.

Noi non sapremmo quì assegnare alcun processo generale pei Radicali di qualunque nome, od indice; ma, limitandoci soltanto ai Radicali quadrati e cubici, ci contenteremo per i primi di darne un saggio sull’esempio semplicissimo di (p. 45), ove di seguito alla base 2 si sottintendono scritti quanti mai ambi di zeri si vogliono, separati da essa con una virgola [p. 71 modifica]

Ecco il tipo del calcolo

1, 414213562373...
2
10 .0
40.0
11 90.0
60 40.0
3 83 60.0
1 00 75 90.0
15 90 63 10.0
1 76 41 77 50.0
6 71 21 26 40.0
1 05 52 72 15 60.0
20 67 44 01 87 10.0
87 54 11 99 83 10.0
2 68 83 86 08 87 1
...........


ove fermandosi al tredicesimo resto resultano dodici cifre alla radice dopo la virgola, e però si ottiene il valore del radicale proposto, approssimato per difetto a meno di un trillionesimo. Aumentando poi l’ultima cifra di una unità si otterrà un valore approssimato a meno di un trillionesimo per eccesso.

2. Per dare anche un saggio di approssimazione al valore di un radicale cubico noi non crediamo poter far meglio, che riprodurre il Cenno della operazione dato (anno 1838) dal Sig. [p. 72 modifica]Dottor Cesana, già Nostro Scolare, sull’esempio di , già da noi trattato (Tema secondo, pag. 53), ove di seguito alla base si sottintendono scritti quanti mai terni di zeri si vogliono, separati da essa con una virgola. [p. 73 modifica]

Ecco il tipo del calcolo.

3564,00001267 ....45.270.270.627
9 182.70
9×3 23 952.70
27
1 522 546.27
45
4 830.000.000.000.000.00
25 1 019 371 189 307 999 990.00
3175 ×5
257 245 424 603 519 982 720.00
3675 28 607 695 025 380 779 996 240.00
35
1 933 293 236 249 991 660 988 37
280 ...............
36
373836 ×6
380208
4272
16
38063536 ×4
3810628800000000
106920000
1
381062881069200001 ×1
381062882138400003
2138400006
4
38106288235224000364 ×2
38106288256608000432
3564000012
28512000096
36
3810628826302320045396 ×6
3810628826943840047628
71280000252
35640000126
49
381062882701868404789309 ×7
..........
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Eccone poi il dettaglio colle parole stesse dell’Autore, che sarà facile intendere per ciò, che precede.

«1.° Destinata in primo luogo, come si vede, la parte destra del foglio pel numero proposto e pei successivi resti, ed indicata la estrazione pel segno radicale cubico , tiro nella sinistra una linea orizzontale colla intenzione di registrare al di sopra di lei le cifre della radice, che ad una per volta si scuopriranno, incominciando da quella dell’ordine più elevato, e quindi situo alla destra della suddetta linea un poco più in alto le due linette come segno della eguaglianza, che sarà per resultare in conseguenza del calcolo, che si eseguirà per intiero, e senza interruzione al di sotto della medesima linea in direzione verticale

«2.° Decomposto al solito il numero in classi ternarie per mezzo di punti, e non di virgole, e trovata la cifra 3 per la radice del massimo cubo 27 contenuto in 45 ( ultima classe in questo numero, composta di due sole cifre, e che potrebbe in un’altro essere anche di una cifra sola), la scrivo sulla linea orizzontale, come prima della radice addimandata.

«3.° Scrivo due volte il suo quadrato 9 sotto la linea, e la seconda volta ne accenno il prodotto, col segno , per la stessa cifra 3, che mentalmente eseguito, costituendo il suo cubo, sottraggo da 45, e presso al resto 18 scrivo la contigua classe 270, di cui separo con un punto le cifre 70.

«4.° Sommo il secondo quadrato 9, come se presso a lui non fosse scritto , col doppio del primo, ed ottengo in 27 il triplo del quadrato del 3, per cui divido il numero 182 alla sinistra del punto, e riconosciuto essere il quoziente 6 una cifra troppo grande per rappresentare la seconda della radice, ed essere 5 la giusta, scrivo questa accanto alla prima 3. [p. 75 modifica]


27
...
45
25
3175×5

«5.° Scrivo a scala sotto al 27 (triplo del quadrato di 3) il 45 (triplo del prodotto della medesima cifra 3 per la seconda 5, ovvero prodotto di 3 per 15, triplo di 5), ed a scala pure sotto il 45, il 25 (quadrato di 5), e fatta l’addizione, accenno la moltiplicazione della somma 3175 per la medesima suddetta cifra 5, ch’eseguita, e sottrattone il prodotto mentalmente del numero totale 18270 (come si fà nella divisione ordinaria di un numero di più cifre per un numero di più cifre) somministra il secondo resto 2395, allato del quale scrivo la classe contigua 270, di cui separo le cifre estreme 70 con un punto. E quì si avverta, che riuscendomi penoso il far la prima di tali moltiplicazioni, cioè quella della radice parziale trovata pel triplo della nuova cifra, nella guisa di quelle, in cui il moltiplicatore è espresso per una sola cifra, la eseguisco in due volte: così per esempio nella susseguente analoga operazione in luogo di scrivere a scala sotto al 3665 il 630 (prodotto di 35 per 18, triplo di 6), scrivo in colonna il 35 (prodotto di 35 per 1), e sotto al 35 a scala il 280 (prodotto di 35 per 8).

3675
....
35
280
36
373836×6

«6.° Fò l’addizione della suddetta somma 3175, come se presso a lei non fosse scritto ×5, con 25 (quadrato di 5), di cui si raddoppiano le cifre, quasi che s’incontrasse scritto due volte, e con 45 (prodotto di 3 per 15) escludendo 27 (triplo del quadrato di 3), che per maggior precauzione è disgiunto dai detti numeri per una lineetta orizzontale punteggiata, ed ottengo nella somma 3675 il triplo del quadrato di 35, per cui divido il numero 23952 alla sinistra del punto, e verificato il quoziente 6, lo scrivo accanto al 5, come terza cifra della radice. E così di seguito come riscontrasi nel precedente prospetto della operazione, spinta fino alla ottava cifra decimale inclusive.

«Termino ora coll’osservare, che il calcolo sotto quella [p. 76 modifica]forma procede dal principio alla fine per due sole continuate file di operazioni non interrotte mai dal bisogno di fare a parte alcun computo ausiliare, se non che talvolta riscontrandosi falso il quoziente che si sottopone alla prova nella fila sinistra, dovranno cancellarsi i numeri a lei inservienti, eccettuato il triplo del quadrato della radice parziale trovata e comporsi i nuovi analoghi, ed attenenti al quoziente stesso diminuito di una unità; maoltrechè può quasi sempre evitarsi un tal caso in virtù di una certa pratica, che siasi già coll’esercizio acquistata, il quoziente si ritrova pressochè costantemente esatto al di là della quarta, o quinta cifra della radice, com’è facile convincersi mediante l’inspezione della fila sinistra stessa».