Opere matematiche di Luigi Cremona/Sur les questions 321 et 322

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Luigi Cremona - Opere matematiche (1914)

Sur les questions 321 et 322

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Intorno ad alcuni teoremi di geometria segmentaria

Solution analytique de la question 344

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4.

SUR LES QUESTIONS 321 ET 322.^[1]

Nouvelles Annales de Mathématiques, 1.^re série, tome XVI (1857), pp. 41-43.

Question 321.

Soient $a_{r}$ , $b_{r}$ , $c_{r}$ les coordonnées du sommet $r$ ^rième de l’hexagone; $l_{r}$ la longueur du côté $(r,r+1)$ ; $\alpha _{r}$ , $\beta _{r}$ , $\gamma _{r}$ les cosinus des angles du même côté avec les axes. On a, par les données du problème,

$a_{2}=a_{1}+\alpha _{1}l_{1}$	,	$b_{2}=b_{1}+\beta _{1}l_{1}$	,	$c_{2}=c_{1}+\gamma _{1}l_{1}$
$a_{3}=a_{1}+\alpha _{1}l_{1}+\alpha _{2}l_{2}$	,	...	,	...
$a_{4}=a_{1}+\alpha _{1}l_{1}+\alpha _{2}l_{2}+\alpha _{3}l_{3}$	,	...	,	...
$a_{5}=a_{1}+\alpha _{2}l_{2}+\alpha _{3}l_{3}$	,	...	,	...
$a_{6}=a_{1}+\alpha _{3}l_{3}$	,	...	,	...

Par conséquent, l’équation du plan passant par les milieux des côtés (1, 2), (2, 3), (3, 4) sera

${\begin{vmatrix}1&1&1&1\\2x&2a_{1}+\alpha _{1}l_{1}&2a_{1}+2\alpha _{1}l_{1}+\alpha _{2}l_{2}&2a_{1}+2\alpha _{1}l_{1}+2\alpha _{2}l_{2}+\alpha _{3}l_{3}\\2y&2b_{1}+\beta _{1}l_{1}&2b_{1}+2\beta _{1}l_{1}+\beta _{2}l_{2}&2b_{1}+2\beta _{1}l_{1}+2\beta _{2}l_{2}+\beta _{3}l_{3}\\2z&2c_{1}+\gamma _{1}l_{1}&2c_{1}+2\gamma _{1}l_{1}+\gamma _{2}l_{2}&2c_{1}+2\gamma _{1}l_{1}+2\gamma _{2}l_{2}+\gamma _{3}l_{3}\end{vmatrix}}=0,$

ou, en transformant ce déterminant par des théorèmes très-connus,

${\begin{vmatrix}1&0&1&0\\4(x-a_{1})&\alpha _{2}l_{2}+\alpha _{3}l_{3}&\alpha _{3}l_{3}+\alpha _{1}l_{1}&\alpha _{1}l_{1}+\alpha _{2}l_{2}\\4(y-b_{1})&\beta _{2}l_{2}+\beta _{3}l_{3}&\beta _{3}l_{3}+\beta _{1}l_{1}&\beta _{1}l_{1}+\beta _{2}l_{2}\\4(z-c_{1})&\gamma _{2}l_{2}+\gamma _{3}l_{3}&\gamma _{3}l_{3}+\gamma _{1}l_{1}&\gamma _{1}l_{1}+\gamma _{2}l_{2}\end{vmatrix}}=0.$

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En observant de quelle façon cette équation renferme les éléments qui composent les coordonnées des sommets de l’hexagone, on voit que la même équation représente aussi le plan passant par les milieux des côtés (4, 5), (5, 6), (6, 1). Donc, etc.

Question 322.

