Opere matematiche di Luigi Cremona/Intorno ad un teorema di Abel

by Luigi Cremona

Intorno ad un teorema di Abel

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Luigi Cremona - Opere matematiche (1914)

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2.

INTORNO AD UN TEOREMA DI ABEL.

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Annali di Scienze matematiche e fisiche compilati da B. Tortolini, tomo settimo (1856), pp. 99-105.

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Il teorema del quale questa breve nota contiene una dimostrazione, venne enunciato per la prima volta da Abel, in una lettera diretta a Legendre¹, e in seguito dimostrato dal signor Broch².

Lemma 1.º Siano a₀, a₁, ... a_{n— 1} n quantità qualsivogliano; α una radice primitiva dell’equazione xⁿ — 1 = 0; e

θ_r = a₀ + a₁ α_r + a₂ α_r² .... + a_{n— 1} α_r^{n — 1}

supposto

1)

αr = αr.

Si moltiplichino fra loro i due determinanti

D = ${\begin{vmatrix}a_{0}&a_{1}&\cdots &a_{\mathrm {n} -1}\\a_{1}&a_{2}&\cdots &a_{0}\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\a_{\mathrm {n} -1}&a_{0}&\cdots &a_{\mathrm {n} -2}\end{vmatrix}}$,     Δ = ${\begin{vmatrix}1&1&1&\cdots &1\\1&\alpha _{1}&\alpha _{2}&\cdots &\alpha _{\mathrm {n} -1}\\1&\alpha _{1}^{2}&\alpha _{2}^{2}&\cdots &\alpha _{\mathrm {n} -1}^{2}\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\1&\alpha _{1}^{\mathrm {n} -1}&\alpha _{2}^{\mathrm {n} -1}&\cdots &\alpha _{\mathrm {n} -1}^{\mathrm {n} -1}\end{vmatrix}}$.

Eseguendo la moltiplicazione per linee, ed avendo riguardo alla (1), le colonne del determinante prodotto riescono ordinatamente divisibili per θ_n, θ₁, ... θ_{n —  1}; e si ha

DΔ = θ₁ θ₂ ... θ_n ${\begin{vmatrix}1&1&1&\cdots &1\\1&\alpha _{\mathrm {n} -1}&\alpha _{\mathrm {n} -1}^{2}&\cdots &\alpha _{\mathrm {n} -1}^{\mathrm {n} -1}\\1&\alpha _{\mathrm {n} -2}&\alpha _{\mathrm {n} -2}^{2}&\cdots &\alpha _{\mathrm {n} -2}^{\mathrm {n} -1}\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\1&\alpha _{1}&\alpha _{1}^{2}&\cdots &\alpha _{1}^{\mathrm {n} -1}\end{vmatrix}}$,

ma il determinante che entra nel secondo membro di questa equazione è evidentemente eguale a $(-1)^{\frac {(n-1)(n-2)}{2}}\Delta$; dunque

θ₁ θ₂ ... θ_n = $(-1)^{\frac {(n-1)(n-2)}{2}}$ D.³

Il teorema espresso in questa formola fu enunciato per la prima volta dal signor Spottiswoode⁴; la dimostrazione è del prof. Brioschi, mio valente maestro.

Lemma 2.º Si considerino le a₀, a₁, ... a_{n— 1} come funzioni di una stessa variabile, derivando rispetto ad essa il determinante D, si ha

D' = D₁ + D₂ + ... + D_n

ove D_r è il determinante che si ottiene dal determinante D, sostituendo agli elementi della r esima colonna le loro derivate. Nel determinante D_r dispongansi le linee (n — r + 2) esima, (n — r + 3) esima, ... n esima, prima, seconda, ... (n — r + 1) esima in modo che riescano ordinatamente prima, seconda, ... (r — 1) esima, r esima, (r + 1) esima, ... n esima; indi si dispongano le colonne r esima, (r + 1) esima, ... n esima, prima, seconda, ... (r — 1) esima per modo che divengano prima, seconda, ... (n — r + 1) esima, (n — r + 2) esima, (n — r + 3) esima, ... n esima; si avrà

D_r = D₁

dunque

D' = n D₁ = n D₂ = ... = n D_n.

