Opere matematiche di Luigi Cremona/Solution analytique de la question 344

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Luigi Cremona - Opere matematiche (1914)

Solution analytique de la question 344

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Sur les questions 321 et 322

Seconde solution de la question 368

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[p. 29 modifica]

5.

SOLUTION ANALYTIQUE DE LA QUESTION 344 (Mannheim).^[1]

Nouvelles Annales de Mathématiques, 1.^re série, tome XVI (1857), pp. 79-82.

Soient $x_{1}$ , $y_{1}$ , et $x_{2}$ , $y_{2}$ , les coordonnées des points $\mathrm {A}$ , $\mathrm {O}$ , celles des points $\mathrm {B}$ , $\mathrm {C}$ seront de la forme

$x_{3}=x_{1}+\lambda h,$ $y_{3}=y_{1}+\lambda k,$

$x_{4}=x_{1}+\mu m,$ $y_{4}=y_{1}+\mu n,$

$h$ , $k$ , $l$ , $m$ sont des quantités données, $\lambda$ , $\mu$ deux indéterminées; donc

$2\mathrm {ABO} ={\begin{vmatrix}1&x_{1}&y_{1}\\1&x_{2}&y_{2}\\1&x_{3}&y_{3}\end{vmatrix}}=\lambda {\begin{vmatrix}x_{2}-x_{1}&y_{2}-y_{1}\\h&k\end{vmatrix}}$ ,

et analogiquement

$2\mathrm {AOC} ={\begin{vmatrix}1&x_{1}&y_{1}\\1&x_{4}&y_{4}\\1&x_{2}&y_{2}\end{vmatrix}}=\mu {\begin{vmatrix}x_{1}-x_{2}&y_{1}-y_{2}\\m&n\end{vmatrix}}$ .

Il s’ensuit

${\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{\mathrm {ABO} }}+{\frac {1}{\mathrm {AOC} }}\right)={\frac {\begin{vmatrix}x_{2}-x_{1}&y_{2}-y_{1}\\\lambda h-\mu m&\lambda k-\mu n\end{vmatrix}}{\lambda \mu {\begin{vmatrix}x_{2}-x_{1}&y_{2}-y_{1}\\h&k\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}x_{1}-x_{2}&y_{1}-y_{2}\\m&n\end{vmatrix}}}};$

[p. 30 modifica]

mais les points $\mathrm {B}$ , $\mathrm {C}$ , $\mathrm {O}$ étant en ligne droite, on a

${\begin{vmatrix}1&x_{2}&y_{2}\\1&x_{3}&y_{3}\\1&x_{4}&y_{4}\end{vmatrix}}=0,$

c’est-a-dire

${\begin{vmatrix}x_{2}-x_{1}&y_{2}-y_{1}\\\lambda h-\mu m&\lambda k-\mu n\end{vmatrix}}-\lambda \mu {\begin{vmatrix}k&h\\n&m\end{vmatrix}}=0,$

par conséquent,

${\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{\mathrm {ABO} }}+{\frac {1}{\mathrm {AOC} }}\right)={\frac {\begin{vmatrix}k&h\\n&m\end{vmatrix}}{{\begin{vmatrix}x_{2}-x_{1}&y_{2}-y_{1}\\h&k\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}x_{1}-x_{2}&y_{1}-y_{2}\\m&n\end{vmatrix}}}}$

quantité indépendante de $\lambda$ , $\mu$ . Donc, etc.

Théorème analogue dans l’espace.

