Opere matematiche di Luigi Cremona/Introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane/Teoria de' centri armonici

by Luigi Cremona

Art. 3. Teoria de’ centri armonici

../Projettività delle punteggiate e delle stelle ../Teoria dell'involuzione IncludiIntestazione 6 maggio 2025 100% matematica

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Luigi Cremona - Opere matematiche (1914)

Art. 3. Teoria de’ centri armonici

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Art. III.

Teoria de’ centri armonici.

11. Sopra una retta siano dati $n$ punti $a_{1},\,a_{2},\dots ,a_{n}$ ed un polo $o$. Sia poi $m$ un punto della retta medesima, tale che la somma dei prodotti degli $n$ rapporti ${\frac {ma}{oa}}$, presi ad $r$ ad $r$, sia nulla. Esprimendo questa somma col simbolo $\sum \left({\frac {ma}{oa}}\right)_{r}$, il punto $m$ sarà determinato per mezzo della equazione:

1)	$\sum \left({\frac {ma}{oa}}\right)_{r}=0$,

che per l’identità $ma=oa-om$, può anche scriversi:

2)	$\sum \left({\frac {1}{om}}-{\frac {1}{oa}}\right)_{r}=0$,

ossia sviluppando:

3)

${\begin{bmatrix}n\\r\\\end{bmatrix}}\left({\frac {1}{om}}\right)^{r}-{\begin{bmatrix}n-1\\r-1\\\end{bmatrix}}\left({\frac {1}{om}}\right)^{r-1}\sum \left({\frac {1}{oa}}\right)_{1}+$ $+{\begin{bmatrix}n-2\\r-2\\\end{bmatrix}}\left({\frac {1}{om}}\right)^{r-2}\sum \left({\frac {1}{oa}}\right)_{2}-\dots =0;$

ove il simbolo ${\begin{bmatrix}n\\r\\\end{bmatrix}}$ esprime il numero delle combinazioni di $n$ cose prese ad $r$ ad $r$.

L’equazione 3), del grado $r$ rispetto ad $om$, dà $r$ posizioni pel punto $m$: tali $r$ punti $m_{1}\,m_{2}\dots m_{r}$ si chiameranno^[1] centri armonici, del grado $r$, del dato sistema di punti $a_{1}\,a_{2}\dots a_{n}$ rispetto al polo $o$.

Quando $r=1$, si ha un solo punto $m$, che è stato considerato da Poncelet sotto il nome di centro delle medie armoniche^[2].

Se inoltre è $n=2$, il punto $m$ diviene il coniugato armonico di $o$ rispetto ai due $a_{1}\,a_{2}$ (4).^[3]

12. Se l’equazione 1) si moltiplica per $oa_{1}.a_{2}\dots oa_{n}$ e si divide per $ma_{1}.ma_{2}\dots ma_{n}$, essa si muta evidentemente in quest’altra:

4)	$\sum \left({\frac {oa}{ma}}\right)_{n-r}=0$,

donde si raccoglie:

Se $m$ è un centro armonico, del grado $r$, del dato sistema di punti rispetto al polo $o$, viceversa $o$ è un centro armonico, del grado $n-r$, del medesimo sistema rispetto al polo $m$.

13. Essendo $m_{1}\,m_{2}\dots m_{r}$ gli $r$ punti che sodisfanno all’equazione 3), sia $\mu$ il loro centro armonico di primo grado rispetto al polo $o$; avremo l’equazione:

$\sum \left({\frac {1}{o\mu }}-{\frac {1}{om}}\right)_{1}=0$

analoga alla 2), ossia sviluppando:

${\frac {r}{o\mu }}=\sum \left({\frac {1}{om}}\right)_{1}$.

Ma, in virtù della 3), è:

$\sum \left({\frac {1}{om}}\right)_{1}={\frac {r}{n}}\sum \left({\frac {1}{oa}}\right)_{1}$,

dunque:

${\frac {n}{o\mu }}=\sum \left({\frac {1}{oa}}\right)_{1}$,

ossia:

$\sum \left({\frac {1}{o\mu }}-{\frac {1}{oa}}\right)_{1}=0$.

