Opere matematiche di Luigi Cremona/Seconde solution de la question 368 (Cayley)

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Luigi Cremona - Opere matematiche (1914)

Seconde solution de la question 368 (Cayley)

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Seconde solution de la question 369

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6.

SECONDE SOLUTION DE LA QUESTION 368 (Cayley).^[1]

Nouvelles Annales de Mathématiques, 1.^re série, tome XVI (1857), pp. 250.

Toute conique qui touche les côtés du triangle $\mathrm {ABC}$ ( $p=0$ , $q=0$ , $r=0$ ) est représentée par l’équation (Salmon, Conic sections, 3.^e édition, p. 247)

$l^{2}p^{2}+m^{2}q^{2}+n^{2}r^{2}-2mnqr-2nlrp-2lmpq=0$ ^[2],

où $l$ , $m$ , $n$ sont des indéterminées. Les points $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ étant déterminés respectivement par les couples d’équations simultanées

$p=0,$ $q-r=0;$

$q=0,$ $r-p=0;$

$r=0,$ $p-q=0;$

la conique passera par les points $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ , si l’on satisfait aux conditions

$m^{2}+n^{2}-2mn=0,$

$n^{2}+l^{2}-2nl=0,$

$l^{2}+m^{2}-2lm=0,$

ou bien

$l=m=n;$

donc l’équation cherchée est

$p^{2}+q^{2}+r^{2}-2qr-2rp-2pq=0.$

Note

↑ [p. 491 modifica]Le questioni di cui si tratta nelle Memorie 4, 5, 6, 7, questioni poste rispettivamente nel tomo XV, p. 154; t. XV, p. 383; t. XVI, p. 126; t. XVI, p. 127 della raccolta citata, sono le seguenti:
321. Dans un hexagone gauche ayant les côtés opposés égaux et paralléles, les milieux des côtés sont dans un même plan.
322. Dans un polygone gauche d’un nombre pair de côtés, ayant les côtés opposés égaux et parallèles, les droites qui joignent les sommets opposés et celles qui joignent les milieux des côtés opposés passent par un seul et même point.
344. Un point fixe O est donné dans un angle plan de sommet $\mathrm {A}$ ; par $\mathrm {O}$ on mène une transversale rencontrant les côtés de l’angle en $\mathrm {B}$ et $\mathrm {C}$ ; $s$ et $s_{1}$ étant les aires des triangles $\mathrm {OBA}$ , $\mathrm {OCA}$ , la somme ${\frac {1}{s}}+{\frac {1}{s_{1}}}$ est constante, de quelque manière qu’on mène la transversale (Mannheim). [p. 492 modifica]
368. $p$ , $q$ , $r$ sont trois fonctions entières linéaires en $x$ et $y$ ; $p=0$ , $q=0$ $r=0$ sont les équations respectives des côtés $\mathrm {AB}$ , $\mathrm {BC}$ , $\mathrm {CA}$ d’un triangle $\mathrm {ABC}$ ; $p-q=0$ , $q-r=0$ , $r-p=0$ sont donc les équations de trois droites passant respectivement par les sommets $\mathrm {B}$ , $\mathrm {C}$ , $\mathrm {A}$ , et se rencontrant au même point $\mathrm {D}$ ; soient $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ les points où $\mathrm {AD}$ rencontre $\mathrm {BC}$ , où $\mathrm {BD}$ rencontre $\mathrm {CA}$ , où $\mathrm {CD}$ rencontre $\mathrm {AB}$ . Trouver en fonction de $p$ , $q$ , $r$ l’equation de la conique qui touche les côtés du triangle en $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ .
369. Mêmes données que dans la question précédente. Il s’agit de mener deux droites $\mathrm {R}$ , $\mathrm {S}$ rencontrant $\mathrm {AB}$ aux points $r_{1}$ , $s_{1}$ , $\mathrm {BC}$ aux points $r_{2}$ , $s_{2}$ , $\mathrm {CA}$ aux points $r_{3}$ , $s_{3}$ , de telle sorte que les trois systèmes de cinq points $r_{1}$ , $s_{1}$ , $\mathrm {A}$ , $\gamma$ , $\mathrm {B}$ ; $r_{2}$ , $s_{2}$ , $\mathrm {B}$ , $\alpha$ , $\mathrm {C}$ ; $r_{3}$ , $s_{3}$ , $\mathrm {C}$ , $\beta$ , $\mathrm {A}$ soient en involution, $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ étant des points doubles. Trouver en fonction de $p$ , $q$ , $r$ les équations des droites $\mathrm {R}$ , $\mathrm {S}$ .
↑ Ou bien $(lp)^{\frac {1}{2}}+(mq)^{\frac {1}{2}}+(nr)^{\frac {1}{2}}=0$ .

