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SUR LES CONIQUES SPHÉRIQUES ET NOUVELLE SOLUTION GÉNÉRALE DE LA QUESTION 498^[1].²¹

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Nouvelles Annales de Mathèmatiques, 1.^re série, tome XIX (1860), pp. 269-279.

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Dans le n.º 13 (26 mars 1860) des Comptes rendus de l’Académie des Sciences, M. Chasles a communiqué un résumé d’une théorie des coniques sphériques homofocales. L’illustre géomètre déduit ses nombreux théorèmes d’un petit nombre de propositions fondamentales. Ce sont ces propositions fondamentales que nous allons démontrer.

À cause de la dualité constante à laquelle est soumise toute la géometrie de la sphère, la théorie des coniques homofocales donne lieu à une autre série de théorèmes, C’est, comme le dit l’auteur même, la théorie des coniques homocycliques. Dans notre analyse, les variables $x$, $y$, $z$ pourront exprimer indifféremment des coordonnées cartésiennes de points ou des coordonnées tangentielles de lignes. Dans la première hypothèse, il s’agira de coniques homocycliques; dans l’autre de coniques homofocales. Pour fixer les idées, nous supposerons que les coordonnées se rapportent à des points; le lecteur en fera mentalement la transformation, s’il veut obtenir les propriétés des coniques homofocales.

1. Soient $x:y:z$ les coordonnées orthogonales d’un point quelconque d’une surface sphérique donnée²³. L’équation générale d’une conique (ligne de second ordre) est

1)	$\alpha x^{2}+\beta y^{2}+\gamma z^{2}+2\delta yz+2\epsilon zx+2\phi xy=0.$

La conique est un (petit) cercle si son équation est de la forme qui suit:

2)	$\lambda (x^{2}+y^{2}+z^{2})-(ax+by+cz)^{2}=0;$

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1. Pour bien comprendre ce travail, il est nécessaire d’avoir devant soi le n.º 13 des Comptes rendus.