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Appendice C - Covarianza e correlazione

covarianza nulla:

${\text{Cov}}(\delta ,x)$	$={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\left[\left(\delta _{i}-{\bar {\delta }}\right)\left(x_{i}-{\bar {x}}\right)\right]$
	$={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\left[\left(y_{i}-{\bar {y}}\right)\left(x_{i}-{\bar {x}}\right)-b\left(x_{i}-{\bar {x}}\right)^{2}\right]$
	$={\text{Cov}}(x,y)-b{\text{Vov}}(x)$
	$\equiv 0$

(si è sfruttata, alla fine, la (C.6)). Questa condizione non è sufficiente, come si sa, ad assicurare l’indipendenza statistica tra i residui $\delta$ e le coordinate $x$ dei punti interpolati; in effetti queste due variabili casuali non sono tra loro indipendenti, essendo ad esempio impossibile che i residui si presentino in una sequenza crescente all’aumentare delle ascisse $x_{i}$.

Però, quando il numero $N$ dei dati è grande, delle $N!$ sequenze possibili di residui assai poche sono quelle escluse a priori dalla natura della loro origine; mentre la probabilità delle altre sequenze (che decresce in maniera inversamente proporzionale a $N!$) è comunque assai piccola: e si può in prima approssimazione assumere che tutte le sequenze di residui siano possibili ed equiprobabili.

Tornando alla figura C1, i residui sono (muovendosi nel senso delle $x$ crescenti) dapprima positivi, poi negativi, poi ancora positivi; sono composti insomma da una sequenza di tre sottoinsiemi di valori aventi tutti lo stesso segno (o, con parola anglosassone, da una sequenza di tre runs). Se possiamo assumere equiprobabili tutte le possibili sequenze dei residui è intuitivo capire come un numero così basso di runs si debba presentare con piccola probabilità sulla base di fluttuazioni unicamente casuali; per cui l’osservazione di tale evento può essere attribuita invece alla falsità dell’ipotesi che ha prodotto i residui, ovvero alla non linearità della dipendenza funzionale $y=y(x)$.

Nell’ipotesi di avere un insieme composto da $N_{+}$ numeri positivi (corrispondenti, nel caso dei residui, a punti al di sopra della retta interpolante) e da $N_{-}=N-N_{+}$ numeri negativi (residui di punti al di sotto della retta interpolante), è possibile calcolare quante delle loro permutazioni producono un prefissato numero di runs $N_{r}$; se è accettabile l’approssimazione cui abbiamo appena accennato, il rapporto tra $N_{r}$ ed il numero totale di permutazioni possibili ci darà la probabilità di ottenere un certo $N_{r}$.

I calcoli dettagliati si possono trovare nel citato paragrafo 8.3.2 del Bar-