Soient $2n$ le nombre des côtés du polygone; $a_{r}$ , $b_{r}$ , $c_{r}$ les coordonnées du sommet $r$ ^rième; $l_{r}$ la longueur du côté $(r,r+1)$ ; $\alpha _{r}$ , $\beta _{r}$ , $\gamma _{r}$ les cosinus des angles de ce côté avec les axes. En supposant que r soit un des nombres 1, 2, 3, ..., $n$ , on a

${\begin{aligned}a_{r}&=a_{1}+\alpha _{1}l_{1}+\alpha _{2}l_{2}+...+\alpha _{r-1}l_{r-1}\\a_{n+r}&=a_{1}+\alpha _{r}l_{r}+\alpha _{r+1}l_{r+1}+\cdots +\alpha _{n}l_{n},\end{aligned}}$

donc

$a_{r}+a_{n+r}=2a_{1}+\alpha _{1}l_{1}+\alpha _{2}l_{2}+\cdots +\alpha _{n}l_{n},$

c’est-à-dire $a_{r}+a_{n+r}$ est indépendant de $r$ ; analoguement pour $b_{r}+b_{n+r}$ et $c_{r}+c_{n+r}$ .

Je considère le point dont les coordonnées sont

$x={\frac {1}{2}}\left(a_{r}+a_{n+r}\right),$ $y={\frac {1}{2}}\left(b_{r}+b_{n+r}\right),$ $z={\frac {1}{2}}\left(c_{r}+c_{n+r}\right);$

ces coordonnées satisfont évidemment aux équations de la droite $(r,n+r)$ ,

${\frac {x-a_{r}}{a_{r}-a_{n+r}}}={\frac {y-b_{r}}{b_{r}-b_{n+r}}}={\frac {z-c_{r}}{c_{r}-c_{n+r}}}$

et satisfont aussi aux équations de la droite qui joint les milieux des côtés $(r,r+1)$ , $(n+r,n+r+1)$ , savoir

{\frac {2x-a_{r}-a_{r+1}}{a_{r}+a_{r+1}-a_{n+r}-a_{n+r+1}}}={\frac {2y-b_{r}-b_{r+1}}{b_{r}+b_{r+1}-b_{n+r}-b_{n+r+1}}}=

={\frac {2z-c_{r}-c_{r+1}}{c_{r}+c_{r+1}-c_{n+r}-c_{n+r+1}}};

donc le point nommé est commun à toutes les droites qui joignent les sommets opposés et à celles qui joignent les milieux des côtés opposés, et le même point est le milieu de chacune de ces droites.

Note

↑ [p. 491 modifica]Le questioni di cui si tratta nelle Memorie 4, 5, 6, 7, questioni poste rispettivamente nel tomo XV, p. 154; t. XV, p. 383; t. XVI, p. 126; t. XVI, p. 127 della raccolta citata, sono le seguenti:
321. Dans un hexagone gauche ayant les côtés opposés égaux et paralléles, les milieux des côtés sont dans un même plan.
322. Dans un polygone gauche d’un nombre pair de côtés, ayant les côtés opposés égaux et parallèles, les droites qui joignent les sommets opposés et celles qui joignent les milieux des côtés opposés passent par un seul et même point.
344. Un point fixe O est donné dans un angle plan de sommet $\mathrm {A}$ ; par $\mathrm {O}$ on mène une transversale rencontrant les côtés de l’angle en $\mathrm {B}$ et $\mathrm {C}$ ; $s$ et $s_{1}$ étant les aires des triangles $\mathrm {OBA}$ , $\mathrm {OCA}$ , la somme ${\frac {1}{s}}+{\frac {1}{s_{1}}}$ est constante, de quelque manière qu’on mène la transversale (Mannheim). [p. 492 modifica]
368. $p$ , $q$ , $r$ sont trois fonctions entières linéaires en $x$ et $y$ ; $p=0$ , $q=0$ $r=0$ sont les équations respectives des côtés $\mathrm {AB}$ , $\mathrm {BC}$ , $\mathrm {CA}$ d’un triangle $\mathrm {ABC}$ ; $p-q=0$ , $q-r=0$ , $r-p=0$ sont donc les équations de trois droites passant respectivement par les sommets $\mathrm {B}$ , $\mathrm {C}$ , $\mathrm {A}$ , et se rencontrant au même point $\mathrm {D}$ ; soient $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ les points où $\mathrm {AD}$ rencontre $\mathrm {BC}$ , où $\mathrm {BD}$ rencontre $\mathrm {CA}$ , où $\mathrm {CD}$ rencontre $\mathrm {AB}$ . Trouver en fonction de $p$ , $q$ , $r$ l’equation de la conique qui touche les côtés du triangle en $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ .
369. Mêmes données que dans la question précédente. Il s’agit de mener deux droites $\mathrm {R}$ , $\mathrm {S}$ rencontrant $\mathrm {AB}$ aux points $r_{1}$ , $s_{1}$ , $\mathrm {BC}$ aux points $r_{2}$ , $s_{2}$ , $\mathrm {CA}$ aux points $r_{3}$ , $s_{3}$ , de telle sorte que les trois systèmes de cinq points $r_{1}$ , $s_{1}$ , $\mathrm {A}$ , $\gamma$ , $\mathrm {B}$ ; $r_{2}$ , $s_{2}$ , $\mathrm {B}$ , $\alpha$ , $\mathrm {C}$ ; $r_{3}$ , $s_{3}$ , $\mathrm {C}$ , $\beta$ , $\mathrm {A}$ soient en involution, $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ étant des points doubles. Trouver en fonction de $p$ , $q$ , $r$ les équations des droites $\mathrm {R}$ , $\mathrm {S}$ .