Lemma 3.º Sia

H = ${\begin{vmatrix}m_{0}&q_{0}&q_{1}d&\cdots &q_{\mathrm {n} -2}d^{\mathrm {n} -2}\\m_{1}d&q_{1}d&q_{2}d^{2}&\cdots &q_{\mathrm {n} -1}d^{\mathrm {n} -1}\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\m_{\mathrm {n} -1}d^{\mathrm {n} -1}&q_{\mathrm {n} -1}d^{\mathrm {n} -1}&q_{0}&\cdots &q_{\mathrm {n} -3}d^{\mathrm {n} -3}\end{vmatrix}}$

Si può dimostrare che l’espressione ${\frac {\mathrm {H} }{d}}$ è razionale⁵ rispetto a dⁿ. Infatti, dopo aver divisa la seconda linea del determinante H per d, se si moltiplicano le colonne seconda, terza, ... ultima per dⁿ, d^{n — 1}, ... d² e poi si dividono le linee terza, quarta, ... ultima per d², d³, ... d^{n — 1}, si ottiene

${\frac {\mathrm {H} }{d}}={\frac {1}{d^{\mathrm {n} }}}{\begin{vmatrix}m_{1}&q_{0}d^{\mathrm {n} }&q_{1}d^{\mathrm {n} }&\cdots &q_{\mathrm {n} -2}d^{\mathrm {n} }\\m_{2}&q_{1}d^{\mathrm {n} }&q_{2}d^{\mathrm {n} }&\cdots &q_{\mathrm {n} -1}d^{\mathrm {n} }\\m_{2}&q_{2}d^{\mathrm {n} }&q_{3}d^{\mathrm {n} }&\cdots &q_{0}\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\m_{\mathrm {n} -1}&q_{\mathrm {n} -1}d^{\mathrm {n} }&q_{0}&\cdots &q_{\mathrm {n} -3}\end{vmatrix}}$.

Teorema di Abel. Sia F(x) = 0 l’equazione risultante dalla eliminazione della y fra le due equazioni algebriche

yⁿ — R (x) = 0,       q₀ + q₁ y + q₂ y² + ... + q_{n — 1} y^{n — 1} = 0

ove R (x) sia una funzione razionale ed intera di x; q₀, q₁, ... q_{n — 1} n funzioni razionali ed intere della stessa x, nelle quali però i coefficienti delle potenze della variabile siano quantità indeterminate, supposte funzioni di un’arbitraria t. Siano α₁, α₂, ... α_n e n radici dell’equazione xⁿ —  1 = 0, e facciasi d = ${\sqrt[{\mathrm {n} }]{\mathrm {R} (x)}}$. Pel lemma 1.º si ha

F (x) = ${\begin{vmatrix}q_{0}&q_{1}d&q_{2}d^{2}&\cdots &q_{\mathrm {n} -1}d^{\mathrm {n} -1}\\q_{1}d&q_{2}d^{2}&q_{3}d^{3}&\cdots &q_{0}\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\q_{\mathrm {n} -1}d^{\mathrm {n} -1}&q_{0}&q_{1}d&\cdots &q_{\mathrm {n} -2}d^{\mathrm {n} -2}\end{vmatrix}}$.

Moltiplicando le linee seconda, terza, ... ultima per α_r, α_r², ... α_r^{n — 1}, ed aggiungendo agli elementi della prima colonna quelli della seconda, della terza, ... dell’ultima moltiplicati per α_r, α_r², ... α_r^{n — 1}, e moltiplicando quindi di nuovo le linee prima, seconda, ... ultima per α_rⁿ, α_r^{n — 1}, ... α_r si ha

2)

F (x) = θr${\begin{vmatrix}\alpha _{\mathrm {r} }^{\mathrm {n} }&q_{1}d&q_{2}d^{2}&\cdots &q_{\mathrm {n} -1}d^{\mathrm {n} -1}\\\alpha _{\mathrm {r} }^{\mathrm {n} -1}&q_{2}d^{2}&q_{3}d^{3}&\cdots &q_{0}\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\\alpha _{\mathrm {r} }&q_{0}&q_{1}d&\cdots &q_{\mathrm {n} -2}d^{\mathrm {n} -2}\end{vmatrix}}$

posto

3)	θr = q0 + q1 αr d + q2 αr2 d2 + ... + qn— 1 αrn— 1 dn— 1.