Par un point $\mathrm {O}$ situé dans l’intérieur d’un angle trièdre de sommet $\mathrm {A}$ , on mène un plan qui coupe lès arêtes du trièdre dans les points $\mathrm {B}$ , $\mathrm {C}$ , $\mathrm {D}$ . Soient $\nu _{1}$ , $\nu _{2}$ , $\nu _{3}$ le valeurs des trois pyramides $\mathrm {AOCD}$ , $\mathrm {AODB}$ , $\mathrm {AOBC}$ ; je dis que la somme

${\sqrt {\frac {\nu _{1}}{\nu _{2}\nu _{3}}}}+{\sqrt {\frac {\nu _{2}}{\nu _{3}\nu _{1}}}}+{\sqrt {\frac {\nu _{3}}{\nu _{1}\nu _{2}}}}$

est constante, de quelque manière qu’on mène le plan sécant.

Soient $x_{1},y_{1},z_{1},x_{2},y_{2},z_{2},\ldots ,x_{5},y_{5},z_{5}$ les coordonnés des cinq ponts $\mathrm {A}$ , $\mathrm {O}$ , $\mathrm {B}$ , $\mathrm {C}$ , $\mathrm {D}$ ; $x_{1},y_{1},z_{1},x_{2},y_{2},z_{2}$ , sont des quantités données ainsi que les $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ ; on aura

${\frac {x_{3}-x_{1}}{\alpha _{1}}}={\frac {y_{3}-y_{1}}{\beta _{1}}}={\frac {z_{3}-z_{1}}{\gamma _{1}}}=\lambda ,$

${\frac {x_{4}-x_{1}}{\alpha _{2}}}={\frac {y_{4}-y_{1}}{\beta _{2}}}={\frac {z_{4}-z_{1}}{\gamma _{2}}}=\mu ,$

${\frac {x_{5}-x_{1}}{\alpha _{3}}}={\frac {y_{5}-y_{1}}{\beta _{3}}}={\frac {z_{5}-z_{1}}{\gamma _{3}}}=\nu ,$

[p. 31 modifica]

donc

$6\nu _{1}={\begin{vmatrix}1&x_{1}&y_{1}&z_{1}\\1&x_{2}&y_{2}&z_{2}\\1&x_{4}&y_{4}&z_{4}\\1&x_{5}&y_{5}&z_{5}\end{vmatrix}}=\mu \nu {\begin{vmatrix}x_{2}-x_{1}&y_{2}-y_{1}&z_{2}-z_{1}\\\alpha _{2}&\beta _{2}&\gamma _{2}\\\alpha _{3}&\beta _{3}&\gamma _{3}\end{vmatrix}}=\mu \nu \mathrm {A} ,$

et par analogie

$6\nu _{2}=\nu \lambda {\begin{vmatrix}x_{2}-x_{1}&y_{2}-y_{1}&z_{2}-z_{1}\\\alpha _{3}&\beta _{3}&\gamma _{3}\\\alpha _{1}&\beta _{1}&\gamma _{1}\end{vmatrix}}=\nu \lambda \mathrm {B} ,$

$6\nu _{3}=\lambda \mu {\begin{vmatrix}x_{2}-x_{1}&y_{2}-y_{1}&z_{2}-z_{1}\\\alpha _{1}&\beta _{1}&\gamma _{1}\\\alpha _{2}&\beta _{2}&\gamma _{2}\end{vmatrix}}=\lambda \mu \mathrm {C} ,$

$\mathrm {A}$ , $\mathrm {B}$ , $\mathrm {C}$ sont des quantités connues; d’où

${\frac {1}{6^{\frac {1}{2}}}}{\frac {\nu _{1}+\nu _{2}+\nu _{3}}{\sqrt {\nu _{1}\nu _{2}\nu _{3}}}}={\frac {\mu \nu \mathrm {A} +\nu \lambda \mathrm {B} +\lambda \mu \mathrm {C} }{\lambda \mu \nu {\sqrt {\mathrm {ABC} }}}}.$

Mais les points $\mathrm {O}$ , $\mathrm {A}$ , $\mathrm {B}$ , $\mathrm {C}$ étant dans un même plan, on a

