Annali di Scienze matematiche e fisiche compilati da B. Tortolini, tomo settimo (1856), pp. 99-105.
Il teorema del quale questa breve nota contiene una dimostrazione, venne enunciato per la prima volta da Abel, in una lettera diretta a Legendre1, e in seguito dimostrato dal signor Broch2.
Eseguendo la moltiplicazione per linee, ed avendo riguardo alla (1), le colonne del [p. 5modifica]determinante prodotto riescono ordinatamente divisibili per θn, θ1, ... θn — 1; e si ha
DΔ = θ1 θ2 ... θn,
ma il determinante che entra nel secondo membro di questa equazione è evidentemente eguale a ; dunque
Il teorema espresso in questa formola fu enunciato per la prima volta dal signor Spottiswoode4; la dimostrazione è del prof. Brioschi, mio valente maestro.
Lemma 2.º Si considerino le a0, a1, ... an— 1 come funzioni di una stessa variabile, derivando rispetto ad essa il determinante D, si ha
D' = D1 + D2 + ... + Dn
ove Dr è il determinante che si ottiene dal determinante D, sostituendo agli elementi della r esima colonna le loro derivate. Nel determinante Dr dispongansi le linee (n — r + 2) esima, (n — r + 3) esima, ... n esima, prima, seconda, ... (n — r + 1) esima in modo che riescano ordinatamente prima, seconda, ... (r — 1) esima, r esima, (r + 1) esima, ... n esima; indi si dispongano le colonne r esima, (r + 1) esima, ... n esima, prima, seconda, ... (r — 1) esima per modo che divengano prima, seconda, ... (n — r + 1) esima, (n — r + 2) esima, (n — r + 3) esima, ... n esima; si avrà
Dr = D1
dunque
D' = n D1 = n D2 = ... = n Dn.
Lemma 3.º Sia
H =
[p. 6modifica]Si può dimostrare che l’espressione è razionale5 rispetto a dn. Infatti, dopo aver divisa la seconda linea del determinante H per d, se si moltiplicano le colonne seconda, terza, ... ultima per dn, dn — 1, ... d2 e poi si dividono le linee terza, quarta, ... ultima per d2, d3, ... dn — 1, si ottiene
.
Teorema di Abel. Sia F(x) = 0 l’equazione risultante dalla eliminazione della y fra le due equazioni algebriche
ove R (x) sia una funzione razionale ed intera di x; q0, q1, ... qn — 1n funzioni razionali ed intere della stessa x, nelle quali però i coefficienti delle potenze della variabile siano quantità indeterminate, supposte funzioni di un’arbitraria t. Siano α1, α2, ... αn e n radici dell’equazione xn — 1 = 0, e facciasi d = . Pel lemma 1.º si ha
F (x) = .
Moltiplicando le linee seconda, terza, ... ultima per αr, αr2, ... αrn — 1, ed aggiungendo agli elementi della prima colonna quelli della seconda, della terza, ... dell’ultima moltiplicati per αr, αr2, ... αrn — 1, e moltiplicando quindi di nuovo le linee prima, seconda, ... ultima per αrn, αrn — 1, ... αr si ha
Sia x una qualunque delle μ radici, supposte disuguali, dell’equazione F (x) = 0, e sia θr il fattore di F (x) che è annullato da quella radice. Derivando rispetto a t la equazione identica F (x) = 0, si ha (lemma 2.º)
F' (x) + n = 0
ove hs = d2; indica la derivata di qs, rispetto alla sola t implicita ne’ coefficienti. Trasformisi il determinante nell’equazione che precede, moltiplicando le linee seconda, terza, ... ultima per αr, αr2, ... αrn— 1 ed aggiungendo agli elementi dell’ultima colonna moltiplicati per αrn— 1 quelli della penultima, terz’ultima, ... seconda moltiplicati per αrn— 2, αrn— 3, ... αr; avendo riguardo all’equazione identica θr = 0, si ha
4)
F' (x) — nαrH = 0
posto
H = (— 1)n.
Sia a una quantità costante, f (x) una funzione razionale ed intera di x; e si moltiplichi la (4) per
,
si avrà
.
In questa equazione cambio la x successivamente in tutte le radici della F (x) = 0; sommando i risultati ed osservando essere una funzione razionale6 rispetto ad x[p. 8modifica](lemma 3.º), si ha, per noti teoremi sullo spezzamento delle frazioni razionali