Sia x una qualunque delle μ radici, supposte disuguali, dell’equazione F (x) = 0, e sia θ_r il fattore di F (x) che è annullato da quella radice. Derivando rispetto a t la equazione identica F (x) = 0, si ha (lemma 2.º)

F' (x) ${\frac {dx}{dt}}$ + n ${\begin{vmatrix}h_{0}&q_{1}d&q_{2}d^{2}&\cdots &q_{\mathrm {n} -1}d^{\mathrm {n} -1}\\h_{1}&q_{2}d^{2}&q_{3}d^{3}&\cdots &q_{0}\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\h_{\mathrm {n} -1}&q_{0}&q_{1}d&\cdots &q_{\mathrm {n} -2}d^{\mathrm {n} -2}\end{vmatrix}}$ = 0

ove h_s = ${\frac {dq_{s}}{dt}}$ d²; ${\frac {dq_{s}}{dt}}$ indica la derivata di q_s, rispetto alla sola t implicita ne’ coefficienti. Trasformisi il determinante nell’equazione che precede, moltiplicando le linee seconda, terza, ... ultima per α_r, α_r², ... α_r^{n— 1} ed aggiungendo agli elementi dell’ultima colonna moltiplicati per α_r^{n— 1} quelli della penultima, terz’ultima, ... seconda moltiplicati per α_r^{n— 2}, α_r^{n— 3}, ... α_r; avendo riguardo all’equazione identica θ_r = 0, si ha

4)	F' (x) ${\frac {dx}{dt}}$ — nαrH = 0

posto

H = (— 1)ⁿ ${\begin{vmatrix}h_{0}&q_{0}&q_{1}d&\cdots &q_{\mathrm {n} -2}d^{\mathrm {n} -2}\\h_{1}&q_{1}d&q_{2}d^{2}&\cdots &q_{\mathrm {n} -1}d^{\mathrm {n} -1}\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\h_{\mathrm {n} -1}&q_{\mathrm {n} -1}d^{\mathrm {n} -1}&q_{0}&\cdots &q_{\mathrm {n} -3}d^{\mathrm {n} -3}\end{vmatrix}}$.

Sia a una quantità costante, f (x) una funzione razionale ed intera di x; e si moltiplichi la (4) per

${\frac {f(x)}{\alpha _{\mathrm {r} }(x-a)d\mathrm {F} '(x)}}$,

si avrà

${\frac {1}{\alpha _{\mathrm {r} }}}{\frac {f(x)}{(x-a)d}}{\frac {dx}{dt}}={\frac {n\mathrm {H} f(x)}{(x-a)d\mathrm {F} '(x)}}$.

In questa equazione cambio la x successivamente in tutte le radici della F (x) = 0; sommando i risultati ed osservando essere ${\frac {\mathrm {H} }{d}}$ una funzione razionale⁶ rispetto ad x (lemma 3.º), si ha, per noti teoremi sullo spezzamento delle frazioni razionali

$\sum _{1}^{\mu }{{\frac {1}{\alpha _{\mathrm {r} }}}{\frac {f(x)}{(x-a)d(x)}}{\frac {dx}{dt}}}=\Pi {\frac {n\mathrm {H} (x)f(x)}{(x-a)d(x)\mathrm {F} (x)}}-{\frac {n\mathrm {H} (a)f(a)}{d(a)\mathrm {F} (a)}}$⁷

indicando col simbolo Πφ(x) il cofficiente di ${\frac {1}{x}}$ nello sviluppo di φ(x) secondo le potenze discendenti di x. Quindi, integrando rispetto a t, si ha

5)	$\sum _{1}^{\mu }{\frac {1}{\alpha _{\mathrm {r} }}}\int {\frac {f(x)}{(x-a)d(x)}}dx=\Pi {\frac {f(x)}{(x-a)d(x)}}\int {\frac {n\mathrm {H} (x)}{\mathrm {F} (x)}}dt$ $-{\frac {f(a)}{d(a)}}\int {\frac {n\mathrm {H} (a)}{\mathrm {F} (a)}}dt+\mathrm {Cost.^{e}} .$

Ora derivinsi le n equazioni (3) rispetto alla sola t; poi si moltiplichino le equazioni ottenute dalla derivazione ordinatamente per