[1] [p. 491 modifica]Le questioni di cui si tratta nelle Memorie 4, 5, 6, 7, questioni poste rispettivamente nel tomo XV, p. 154; t. XV, p. 383; t. XVI, p. 126; t. XVI, p. 127 della raccolta citata, sono le seguenti:
321. Dans un hexagone gauche ayant les côtés opposés égaux et paralléles, les milieux des côtés sont dans un même plan.
322. Dans un polygone gauche d’un nombre pair de côtés, ayant les côtés opposés égaux et parallèles, les droites qui joignent les sommets opposés et celles qui joignent les milieux des côtés opposés passent par un seul et même point.
344. Un point fixe O est donné dans un angle plan de sommet $\mathrm {A}$ ; par $\mathrm {O}$ on mène une transversale rencontrant les côtés de l’angle en $\mathrm {B}$ et $\mathrm {C}$ ; $s$ et $s_{1}$ étant les aires des triangles $\mathrm {OBA}$ , $\mathrm {OCA}$ , la somme ${\frac {1}{s}}+{\frac {1}{s_{1}}}$ est constante, de quelque manière qu’on mène la transversale (Mannheim). [p. 492 modifica]
368. $p$ , $q$ , $r$ sont trois fonctions entières linéaires en $x$ et $y$ ; $p=0$ , $q=0$ $r=0$ sont les équations respectives des côtés $\mathrm {AB}$ , $\mathrm {BC}$ , $\mathrm {CA}$ d’un triangle $\mathrm {ABC}$ ; $p-q=0$ , $q-r=0$ , $r-p=0$ sont donc les équations de trois droites passant respectivement par les sommets $\mathrm {B}$ , $\mathrm {C}$ , $\mathrm {A}$ , et se rencontrant au même point $\mathrm {D}$ ; soient $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ les points où $\mathrm {AD}$ rencontre $\mathrm {BC}$ , où $\mathrm {BD}$ rencontre $\mathrm {CA}$ , où $\mathrm {CD}$ rencontre $\mathrm {AB}$ . Trouver en fonction de $p$ , $q$ , $r$ l’equation de la conique qui touche les côtés du triangle en $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ .
369. Mêmes données que dans la question précédente. Il s’agit de mener deux droites $\mathrm {R}$ , $\mathrm {S}$ rencontrant $\mathrm {AB}$ aux points $r_{1}$ , $s_{1}$ , $\mathrm {BC}$ aux points $r_{2}$ , $s_{2}$ , $\mathrm {CA}$ aux points $r_{3}$ , $s_{3}$ , de telle sorte que les trois systèmes de cinq points $r_{1}$ , $s_{1}$ , $\mathrm {A}$ , $\gamma$ , $\mathrm {B}$ ; $r_{2}$ , $s_{2}$ , $\mathrm {B}$ , $\alpha$ , $\mathrm {C}$ ; $r_{3}$ , $s_{3}$ , $\mathrm {C}$ , $\beta$ , $\mathrm {A}$ soient en involution, $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ étant des points doubles. Trouver en fonction de $p$ , $q$ , $r$ les équations des droites $\mathrm {R}$ , $\mathrm {S}$ .

[1]