Opere matematiche di Luigi Cremona/Intorno ad un teorema di Abel

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Intorno ad un teorema di Abel

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Sulle tangenti sfero-coniugate Intorno ad alcuni teoremi di geometria segmentaria

[p. 4 modifica]

2.

INTORNO AD UN TEOREMA DI ABEL.



Annali di Scienze matematiche e fisiche compilati da B. Tortolini, tomo settimo (1856), pp. 99-105.



Il teorema del quale questa breve nota contiene una dimostrazione, venne enunciato per la prima volta da Abel, in una lettera diretta a Legendre1, e in seguito dimostrato dal signor Broch2.

Lemma 1.º Siano a0, a1, ... an— 1 n quantità qualsivogliano; α una radice primitiva dell’equazione xn — 1 = 0; e

θr = a0 + a1 αr + a2 αr2 .... + an— 1 αrn — 1


supposto

1)
αr = αr.


Si moltiplichino fra loro i due determinanti

D = ,     Δ = .


Eseguendo la moltiplicazione per linee, ed avendo riguardo alla (1), le colonne del [p. 5 modifica]determinante prodotto riescono ordinatamente divisibili per θn, θ1, ... θn —  1; e si ha

DΔ = θ1 θ2 ... θn ,


ma il determinante che entra nel secondo membro di questa equazione è evidentemente eguale a ; dunque

θ1 θ2 ... θn = D.3


Il teorema espresso in questa formola fu enunciato per la prima volta dal signor Spottiswoode4; la dimostrazione è del prof. Brioschi, mio valente maestro.

Lemma 2.º Si considerino le a0, a1, ... an— 1 come funzioni di una stessa variabile, derivando rispetto ad essa il determinante D, si ha

D' = D1 + D2 + ... + Dn


ove Dr è il determinante che si ottiene dal determinante D, sostituendo agli elementi della r esima colonna le loro derivate. Nel determinante Dr dispongansi le linee (nr + 2) esima, (nr + 3) esima, ... n esima, prima, seconda, ... (nr + 1) esima in modo che riescano ordinatamente prima, seconda, ... (r — 1) esima, r esima, (r + 1) esima, ... n esima; indi si dispongano le colonne r esima, (r + 1) esima, ... n esima, prima, seconda, ... (r — 1) esima per modo che divengano prima, seconda, ... (nr + 1) esima, (nr + 2) esima, (nr + 3) esima, ... n esima; si avrà

Dr = D1


dunque

D' = n D1 = n D2 = ... = n Dn.

Lemma 3.º Sia

H =

[p. 6 modifica]Si può dimostrare che l’espressione è razionale5 rispetto a dn. Infatti, dopo aver divisa la seconda linea del determinante H per d, se si moltiplicano le colonne seconda, terza, ... ultima per dn, dn — 1, ... d2 e poi si dividono le linee terza, quarta, ... ultima per d2, d3, ... dn — 1, si ottiene

.


Teorema di Abel. Sia F(x) = 0 l’equazione risultante dalla eliminazione della y fra le due equazioni algebriche

yn — R (x) = 0,       q0 + q1 y + q2 y2 + ... + qn — 1 yn — 1 = 0


ove R (x) sia una funzione razionale ed intera di x; q0, q1, ... qn — 1 n funzioni razionali ed intere della stessa x, nelle quali pero i coefficienti delle potenze della variabile siano quantità indeterminate, supposte funzioni di un’arbitraria t. Siano α1, α2, ... αn e n radici dell’equazione xn — 1 = 0, e facciasi d = . Pel lemma 1.º si ha

F (x) = .


Moltiplicando le linee seconda, terza, ... ultima per αr, αr2, ... αrn — 1, ed aggiungendo agli elementi della prima colonna quelli della seconda, della terza, ... dell’ultima moltiplicati per αr, αr2, ... αrn — 1, e moltiplicando quindi di nuovo le linee prima, seconda, ... ultima per αrn, αrn — 1, ... αr si ha

2)
F (x) = θr

[p. 7 modifica]posto

3)
θr = q0 + q1 αr d + q2 αr2 d2 + ... + qn—1 αrn—1 dn—1.


Sia x una qualunque delle μ radici, supposte disuguali, dell’equazione F (x) = 0, e sia θr il fattore di F (x) che è annullato da quella radice. Derivando rispetto a t la equazione identica F (x) = 0, si ha (lemma 2.º)

F' (x) + n = 0


ove hs = d2; indica la derivata di qs, rispetto alla sola t implicita ne’ coefficienti. Trasformisi il determinante nell’equazione che precede, moltiplicando le linee seconda, terza, ... ultima per αr, αr2, ... αrn—1 ed aggiungendo agli elementi dell’ultima colonna moltiplicati per αrn—1 quelli della penultima, terz’ultima, ... seconda moltiplicati per αrn—2, αrn—3, ... αr; avendo riguardo all’equazione identica θr = 0, si ha

4)
F' (x) nαrH = 0


posto

H = (—1)n .


Sia a una quantità costante, f (x) una funzione razionale ed intera di x; e si moltiplichi la (4) per

,


si avrà

.


In questa equazione cambio la x successivamente in tutte le radici della F (x) = 0; sommando i risultati ed osservando essere una funzione razionale6 rispetto ad x [p. 8 modifica](lemma 3.º), si ha, per noti teoreini sullo spezzamento delle frazioni razionali

7


indicando col simbolo Πφ(x) il cofficiente di nello sviluppo di φ(x) secondo le potenze discendenti di x. Quindi, integrando rispetto a t, si ha

5)


Ora derivinsi le n equazioni (3) rispetto alla sola t; poi si moltiplichino le equazioni ottenute dalla derivazione ordinatamente per

α1n, α2n, ... αnn;       α1n—1, α2n—1, ... αnn—1; ...;       α1, α2, ... αn;


sommando ciascuna volta le risultanti si ha

nhs = α1ns + α2ns + ... + αnns;


quindi, essendo

H = h0 + h1 + ... + hn—1,


sarà

nH = (—1)n


ovvero

nH = —

[p. 9 modifica]

e per la (2)

,


quindi la (5) diviene


In questo risultato consiste appunto il teorema di Abel.


Pavia, 2 maggio 1856.



Note

  1. Crelle, Journal für die Mathematik, Band 6. [Oeuvres de N. H. Abel, nouv. edit., vol. II, p. 276].
  2. Crelle, Journal für die Mathematik, Band 20.
  3. [p. 491 modifica]Nell’originale l’esponente qui e nella riga precedente era invece scritto .
  4. Crelle, Journal für die Mathematik, Band 51.
  5. [p. 491 modifica]Aggiungasi: «intera».
  6. [p. 491 modifica]Aggiungasi: «intera».
  7. [p. 491 modifica]In questa formola e in altre successive furono corretti alcuni errori di segno dell’originale.