α₁ⁿ, α₂ⁿ, ... α_nⁿ;       α₁^{n— 1}, α₂^{n— 1}, ... α_n^{n— 1}; ...;       α₁, α₂, ... α_n;

sommando ciascuna volta le risultanti si ha

nh_s = α₁^{n— s}${\frac {d\theta _{1}}{dt}}$ + α₂^{n— s}${\frac {d\theta _{2}}{dt}}$ + ... + α_n^{n— s}${\frac {d\theta _{\mathrm {n} }}{dt}}$;

quindi, essendo

H = h₀${\frac {d\mathrm {H} }{dh_{0}}}$ + h₁${\frac {d\mathrm {H} }{dh_{1}}}$ + ... + h_{n— 1}${\frac {d\mathrm {H} }{dh_{\mathrm {n} -1}}}$,

sarà

nH = (— 1)ⁿ $\sum _{\mathrm {r} =1}^{\mathrm {n} }{\frac {d\theta _{\mathrm {r} }}{dt}}{\begin{vmatrix}\alpha _{\mathrm {r} }^{\mathrm {n} }&q_{0}&q_{1}d&\cdots &q_{\mathrm {n} -2}d^{\mathrm {n} -2}\\\alpha _{\mathrm {r} }^{\mathrm {n} -1}&q_{1}d&q_{2}d^{2}&\cdots &q_{\mathrm {n} -1}d^{\mathrm {n} -1}\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\\alpha _{\mathrm {r} }&q_{\mathrm {n} -1}d^{\mathrm {n} -1}&q_{0}&\cdots &q_{\mathrm {n} -3}d^{\mathrm {n} -3}\end{vmatrix}}$

ovvero

nH = — $\sum _{\mathrm {r} =1}^{\mathrm {n} }\alpha _{\mathrm {r} }^{\mathrm {n} -1}{\frac {d\theta _{\mathrm {r} }}{dt}}{\begin{vmatrix}\alpha _{\mathrm {r} }^{\mathrm {n} }&q_{1}d&q_{2}d^{2}&\cdots &q_{\mathrm {n} -1}d^{\mathrm {n} -1}\\\alpha _{\mathrm {r} }^{\mathrm {n} -1}&q_{2}d^{2}&q_{3}d^{3}&\cdots &q_{0}\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\\alpha _{\mathrm {r} }&q_{0}&q_{1}d&\cdots &q_{\mathrm {n} -2}d^{\mathrm {n} -2}\end{vmatrix}}$

e per la (2)

${\frac {n\mathrm {H} }{\mathrm {F} }}=-\sum _{\mathrm {r} =1}^{\mathrm {n} }{\frac {1}{\alpha _{\mathrm {r} }}}{\frac {d\theta _{\mathrm {r} }}{dt}}{\frac {1}{\theta }}_{\mathrm {r} }{}$,

quindi la (5) diviene

$\sum _{1}^{\mu }{\frac {1}{\alpha _{\mathrm {r} }}}\int {\frac {f(x)}{(x-a){\sqrt[{\mathrm {n} }]{\mathrm {R} (x)}}}}dx=-\Pi {\frac {f(x)}{(x-a){\sqrt[{\mathrm {n} }]{\mathrm {R} (x)}}}}\sum _{\mathrm {r} =1}^{\mathrm {n} }{\frac {1}{\alpha _{\mathrm {r} }}}\log \theta _{\mathrm {r} }(x)$ $+{\frac {f(a)}{\sqrt[{\mathrm {n} }]{\mathrm {R} (a)}}}\sum _{1}^{\mathrm {n} }{\frac {1}{\alpha _{\mathrm {r} }}}\log \theta _{\mathrm {r} }(a)+\mathrm {Cost.^{e}} .$

In questo risultato consiste appunto il teorema di Abel.

Pavia, 2 maggio 1856.

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Note

1. Crelle, Journal für die Mathematik, Band 6. [Oeuvres de N. H. Abel, nouv. edit., vol. II, p. 276].
2. Crelle, Journal für die Mathematik, Band 20.
3. Nell’originale l’esponente qui e nella riga precedente era invece scritto ${\frac {n(n-1)}{2}}$.
4. Crelle, Journal für die Mathematik, Band 51.
5. Aggiungasi: «intera».
6. Aggiungasi: «intera».
7. In questa formola e in altre successive furono corretti alcuni errori di segno dell’originale.