Pagina:Opere matematiche (Cremona) I.djvu/129

solution de la question 465.

115

viennent divisibles respectivement par θ₁, θ₂, ..., θ_n , et l’on a

$\mathrm {D} \Delta =\theta _{1}\theta _{2}...\theta _{n}{\begin{vmatrix}1&1&1&\cdots &1\\1&\alpha _{n-1}&\alpha _{n-1}^{2}&\cdots &\alpha _{n-1}^{n-1}\\1&\alpha _{n-2}&\alpha _{n-2}^{2}&\cdots &\alpha _{n-2}^{n-1}\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\1&\alpha _{1}&\alpha _{1}^{2}&\cdots &\alpha _{1}^{n-1}\end{vmatrix}}.$

Or le determinant du second membre est évidemment égal a $(-1)^{\frac {(n-1)(n-2)}{2}}\Delta$²²; donc

$\mathrm {D} =(-1)^{\frac {(n-1)(n-2)}{2}}\theta _{1}\theta _{2}...\theta _{n}.$

Le théorème, mentionné par M. Michael Roberts (Nouvelles Annales, cahier de mars 1859, p. 87), est de M. Spottiswoode (Journal de Crelle, t. LI); la démonstration ci-dessus m’a été communiquée par M. Brioschi, et je l’ai publiée comme lemme dans une petite Note Intorno ad un teorema di Abel (Annali di Tortolini, 1856) [Memoria 2 di questo volume].

En supposant

a_r = a + rd,

il s’ensuit

$\theta _{r}={\frac {nd}{\alpha _{r}-1}}$     pour     r = 1, 2, ..., n — 1

et

θ_n = na + ${\frac {n(n-1)}{2}}$d;

donc

θ₁θ₂...θ_n—1 = (— 1)^n—1n^n—2d^n—1,

et, par conséquent,

$\mathrm {D} ={\begin{vmatrix}a&a+d&\cdots &a+(n-1)d\\a+d&a+2d&\cdots &a\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\a+(n-1)d&a&\cdots &a+(n-2)d\end{vmatrix}}$ $=(-1)^{\frac {n(n-1)}{2}}(nd)^{n-1}\left[a+{\frac {(n-1)d}{2}}\right],$

ce qui est bien la question 465.

---