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Opere matematiche di Luigi Cremona/Intorno ad un teorema di Abel

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Intorno ad un teorema di Abel

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Sulle tangenti sfero-coniugate Intorno ad alcuni teoremi di geometria segmentaria

[p. 4 modifica]

2.

INTORNO AD UN TEOREMA DI ABEL.



Annali di Scienze matematiche e fisiche compilati da B. Tortolini, tomo settimo (1856), pp. 99-105.



Il teorema del quale questa breve nota contiene una dimostrazione, venne enunciato per la prima volta da Abel, in una lettera diretta a Legendre1, e in seguito dimostrato dal signor Broch2.

Lemma 1.º Siano a0, a1, ... an— 1 n quantità qualsivogliano; α una radice primitiva dell’equazione xn — 1 = 0; e

θr = a0 + a1 αr + a2 αr2 .... + an— 1 αrn — 1


supposto

1)
αr = αr.


Si moltiplichino fra loro i due determinanti

D = ,     Δ = .


Eseguendo la moltiplicazione per linee, ed avendo riguardo alla (1), le colonne del [p. 5 modifica]determinante prodotto riescono ordinatamente divisibili per θn, θ1, ... θn —  1; e si ha

DΔ = θ1 θ2 ... θn ,


ma il determinante che entra nel secondo membro di questa equazione è evidentemente eguale a ; dunque

θ1 θ2 ... θn = D.3


Il teorema espresso in questa formola fu enunciato per la prima volta dal signor Spottiswoode4; la dimostrazione è del prof. Brioschi, mio valente maestro.

Lemma 2.º Si considerino le a0, a1, ... an— 1 come funzioni di una stessa variabile, derivando rispetto ad essa il determinante D, si ha

D' = D1 + D2 + ... + Dn


ove Dr è il determinante che si ottiene dal determinante D, sostituendo agli elementi della r esima colonna le loro derivate. Nel determinante Dr dispongansi le linee (nr + 2) esima, (nr + 3) esima, ... n esima, prima, seconda, ... (nr + 1) esima in modo che riescano ordinatamente prima, seconda, ... (r — 1) esima, r esima, (r + 1) esima, ... n esima; indi si dispongano le colonne r esima, (r + 1) esima, ... n esima, prima, seconda, ... (r — 1) esima per modo che divengano prima, seconda, ... (nr + 1) esima, (nr + 2) esima, (nr + 3) esima, ... n esima; si avrà

Dr = D1


dunque

D' = n D1 = n D2 = ... = n Dn.

Lemma 3.º Sia

H =

[p. 6 modifica]Si può dimostrare che l’espressione è razionale5 rispetto a dn. Infatti, dopo aver divisa la seconda linea del determinante H per d, se si moltiplicano le colonne seconda, terza, ... ultima per dn, dn — 1, ... d2 e poi si dividono le linee terza, quarta, ... ultima per d2, d3, ... dn — 1, si ottiene

.


Teorema di Abel. Sia F(x) = 0 l’equazione risultante dalla eliminazione della y fra le due equazioni algebriche

yn — R (x) = 0,       q0 + q1 y + q2 y2 + ... + qn — 1 yn — 1 = 0


ove R (x) sia una funzione razionale ed intera di x; q0, q1, ... qn — 1 n funzioni razionali ed intere della stessa x, nelle quali però i coefficienti delle potenze della variabile siano quantità indeterminate, supposte funzioni di un’arbitraria t. Siano α1, α2, ... αn e n radici dell’equazione xn —  1 = 0, e facciasi d = . Pel lemma 1.º si ha

F (x) = .


Moltiplicando le linee seconda, terza, ... ultima per αr, αr2, ... αrn — 1, ed aggiungendo agli elementi della prima colonna quelli della seconda, della terza, ... dell’ultima moltiplicati per αr, αr2, ... αrn — 1, e moltiplicando quindi di nuovo le linee prima, seconda, ... ultima per αrn, αrn — 1, ... αr si ha

2)
F (x) = θr

[p. 7 modifica]posto

3)
θr = q0 + q1 αr d + q2 αr2 d2 + ... + qn— 1 αrn— 1 dn— 1.


Sia x una qualunque delle μ radici, supposte disuguali, dell’equazione F (x) = 0, e sia θr il fattore di F (x) che è annullato da quella radice. Derivando rispetto a t la equazione identica F (x) = 0, si ha (lemma 2.º)

F' (x) + n = 0


ove hs = d2; indica la derivata di qs, rispetto alla sola t implicita ne’ coefficienti. Trasformisi il determinante nell’equazione che precede, moltiplicando le linee seconda, terza, ... ultima per αr, αr2, ... αrn— 1 ed aggiungendo agli elementi dell’ultima colonna moltiplicati per αrn— 1 quelli della penultima, terz’ultima, ... seconda moltiplicati per αrn— 2, αrn— 3, ... αr; avendo riguardo all’equazione identica θr = 0, si ha

4)
F' (x) nαrH = 0


posto

H = (— 1)n .


Sia a una quantità costante, f (x) una funzione razionale ed intera di x; e si moltiplichi la (4) per

,


si avrà

.


In questa equazione cambio la x successivamente in tutte le radici della F (x) = 0; sommando i risultati ed osservando essere una funzione razionale6 rispetto ad x [p. 8 modifica](lemma 3.º), si ha, per noti teoremi sullo spezzamento delle frazioni razionali

7


indicando col simbolo Πφ(x) il cofficiente di nello sviluppo di φ(x) secondo le potenze discendenti di x. Quindi, integrando rispetto a t, si ha

5)


Ora derivinsi le n equazioni (3) rispetto alla sola t; poi si moltiplichino le equazioni ottenute dalla derivazione ordinatamente per

α1n, α2n, ... αnn;       α1n— 1, α2n— 1, ... αnn— 1; ...;       α1, α2, ... αn;


sommando ciascuna volta le risultanti si ha

nhs = α1ns + α2ns + ... + αnns;


quindi, essendo

H = h0 + h1 + ... + hn— 1,


sarà

nH = (— 1)n


ovvero

nH = —

[p. 9 modifica]

e per la (2)

,


quindi la (5) diviene


In questo risultato consiste appunto il teorema di Abel.


Pavia, 2 maggio 1856.



Note

  1. Crelle, Journal für die Mathematik, Band 6. [Oeuvres de N. H. Abel, nouv. edit., vol. II, p. 276].
  2. Crelle, Journal für die Mathematik, Band 20.
  3. [p. 491 modifica]Nell’originale l’esponente qui e nella riga precedente era invece scritto .
  4. Crelle, Journal für die Mathematik, Band 51.
  5. [p. 491 modifica]Aggiungasi: «intera».
  6. [p. 491 modifica]Aggiungasi: «intera».
  7. [p. 491 modifica]In questa formola e in altre successive furono corretti alcuni errori di segno dell’originale.