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determinanti, sistemi di equazione di primo grado

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Sia per esempio:

(1)	$a_{r1}x_{1}+a_{r2}x_{2}+\cdots +a_{rn}x_{n}=0$
	$(r=1,2,\ldots ,n)$

il dato sistema di equazioni, che supponiamo di caratteristica $h=n-1$. Il determinante $D$ di ordine $n$ formato con tutti i loro coefficienti sarà nullo; e noi potremo supporre che sia differente da zero il seguente minore di ordine $n-1$

${\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &\cdots &a_{1,n-1}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &\cdots &a_{2,n-1}\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\a_{n-1,1}&a_{n-1,2}&\cdots &\cdots &a_{n-1,n-1}\end{vmatrix}}$

che è il complemento algebrico $A_{nn}$ di $a_{nn}$ nel determinante $D$. Noi sappiamo in tal caso che, scelto ad arbitrio il valore $\mu$ di ne risulteranno determinati i valori delle altre $x$.

Posto $\lambda ={\frac {\mu }{A_{nn}}}$ (ricordo che $A_{n}n\not =0$), il valore dato ad $x$ sarà $\lambda A_{nn}$, dove $\lambda$ è una quantità arbitraria. Con questo valore della $x_{n}$, restano fissati i valori di $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n-1}$, e senza nessun calcolo si può verificare che questi valori sono

$\lambda A_{n1},\lambda A_{n2},\ldots ,\lambda A_{n,n-1}$.

Infatti se si pone:

(2)	$x_{i}=\lambda A_{ni}\;(i=1,2,\ldots n)\;(\lambda =$costante arbitraria)

nella $r^{esima}(r=1,2,\dots n)$ delle nostre equazioni, il suo primo membro diventa $\lambda (a_{r1}A_{n1}+a_{r2}A_{n2}+\ldots +a_{rn}A_{nn})$, che è zero se $r\not =n$ (pag. 70, § 20, teorema V°), ed è pure nullo se $r=n$, perchè per $r=n$ esso diventa $\lambda D$, che è nullo per ipotesi.

Le (2) danno dunque nel caso attuale la più generale soluzione di (1).

Esempi.

1° Se $\Delta ,\Delta ',\Delta ''$ sono i discriminanti delle equazioni

$f(x)=0$;

$g(x)=0$;

$f(x)g(x)=0$,

allora, se $\Delta \not =0,\Delta '\not =0$, si ha che ${\frac {\Delta ''}{\Delta \Delta '}}$ è il quadrato del risultante delle

$f(x)=0$,

$g(x)=0$.

2° Dimostrare direttamente che un polinomio $P(x)$ di grado $n-1$ è univocamente determinato, quando se ne conoscano i valori $P(a_{1}),P(a_{2}),\cdots ,P(a_{n})$ che esso assume in n punti distinti $a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n}$; e calcolare tale polinomio.