Introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane (Cremona)/Teoria de' centri armonici

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Art. 3. Teoria de' centri armonici

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Projettività delle punteggiate e delle stelle Teoria dell'involuzione

[p. 328 modifica] 11. Sopra una retta siano dati punti ed un polo . Sia poi un punto della retta medesima, tale che la somma dei prodotti degli rapporti , presi ad ad , sia nulla. Esprimendo questo somma il simbolo , il punto sarà determinato per mezzo della equazione:

1)
,


che per l'identità , può anche scriversi:

2)
,


[p. 329 modifica]ossia sviluppando:

3)


ove il simbolo esprime il numero delle combinazioni di cose prese ad ad .

L’equazione 3), del grado rispetto ad , dà posizioni pel punto : tali punti si chiameranno1 centri armonici, del grado , del dato sistema di punti rispetto al polo .

Quando , si ha un solo punto , che è stato considerato da Poncelet sotto il nome di centro delle medie armoniche2.

Se inoltre è , il punto diviene il coniugato armonico di rispetto ai due (4).3

12. Se l’equazione 1) si moltiplica per e si divide per , essa si muta evidentemente in quest’altra:

4)
,


donde si raccoglie:

Se è un centro armonico, del grado , del dato sistema di punti rispetto al polo , viceversa è un centro armonico, del grado , del medesimo sistema rispetto al polo .

13. Essendo gli punti che soddisfanno all’equazione 3), sia il loro centro armonico di primo grado rispetto al polo avremo l’equazione:


analoga alla 2), ossia sviluppando:

.


Ma, in virtù della 3), è:

,

[p. 330 modifica]dunque:

,


ossia:

.


Ciò significa che è il centro armonico, di primo grado, del dato sistema di punti an rispetto al polo .

Indicando ora con uno de' due centri armonici, di secondo grado, del sistema rispetto al polo , avremo l'equazione analoga alla 2):

,


ossia, sviluppando:

,


Ma, in virtù della 3), si ha:

,


onde sostituendo ne verrà:

,


vale a dire:

;


dunque è un centro armonico, di secondo grado, del sistema rispetto al polo .

Lo stesso risultato si ottiene continuando a rappresentare con un centro armonico, del terzo, quarto, ... esimo grado, del sistema rispetto al polo . Dunque:

Se sonò i centri armonici, di grado , del dato sistema rispetto al polo , i centri armonici, di grado (), del sistema rispetto al polo sono anche i centri armonici, del grado , del sistema dato rispetto allo stesso polo . [p. 331 modifica]14. Se è un centro armonico, del grado , del dato sistema rispetto al polo , si avrà l'equazione 4) nella quale sia posto . Vi s'introduca un arbitrario punto (della retta data) mediante le note identità , , onde si avrà:

,


ossia, sviluppando:

5)



.

Siano i centri armonici, di grado , del dato sistema rispetto al polo , cioè i punti che soddisfanno alla 5); si avrà:

.


Ora sia uno de' centri armonici, del grado , del sistema rispetto ad un punto (della retta data); avremo analogamente alla 5):



.


In questa equazione posto per il valore antecedentemente scritto, si ottiene:

,


ove




il qual risultato, essendo simmetrico rispetto ad , significa che:

Se sono i centri armonici, di grado , del sistema rispetto al polo , e se sono i centri armonici, di grado , dello stesso sistema rispetto ad un altro polo ; i centri armonici, del grado [p. 332 modifica], del sistema rispetto al polo coincidono coi centri armonici, del grado , del sistema rispetto al polo .

Questo teorema, ripetuto successivamente, può essere esteso ai centri armonici di grado qualunque, e allora s'enuncia così:

Se sono i centri armonici, di grado , del sistema dato rispetto al polo , e se sono i centri armonici, di grado , dello stesso sistema dato rispetto ad un altro polo , i centri armonici, di grado , del sistema rispetto al polo coincidono coi centri armonici, di grado , del sistema , rispetto al polo .

15. Se e sono rispettivamente i centri armonici, di primo grado, dei sistemi ed , rispetto al polo , si avrà:

.


Se è il centro armonico, di primo grado, del sistema di punti rispetto al polo , il punto è anche il centro armonico, di primo grado, del sistema rispetto allo stesso polo.

16. Fin qui abbiamo tacitamente supposto che i dati punti fossero distinti, ciascuno dai restanti. Suppongasi ora che punti coincidano in un solo, che denoteremo con . Allora, se nella equazione 5) si assume in luogo dell'origine arbitraria , risulta evidentemente:

,


onde l'equazione 5) riesce divisibile per , cioè centri armonici del grado cadono in , e ciò qualunque sia il polo . Ne segue inoltre, avuto riguardo al teorema (13), che in cadono centri armonici di grado ; centri armonici di grado ed un centro armonico di grado .

17. L'equazione 3) moltiplicata per e per diviene:

6)



.

