Opere matematiche di Luigi Cremona/Rivista bibliografica

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Rivista bibliografica

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Seconde solution de la question 369 Sulle linee del terz'ordine a doppia curvatura

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Rivista bibliografica. — BEITRÄGE ZUR GEOMETRIE DER LAGE, von dr. Georg Karl Christian V. Staudt. ord. Professor an der Universität Erlangen. Nürnberg, Verlag von Bauer und Raspe, 1856-57.1



Annali di Matematica pura ed applicata, serie I, tomo I (1858), pp. 125-128.



Questo libro merita d’essere considerato sotto due aspetti: come saggio, elementare in vero, della geometria di posizione, cosi detta nel più stretto senso della parola; e come trattato di geometria imaginaria o ideale.

Sotto il primo aspetto l’autore e stato sì scrupolosamente fedele al titolo del libro e si è occupato in modo sì esclusivo delle proprietà descrittive delle figure, che invano si cercherebbe il concetto di quantità in quest’opuscolo, solo eccettuati gli ultimi cinque paragrafi, i quali — al dire dello stesso autore — non sono parte essenziale del libro, ma devono risguardarsi come semplice appendice. Sotto questo punto di vista, mi pare che il sig. Staudt avrebbe fatto un lavoro meno utile che curioso. Le proprietà descrittive e le proprietà metriche delle figure sono così strettamente connesse fra loro, che è sconveniente e svantaggioso il volerne fare un sì completo divorzio. Il sig. Chasles ha rimproverato la medesima esclusività, sebbene non tanto esagerata, alla celebre Scuola di Monge, ed ha messo in piena luce la maravigliosa fecondità della simultanea considerazione de’ due generi di proprietà2. Tale esclusività potrebbe condonarsi soltanto se il metodo di ricerca e di dimostrazione, adottato, si rifiutasse allo studio delle relazioni metriche; ma l’autore si serve della [p. 36 modifica]corrispondenza omografica e correlativa delle figure, potentissimo strumento che dà tutte le proprietà projettive, epperò non solo le descrittive, ma anche le metriche involgenti rapporti di segmenti rettilinei, di aree di figure piane e di volumi. Mi pare che queste proprietà possano ben entrare in un trattato della geometria di posizione.

Ma, fatta astrazione da questa soverchia esclusività, entro i limiti che l’autore si è prefissi, il suo lavoro ha molti pregi ed è fatto nello spirito della geometria moderna. — Egli chiama forma elementare un sistema d’elementi geometrici della stessa specie (punti, piani, rette), e considera le forme elementari di due ordini. Tre spettano al primo ordine, e sono: sistema di punti in linea retta — fascio piano di rette passanti per uno stesso punto — fascio di piani passanti per una stessa retta. Cinque forme appartengono al second’ordine: sistema di punti in una conica — fascio di rette tangenti ad una conica — fascio di rette generatrici di un cono di second’ordine — fascio di piani tangenti ad un cono di second’ordine — fascio di rette generatrici (d’uno stesso modo di generazione) di un’iperboloide ad una falda. I principj di omografia e di dualità permettono di estendere un teorema, che abbia luogo per una delle forme più semplici, alle forme più complesse. Ogniquavolta l’indole della quistione lo conceda, l’autore enuncia le proposizioni per modo che convengano non ad una sola forma, ma a parecchie o anco a tutte quelle d’uno stesso ordine. Per esempio: “quattro elementi della stessa specie, posti in uno stesso piano o passanti per uno stesso punto, tre qualunque de’ quali non appartengono ad una stessa forma elementare di primo ordine, individuano una forma elementare di second’ordine, a cui questi elementi appartengono e nella quale essi abbiano un dato rapporto anarmonico3„.

Collo stesso spirito di generalità, l’autore espone i principj della geometria imaginaria — ardita concezione, che si può dir sorta dalla scuola di Monge, e che, opportunamente applicata, è un potente mezzo d’invenzione. — Si chiamano ideali gli elementi doppi di una forma di prim’ordine in involuzione, la quale non abbia elementi doppi reali. L’autore considera due specie di rette ideali. Rette ideali di prima specie sono le rette doppie d’un fascio di rette di prim’ordine in involuzione. Rette ideali di seconda specie sono le rette doppie d’un sistema in involuzione di rette generatrici (d’uno stesso modo di generazione) d’un iperboloide. Due rette ideali di specie diverse differiscono in ciò, che l’una ha un punto reale e giace in un piano reale, mentre la retta ideale di seconda specie nè ha alcun punto reale, nè giace in alcun piano reale. L’autore parte da queste definizioni per istabilire le proprietà degli elementi ideali nelle forme reali, e le proprietà delle forme ideali contenute in sistemi reali [p. 37 modifica]

Il vantaggio che ricava l’autore da questa geometria imaginaria è quello di semplificare e generalizzare il linguaggio della scienza, abbracciare in un solo enunciato universale molti teoremi in apparenza eterogenei, e cancellare le eccezioni nascenti da quelle parti di una figura che possono essere reali o ideali. Ma lo scopo più importante della geometria imaginaria, quello di trasformare le proprietà di figure ideali in effettive proprietà di figure completamente reali (della qual mirabile trasformazione ha dato un bell’esempio il sig. Chasles deducendo le proprietà de’ coni di second’ordine da quelle di un cerchio ideale4), tale scopo, io dico, forse non entrava nelle viste dell’autore.