${\begin{vmatrix}1&x_{2}&y_{2}&z_{2}\\1&x_{3}&y_{3}&z_{3}\\1&x_{4}&y_{4}&z_{4}\\1&x_{5}&y_{5}&z_{5}\end{vmatrix}}=0,$

remplaçant $x_{3}$ par $\lambda \alpha _{1}+x_{1}$ , $y_{3}$ par $\lambda \beta _{1}+y_{1}$ , $z_{3}$ par $\lambda \gamma _{1}+z_{1}$ , etc., on obtient

$\mu \nu A+\nu \lambda B+\lambda \mu C=\lambda \mu \nu {\begin{vmatrix}\alpha _{1}&\beta _{1}&\gamma _{1}\\\alpha _{2}&\beta _{2}&\gamma _{2}\\\alpha _{3}&\beta _{3}&\gamma _{3}\end{vmatrix}}=\lambda \mu \nu \mathrm {D}$ ,

donc

${\frac {1}{6^{\frac {1}{2}}}}\left({\sqrt {\frac {\nu _{1}}{\nu _{2}\nu _{3}}}}+{\sqrt {\frac {\nu _{2}}{\nu _{3}\nu _{1}}}}+{\sqrt {\frac {\nu _{3}}{\nu _{1}\nu _{2}}}}\right)={\frac {\mathrm {D} }{\sqrt {\mathrm {ABC} }}}$ ,

quantité indépendante de $\lambda$ , $\mu$ , $\nu$ .

C’est ce qu’il fallait prouver.

Note

↑ [p. 491 modifica]Le questioni di cui si tratta nelle Memorie 4, 5, 6, 7, questioni poste rispettivamente nel tomo XV, p. 154; t. XV, p. 383; t. XVI, p. 126; t. XVI, p. 127 della raccolta citata, sono le seguenti:
321. Dans un hexagone gauche ayant les côtés opposés égaux et paralléles, les milieux des côtés sont dans un même plan.
322. Dans un polygone gauche d’un nombre pair de côtés, ayant les côtés opposés égaux et parallèles, les droites qui joignent les sommets opposés et celles qui joignent les milieux des côtés opposés passent par un seul et même point.
344. Un point fixe O est donné dans un angle plan de sommet $\mathrm {A}$ ; par $\mathrm {O}$ on mène une transversale rencontrant les côtés de l’angle en $\mathrm {B}$ et $\mathrm {C}$ ; $s$ et $s_{1}$ étant les aires des triangles $\mathrm {OBA}$ , $\mathrm {OCA}$ , la somme ${\frac {1}{s}}+{\frac {1}{s_{1}}}$ est constante, de quelque manière qu’on mène la transversale (Mannheim). [p. 492 modifica]
368. $p$ , $q$ , $r$ sont trois fonctions entières linéaires en $x$ et $y$ ; $p=0$ , $q=0$ $r=0$ sont les équations respectives des côtés $\mathrm {AB}$ , $\mathrm {BC}$ , $\mathrm {CA}$ d’un triangle $\mathrm {ABC}$ ; $p-q=0$ , $q-r=0$ , $r-p=0$ sont donc les équations de trois droites passant respectivement par les sommets $\mathrm {B}$ , $\mathrm {C}$ , $\mathrm {A}$ , et se rencontrant au même point $\mathrm {D}$ ; soient $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ les points où $\mathrm {AD}$ rencontre $\mathrm {BC}$ , où $\mathrm {BD}$ rencontre $\mathrm {CA}$ , où $\mathrm {CD}$ rencontre $\mathrm {AB}$ . Trouver en fonction de $p$ , $q$ , $r$ l’equation de la conique qui touche les côtés du triangle en $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ .
369. Mêmes données que dans la question précédente. Il s’agit de mener deux droites $\mathrm {R}$ , $\mathrm {S}$ rencontrant $\mathrm {AB}$ aux points $r_{1}$ , $s_{1}$ , $\mathrm {BC}$ aux points $r_{2}$ , $s_{2}$ , $\mathrm {CA}$ aux points $r_{3}$ , $s_{3}$ , de telle sorte que les trois systèmes de cinq points $r_{1}$ , $s_{1}$ , $\mathrm {A}$ , $\gamma$ , $\mathrm {B}$ ; $r_{2}$ , $s_{2}$ , $\mathrm {B}$ , $\alpha$ , $\mathrm {C}$ ; $r_{3}$ , $s_{3}$ , $\mathrm {C}$ , $\beta$ , $\mathrm {A}$ soient en involution, $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ étant des points doubles. Trouver en fonction de $p$ , $q$ , $r$ les équations des droites $\mathrm {R}$ , $\mathrm {S}$ .