[p. 333 modifica]Suppongo ora che il polo coincida, insieme con , in un unico punto. Allora si ha:

;


quindi l'equazione che precede riesce divisibile per , ossia il polo tien luogo di centri armonici di grado qualunque. Gli altri centri armonici, di grado , sono dati dall' equazione:

,


ove le somme contengono solamente i punti . Dunque, gli altri punti , che insieme ad preso volte costituiscono i centri armonici, di grado , del sistema rispetto al polo , sono i centri armonici, di grado , del sistema rispetto allo stesso polo 4.

Si noti poi che, per , l'ultima equazione è soddisfatta identicamente, qualunque sia . Cioè, se punti ed il polo coincidono insieme, i centri armonici del grado riescono indeterminati, onde potrà assumersi come tale un punto qualunque della retta 5.

Fig. 5.

18. Abbiasi, come sopra (11), in una retta (fig. 5.a) un sistema di punti ed un polo ; sia inoltre un centro armonico di grado , onde fra i segmenti , [p. 334 modifica] sussisterà la relazione 1). Assunto un punto arbitrario fuori di e da esso tirate le rette ai punti , seghinsi queste con una trasversale qualunque nei punti . Allora si avrà:

,


ed analogamente:

,


donde si ricava:

.


Il secondo membro di questa equazione non varia, mutando i punti , quindi avremo :

.


Siccome poi la relazione 1) è omogenea rispetto alle quantità , così se ne dedurrà:

,


cioè :

Se è un centro armonico, di grado , di un dato sistema di punti situati in linea retta, rispetto al polo posto nella stessa retta, e se tutti questi punti si projettano, mediante raggi concorrenti in un punto arbitrario, sopra una trasversale qualunque, il punto (projezione di ) sarà un centro armonico, di grado , del sistema di punti (projezioni di ) rispetto al polo (projezione di ).

Questo teorema ci abilita a trasportare ad un sistema di rette concorrenti in un punto le definizioni ed i teoremi superiormente stabiliti per un sistema di punti allineati sopra una retta.

19. Sia dato un sistema di rette ed un'altra retta , tutte situate in uno stesso piano e passanti per un punto fisso . Condotta una trasversale arbitraria che, senza passare per , seghi le rette date in ed , si imaginino gli centri armonici , di grado , del sistema di punti [p. 335 modifica]rispetto al polo . Le rette condotte da ai punti si chiameranno assi armonici, di grado , del dato sistema di rette rispetto alla retta .

Considerando esclusivamente rette passanti per , avranno luogo i seguenti teoremi, analoghi a quelli già dimostrati per un sistema di punti in linea retta. [43]

Se è un asse armonico, di grado , del dato sistema di rette rispetto alla retta , viceversa è un asse armonico di grado , del medesimo sistema, rispetto alla retta .

Se sono gli assi armonici, di grado , del dato sistema , rispetto alla retta , gli assi armonici, di grado , del sistema , rispetto ad , sono anche gli assi armonici, del grado , del sistema dato, rispetto alla stessa retta .

Se sono gli assi armonici, di grado , del sistema dato rispetto alla retta e se sono gli assi armonici, di grado , dello stesso sistema dato, rispetto ad un'altra retta ; gli assi armonici, di grado , del sistema , rispetto alla retta , coincidono cogli assi armonici, di grado , del sistema , rispetto alla retta .

Qualunque sia la retta , se fra le rette date coincidono in una sola, questa tien luogo di assi armonici di grado , di assi armonici di grado di un asse armonico di grado .

Se rette coincidono fra loro e colla retta , questa tien luogo di assi armonici di qualunque grado, e gli altri assi armonici, di grado , sono gli assi armonici, di grado , del sistema rispetto ad .

20. Se al § 18 la trasversale vien condotta pel punto , ossia se la retta si fa girare intorno ad , il teorema ivi dimostrato può essere enunciato così:

Siano date rette concorrenti in un punto . Se per un polo fisso si conduce una trasversale arbitraria che seghi quelle rette ne' punti , i centri armonici di grado , del sistema , rispetto al polo , generano, ruotando intorno ad , rette concorrenti in .

E dagli ultimi due teoremi (19) segue:

Se rette fra le date coincidono in una sola , questa tien luogo di delle rette . Se inoltre passa pel polo , essa tien luogo di delle rette . Le rimanenti , fra queste rette, sono il luogo de' centri armonici di grado (rispetto al polo ) de' punti, in cui sega le rette .

Note

  1. Jonquières, Mémoire sur la théorie des pôles et polaires etc. (Journal de M. Liouville, août 1857, p. 266).
  2. Mémoire sur les centres des moyennes harmoniques (Giornale di Crelle, t. 3, Berlino 1828, p. 229).
  3. <Se , ossia se il dato sistema riducesi ad un punto unico, con questo coincide il centro armonico di 1.° grado di qualsivoglia polo.>
  4. <Viceversa, se centri armonici (di grado qualunque) coincidono nel polo , in questo coincideranno s punti del sistema fondamentale.>
  5. <Viceversa, se i centri armonici di grado rispetto ad un polo sono indeterminati, i centri armonici di grado sono tutti riuniti in , e questo punto in tal caso assorbe anche punti del sistema fondamentale.>