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calcolo differenziale per le funzioni,e cc.

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Le condizioni necessarie si possono meglio studiare così: Su ogni retta

$x=x_{0}+mt$

$y=y_{0}+nt$

($m,n=$ cost.)

uscente dal punto $(x_{0},y_{0})$ cioè dal punto $A$, la funzione $f(x,y)$ ha nelle nostre ipotesi un massimo o un minimo per $t=0$.

[Viceversa non si può dire che, se $A$ è punto di massimo o di massimo su ogni retta uscente da $A$, esso sia un punto di massimo o di minimo, come si vede con metodo analogo a quello svolto al § 80, a, pagina 268].

Cioè $f(x_{0}+mt,y_{0}+nt)$ ha un massimo o un minimo per $t=0$. Se dunque $f$ ha derivate prime e seconde finite e continue, sarà per $t=0$ e per valori qualsiasi (non nulli contemporaneamente) di $m,n$:

${\frac {df}{dt}}=mf'_{x}(x_{0},y_{0})+nf'_{y}(x_{0},y_{0})=0$

${\frac {d^{2}f}{dt^{2}}}=m^{2}f''_{xx}(x_{0},y_{0})+2mnf''_{xy}(x_{0},y_{0})+n^{2}f''_{yy}(x_{0},y_{0})$

$\leq \,0$ (se si tratta di punto massimo)

$\geq \,0$ (se si tratta di punto minimo).

Ora, affinchè ${\frac {df}{dt}}=0$, qualunque siano $m,n$ non contemporaneamente nulle dovrà essere $f'_{x}(x_{0},y_{0})=f'_{y}(x_{0},y_{0})=0$. Affinchè ${\frac {d^{2}f}{dt^{2}}}$ abbia segno costante, qualunque siano $m,n$ dovrà essere $f''_{xx}f''_{yy}-{f''}_{xy}^{2}\geq \,0$ nel punto $(x_{0},y_{0})$. Queste sono dunque altre condizioni necessarie, affinchè la $f(x,y)$ abbia nel punto $(x_{0},y_{0})$ un massimo o un minimo, almeno se le derivate prime e seconde di $f$ sono continue. Noi proveremo che:

Condizioni sufficienti sono le:

$f'_{x}=f'_{y}=0$; ${f''}_{xx}{f''}_{yy}-{f''}_{xy}^{2}>0$; $f'_{x},f'_{y},f''_{xx},f''_{xy},f''_{yy}$ finite e continue (nel punto $x_{0},y_{0}$). (Si noti che $f''_{xx}f''_{yy}-{f''}_{xy}^{2}\geq 0$ è condizione necessaria, mentre $f''_{xx}f''_{yy}-{f''}_{xy}^{2}>0$ è condizione sufficiente).

E, se tali condizioni sufficienti sono soddisfatte, il punto $\mathrm {(x_{0},y_{0})}$ è punto di massimo se $\mathrm {f''_{xx},f''_{yy}}$ sono nel punto considerato negative; esso è un punto di minimo, se $\mathrm {f''_{xx},f''_{yy}}$ sono positive. (Dalla $f''_{xx}f''_{yy}-{f''}_{xy}^{2}>0$ segue che $f''_{xx}f''_{yy}$ hanno lo stesso segno). Infatti, supposto che in $A=(x_{0},y_{0})$ sia $f'_{x}=f'_{y}=0$, la formola di Taylor-Lagrange dà

(1)	$f(x_{0}+h,y_{0}+k)-f(x_{0},y_{0})={\frac {1}{2}}\{h^{2}{\bar {f''}}_{xx}+2hk{\bar {f''}}_{xy}+k^{2}{\bar {f''}}_{yy}\}$

ove il soprassegno indica che le derivate seconde sono calcolare in un punto $x_{0}+\theta h,y_{0}+\theta k$ con $0<\theta <1$.

Ora, essendo tali derivate seconde continue, basterà scegliere $|h|,|k|$ abbastanza piccolo perchè ${\bar {f''}}_{x}x$ abbia il segno di $f''_{xx}$ e ${\bar {f''}}_{xx}{\bar {f''}}_{yy}-{\bar {f''}}_{xy}^{2}$ abbia il segno di $f''_{xx}-f''_{xy}-{f''}_{xy}^{2}$ cioè sia positivo. Il trinomio posto al 2° membro di (1), e quindi anche