Ciò significa che $\mu$ è il centro armonico, di primo grado, del dato sistema di punti $a_{1}\,a_{2}\dots a_{n}$ rispetto al polo $o$.

Indicando ora con $\mu$ uno de’ due centri armonici, di secondo grado, del sistema $m_{1}\,m_{2}\dots m_{r}$ rispetto al polo $o$, avremo l’equazione analoga alla 2):

$\sum \left({\frac {1}{o\mu }}-{\frac {1}{om}}\right)_{2}=0$,

ossia, sviluppando:

${\frac {r(r-1)}{2}}\left({\frac {1}{o\mu }}\right)^{2}-(r-1){\frac {1}{o\mu }}\sum \left({\frac {1}{om}}\right)_{1}+\sum \left({\frac {1}{om}}\right)_{2}=0$,

Ma, in virtù della 3), si ha:

$\sum \left({\frac {1}{om}}\right)_{1}={\frac {r}{n}}\sum \left({\frac {1}{oa}}\right)_{1}$,
$\sum \left({\frac {1}{om}}\right)_{2}={\frac {r(r-1)}{n(n-1)}}\sum \left({\frac {1}{oa}}\right)_{2}$,

onde sostituendo ne verrà:

${\frac {n(n-1)}{2}}\left({\frac {1}{o\mu }}\right)^{2}-(n-1){\frac {1}{o\mu }}\sum \left({\frac {1}{oa}}\right)_{1}+\sum \left({\frac {1}{oa}}\right)_{2}=0$,

vale a dire:

$\sum \left({\frac {1}{o\mu }}-{\frac {1}{oa}}\right)_{2}=0$;

dunque $\mu$ è un centro armonico, di secondo grado, del sistema $a_{1}\,a_{2}\dots a_{n}$ rispetto al polo $o$.

Lo stesso risultato si ottiene continuando a rappresentare con $\mu$ un centro armonico, del terzo, quarto, ... $(r-1)^{esimo}$ grado, del sistema $m_{1}\,m_{2}\dots m_{r}$ rispetto al polo $o$. Dunque:

Se $m_{1}\,m_{2}\dots m_{r}$ sono i centri armonici, di grado $r$, del dato sistema $a_{1}\,a_{2}\dots a_{n}$ rispetto al polo $o$, i centri armonici, di grado $s$ ($s<r$), del sistema $m_{1}\,m_{2}\dots m_{r}$ rispetto al polo $o$ sono anche i centri armonici, del grado $s$, del sistema dato rispetto allo stesso polo $o$.

14. Se $m$ è un centro armonico, del grado $n-1$, del dato sistema $a_{1}\,a_{2}\dots a_{n}$ rispetto al polo $o$, si avrà l’equazione 4) nella quale sia posto $r=n-1$. Vi s’introduca un arbitrario punto $i$ (della retta data) mediante le note identità $oa=oi+ia$, $ma=ia-im$, onde si avrà:

$\sum \left({\frac {oi+ia}{ia-im}}\right)_{1}=0$,

ossia, sviluppando:

5)	${\overline {im}}^{n-1}\left\{n.oi+\sum (ia)_{1}\right\}$ $-{\overline {im}}^{n-2}\left\{(n-1)oi\sum (ia)_{1}+2\sum (ia)_{2}\right\}$ $+{\overline {im}}^{n-3}\left\{(n-2)oi\sum (ia)_{2}+3\sum (ia)_{3}\right\}\dots$ $+(-1)^{n-1}\left\{oi\sum (ia)_{n-1}+n\sum (ia)_{n}\right\}=0$.

Siano $m_{1}\,m_{2}\dots m_{n-1}$ i centri armonici, di grado $n-1$, del dato sistema rispetto al polo $o$, cioè i punti che sodisfanno alla 5); si avrà:

$\sum (im)_{r}={\frac {(n-r)oi\sum (ia)_{r}+(r+1)\sum (ia)_{r+1}}{n.oi+\sum (ia)_{1}}}$.