[1] [p. 491 modifica]Le questioni di cui si tratta nelle Memorie 4, 5, 6, 7, questioni poste rispettivamente nel tomo XV, p. 154; t. XV, p. 383; t. XVI, p. 126; t. XVI, p. 127 della raccolta citata, sono le seguenti:
321. Dans un hexagone gauche ayant les côtés opposés égaux et paralléles, les milieux des côtés sont dans un même plan.
322. Dans un polygone gauche d’un nombre pair de côtés, ayant les côtés opposés égaux et parallèles, les droites qui joignent les sommets opposés et celles qui joignent les milieux des côtés opposés passent par un seul et même point.
344. Un point fixe O est donné dans un angle plan de sommet $\mathrm {A}$ ; par $\mathrm {O}$ on mène une transversale rencontrant les côtés de l’angle en $\mathrm {B}$ et $\mathrm {C}$ ; $s$ et $s_{1}$ étant les aires des triangles $\mathrm {OBA}$ , $\mathrm {OCA}$ , la somme ${\frac {1}{s}}+{\frac {1}{s_{1}}}$ est constante, de quelque manière qu’on mène la transversale (Mannheim). [p. 492 modifica]
368. $p$ , $q$ , $r$ sont trois fonctions entières linéaires en $x$ et $y$ ; $p=0$ , $q=0$ $r=0$ sont les équations respectives des côtés $\mathrm {AB}$ , $\mathrm {BC}$ , $\mathrm {CA}$ d’un triangle $\mathrm {ABC}$ ; $p-q=0$ , $q-r=0$ , $r-p=0$ sont donc les équations de trois droites passant respectivement par les sommets $\mathrm {B}$ , $\mathrm {C}$ , $\mathrm {A}$ , et se rencontrant au même point $\mathrm {D}$ ; soient $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ les points où $\mathrm {AD}$ rencontre $\mathrm {BC}$ , où $\mathrm {BD}$ rencontre $\mathrm {CA}$ , où $\mathrm {CD}$ rencontre $\mathrm {AB}$ . Trouver en fonction de $p$ , $q$ , $r$ l’equation de la conique qui touche les côtés du triangle en $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ .
369. Mêmes données que dans la question précédente. Il s’agit de mener deux droites $\mathrm {R}$ , $\mathrm {S}$ rencontrant $\mathrm {AB}$ aux points $r_{1}$ , $s_{1}$ , $\mathrm {BC}$ aux points $r_{2}$ , $s_{2}$ , $\mathrm {CA}$ aux points $r_{3}$ , $s_{3}$ , de telle sorte que les trois systèmes de cinq points $r_{1}$ , $s_{1}$ , $\mathrm {A}$ , $\gamma$ , $\mathrm {B}$ ; $r_{2}$ , $s_{2}$ , $\mathrm {B}$ , $\alpha$ , $\mathrm {C}$ ; $r_{3}$ , $s_{3}$ , $\mathrm {C}$ , $\beta$ , $\mathrm {A}$ soient en involution, $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ étant des points doubles. Trouver en fonction de $p$ , $q$ , $r$ les équations des droites $\mathrm {R}$ , $\mathrm {S}$ .

[2] Ou bien $(lp)^{\frac {1}{2}}+(mq)^{\frac {1}{2}}+(nr)^{\frac {1}{2}}=0$ .

[1]

[2]