[1] [p. 491 modifica]Le questioni di cui si tratta nelle Memorie 4, 5, 6, 7, questioni poste rispettivamente nel tomo XV, p. 154; t. XV, p. 383; t. XVI, p. 126; t. XVI, p. 127 della raccolta citata, sono le seguenti:
321. Dans un hexagone gauche ayant les côtés opposés égaux et paralléles, les milieux des côtés sont dans un même plan.
322. Dans un polygone gauche d’un nombre pair de côtés, ayant les côtés opposés égaux et parallèles, les droites qui joignent les sommets opposés et celles qui joignent les milieux des côtés opposés passent par un seul et même point.
344. Un point fixe O est donné dans un angle plan de sommet $\mathrm {A}$ ; par $\mathrm {O}$ on mène une transversale rencontrant les côtés de l’angle en $\mathrm {B}$ et $\mathrm {C}$ ; $s$ et $s_{1}$ étant les aires des triangles $\mathrm {OBA}$ , $\mathrm {OCA}$ , la somme ${\frac {1}{s}}+{\frac {1}{s_{1}}}$ est constante, de quelque manière qu’on mène la transversale (Mannheim). [p. 492 modifica]
368. $p$ , $q$ , $r$ sont trois fonctions entières linéaires en $x$ et $y$ ; $p=0$ , $q=0$ $r=0$ sont les équations respectives des côtés $\mathrm {AB}$ , $\mathrm {BC}$ , $\mathrm {CA}$ d’un triangle $\mathrm {ABC}$ ; $p-q=0$ , $q-r=0$ , $r-p=0$ sont donc les équations de trois droites passant respectivement par les sommets $\mathrm {B}$ , $\mathrm {C}$ , $\mathrm {A}$ , et se rencontrant au même point $\mathrm {D}$ ; soient $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ les points où $\mathrm {AD}$ rencontre $\mathrm {BC}$ , où $\mathrm {BD}$ rencontre $\mathrm {CA}$ , où $\mathrm {CD}$ rencontre $\mathrm {AB}$ . Trouver en fonction de $p$ , $q$ , $r$ l’equation de la conique qui touche les côtés du triangle en $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ .
369. Mêmes données que dans la question précédente. Il s’agit de mener deux droites $\mathrm {R}$ , $\mathrm {S}$ rencontrant $\mathrm {AB}$ aux points $r_{1}$ , $s_{1}$ , $\mathrm {BC}$ aux points $r_{2}$ , $s_{2}$ , $\mathrm {CA}$ aux points $r_{3}$ , $s_{3}$ , de telle sorte que les trois systèmes de cinq points $r_{1}$ , $s_{1}$ , $\mathrm {A}$ , $\gamma$ , $\mathrm {B}$ ; $r_{2}$ , $s_{2}$ , $\mathrm {B}$ , $\alpha$ , $\mathrm {C}$ ; $r_{3}$ , $s_{3}$ , $\mathrm {C}$ , $\beta$ , $\mathrm {A}$ soient en involution, $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ étant des points doubles. Trouver en fonction de $p$ , $q$ , $r$ les équations des droites $\mathrm {R}$ , $\mathrm {S}$ .

[1]