Lo strumento di cui fa uso l’autore e la corrispondenza proiettiva delle figure. I paragrafi 19, 20, 21, 27, 28 contengono proprietà d’un sistema di quattro elementi reali o ideali d’una data forma elementare, il rapporto anarmonico de’ quali è la somma o il prodotto o una potenza o una radice di rapporti anarmonici d’altri sistemi. I paragrafi 15 e seg. versano sulle principali proprietà delle catene. Dicesi catena un sistema d’elementi appartenenti ad una stessa forma elementare, ciascun de’ quali insieme a tre elementi fissi della stessa forma costituisce un complesso di quattro elementi aventi il rapporto anarmonico reale. Due catene in una stessa forma differiscono fra loro pe’ tre elementi fissi. L’autore considera le catene contenute in una stessa forma o in due forme proiettive fra loro.

Il libro è interamente scritto nello stile moderno della pura geometria. Però l’autore indica al paragrafo 29 alcuni metodi analitici, opportuni per le ricerche nella geometria di posizione. Ecco in che consistono tali metodi:

1.º Siano A, B, C tre elementi individuati ed M un elemento qualsivoglia d’una stessa forma elementare; chiamasi ascissa dell’elemento M rispetto al sistema ABC il rapporto anarmonico del complesso ABCM. Ciascun valore particolare dell’ascissa x individua un elemento della forma proposta.

Se in una stessa forma si assumano due sistemi d’elementi fissi ABC, EFG e siano x, y le ascisse d’un medesimo elemento qualunque M rispetto a que’ due sistemi, si avranno per la trasformazione delle ascisse le formole

     


ove e, f, g sono le ascisse degli elementi E, F, G rispetto al sistema ABC, ed a, b, c sono le ascisse degli elementi A,B,C rispetto al sistema EFG.

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Date due forme elementari, e nell’una il sistema ABC, nell’altra il sistema E’F’G’, sia x l’ascissa d’un elemento M della prima forma rispetto al sistema ABC, ed y l’ascissa d’un elemento M’ della seconda forma, rispetto al sistema E’F’G’. Gli elementi M, M’ si chiamano corrispondenti; se fra le loro ascisse ha luogo una relazione della forma

ove sono costanti, ed non è zero, le due forme sono projettive.
2.° Cinque punti A, B, C, C’, C", disposti comunque nello spazio, si suppongano individuati. Ogni punto M dello spazio sarà determinato da’ tre piani passanti per esso e rispettivamente per le rette C"C’, CC", C’C. I rapporti anarmonici de’ tre sistemi di quattro piani C"C’(ABCM), CC"(ABC’M), C’C(ABC"M) sono le coordinate del punto M.
3.° Cinque piani A, B, C, C’, C" qualunque si suppongano individuati. Qualsivoglia altro piano M sarà individuato dai tre punti in cui esso è incontrato dalle rette C"C’, CC", C’C. I rapporti anarmonici de’ tre sistemi di quattro punti C"C’(ABCM), CC"(ABC’M), C’C(ABC"M) sono le coordinate del piano M.
4.° Si suppongano individuate tre rette generatrici a, b, c (d’uno stesso modo di generazione) d’un iperboloide ad una falda, e tre rette generatrici l, m, n (dell’altro modo di generazione) della stessa superficie. Un punto qualunque M non posto sulla superficie è determinato dai piani condotti per esso e rispettivamente per le rette l, m, n; le sue coordinate sono i rapporti anarmonici de’ tre sistemi di quattro piani l(abcM), m(abcM), n(abcM). Se il punto M è nella superficie, all’intersezione delle due generatrici rettilinee p, q appartenenti ordinatamente ai sistemi abc..., lmn..., le coordinate di detto punto M sono i rapporti anarmonici de’ fasci, abcp, lmnq.

Desidero che questo breve cenno invogli i giovani studiosi della geometria alla lettura del pregevole opuscolo del sig. Staudt.


1 marzo 1858.



Note

  1. [p. 492 modifica]È noto che i Beiträge zur Geometrie der Lage comprendono tre fascicoli; la precedente Rivista bibliografica si riferisce ai primi due.
  2. Vedi nel tomo XI dei Mémoires couronnées de l’Academie de Bruxelles l’Aperçu historique a pag. 264, ed il Mémoire de géométrie a pag. 775.
  3. L’espressione: rapporto anarmonico non si trova in questo libro, ma vi si fa uso di una locuzione equivalente che non involge il concetto di quantità.
  4. Chasles, Traité de Géométrie supérieure.