Sopra alcune questioni nella teoria delle curve piane (Cremona)/2

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Art. 2. Dimostrazione del teorema fondamentale per le polari miste [40]

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Art. 2. Dimostrazione del teorema fondamentale per le polari miste [40]
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[p. 137 modifica]5. Lemma 1.° La polare1 di un punto qualunque passa pei punti doppi della curva fondamentale (Introd. 16).

Lemma 2.° Le polari di un punto fisso rispetto alle curve di un fascio formano un altro fascio (Introd. 84, a).

Lemma 3.° Se la curva fondamentale è composta di una retta e di un’altra curva, e se il polo è preso in questa retta, la polare è composta della retta medesima e della polare relativa alla seconda curva (Questa proprietà consegue dalla definizione delle polari e dal teorema Introd. 17).

Lemma 4.° Se per gli punti in cui una curva d’ordine è incontrata da rette passanti per un punto , si descrive un’altra curva dello stesso ordine, il punto ha la stessa polare rispetto alle due curve (Infatti le polari di rispetto alle due curve hanno punti comuni sopra ciascuna delle rette date).

6. Sia ora data una curva (fondamentale) d’ordine , e siano due punti qualisivogliano dati. Indichiamo con la polare di rispetto alla polare di ; ed analogamente con la polare di rispetto alla polare di ; dimostreremo che e coincidono in una sola e medesima curva.

Si conduca per una retta arbitraria , e sia il fascio delle rette condotte da alle intersezioni di ed . Le altre intersezioni dei luoghi , giaceranno tutte (Introd. 43, b) in una curva d’ordine . Siccome appartiene al fascio , così la polare di rispetto a apparterrà (lemma 2°) al fascio , ove è il fascio di rette concorrenti in che costituiscono la polare di rispetto a (Introd. 20), e è la polare di rispetto a : la qual curva accoppiata con forma la polare di rispetto al luogo (lemma 3°). Dal lemma 4° poi segue che la curva non è altra cosa che la polare di rispetto ad , epperò essa passa per le intersezioni di ed (lemma 1°).

Da ciò che passa per le intersezioni dei luoghi ed , segue ancora (lemma 4°) che la polare di rispetto a coincide colla polare di rispetto ad , epperò passa per le intersezioni di ed (lemma 1°). La curva passerà adunque per gli centri armonici del sistema formato dalle anzidette [p. 138 modifica] intersezioni, rispetto al polo ; cioè passerà per gli punti in cui sega .

Da ciò si raccoglie che le polari miste , hanno punti comuni sopra una trasversale condotta arbitrariamente pel punto . Dunque esse non sono altro che una sola e medesima curva d'ordine .

7. Abbiansi ora nel piano punti qualisivogliano , e si indichi con la polare di rispetto a , con , la polare di rispetto a ecc. Dal teorema ora dimostrato segue manifestamente che la polare rimane la stèssa curva, in qualunque ordine siano presi i poli . Se poi si suppone che di questi punti coincidano in un solo , e che gli altri si riuniscano insieme in , avremo il teorema generale:

Per una qualsivoglia curva fondamentale, la polare ma di un punto rispetto alla polare ma di un altro punto coincide colla polare ma di rispetto alla polare ma di . [41]

Note

  1. S’intenda sempre prima polare.