Ora sia $\mu$ uno de’ centri armonici, del grado $n-2$, del sistema $m_{1}\,m_{2}\dots m_{n-1}$ rispetto ad un punto $o'$ (della retta data); avremo analogamente alla 5):

${\overline {i\mu }}^{n-2}\left\{(n-1)o'i+\sum (im)_{1}\right\}$ $-{\overline {i\mu }}^{n-3}\left\{(n-2)o'i\sum (im)_{1}+2\sum (im)_{2}\right\}\dots$ $+(-1)^{n-2}\left\{o'i\sum (im)_{n-2}+(n-1)\sum (im)_{n-1}\right\}=0$.

In questa equazione posto per $\sum (im)_{r}$ il valore antecedentemente scritto, si ottiene:

$oi.o'i\left\{n(n-1){\overline {i\mu }}^{n-2}-(n-1)(n-2){\overline {i\mu }}^{n-3}\sum (ia)_{1}\right.$ $\left.+(n-2)(n-3){\overline {i\mu }}^{n-4}\sum (ia)_{2}\dots \right\}$ $+(oi+o'i)\left\{(n-1){\overline {i\mu }}^{n-2}\sum (ia)_{1}-2(n-2){\overline {i\mu }}^{n-3}\sum (ia)_{2}\right.$ $\left.+3(n-3){\overline {i\mu }}^{n-4}\sum (ia)_{3}\dots \right\}$ $+\left\{1.2{\overline {i\mu }}^{n-2}\sum (ia)_{2}-2.3{\overline {i\mu }}^{n-3}\sum (ia)_{3}\right.$ $\left.+3.4{\overline {i\mu }}^{n-4}\sum (ia)_{4}\dots \right\}=0$;

il qual risultato, essendo simmetrico rispetto ad $o,\,o'$, significa che:

Se $m_{1}\,m_{2}\dots m_{n-1}$ sono i centri armonici, di grado $n-1$, del sistema $a_{1}\,a_{2}\dots a_{n}$ rispetto al polo $o$, e se $m_{1}'\,m_{2}'\dots m_{n-1}'$ sono i centri armonici, di grado $n-1$, dello stesso sistema $a_{1}\,a_{2}\dots a_{n}$ rispetto ad un altro polo $o'$; i centri armonici, del grado $n-2$, del sistema $m_{1}\,m_{2}\dots m_{n-1}$ rispetto al polo $o'$ coincidono coi centri armonici, del grado $n-2$, del sistema $m_{1}'\,m_{2}'\dots m_{n-1}'$ rispetto al polo $o$.

Questo teorema, ripetuto successivamente, può essere esteso ai centri armonici di grado qualunque, e allora s’enuncia così:

Se $m_{1}\,m_{2}\dots m_{r}$ sono i centri armonici, di grado $r$, del sistema dato $a_{1}\,a_{2}\dots a_{n}$ rispetto al polo $o$, e se $m_{1}'\,m_{2}'\dots m_{r'}'$ sono i centri armonici, di grado $r'$, dello stesso sistema dato rispetto ad un altro polo $o'$, i centri armonici, di grado $r+r'-n$, del sistema $m_{1}\,m_{2}\dots m_{r}$ rispetto al polo $o'$ coincidono coi centri armonici, di grado $r+r'-n$, del sistema $m_{1}'\,m_{2}'\dots m_{r'}'$, rispetto al polo $o$.

15. Se $m$ e $\mu$ sono rispettivamente i centri armonici, di primo grado, dei sistemi $a_{1}\,a_{2}\dots a_{n}$ ed $a_{2}\,a_{3}\dots a_{n}$, rispetto al polo $o$, si avrà:

${\frac {n}{om}}={\frac {1}{oa_{1}}}+{\frac {1}{oa_{2}}}+\dots +{\frac {1}{oa_{n}}},$

${\frac {n-1}{o\mu }}={\frac {1}{oa_{2}}}+{\frac {1}{oa_{3}}}+\dots +{\frac {1}{oa_{n}}}$.

Si supponga $\mu$ coincidente con $a_{1}$: in tal caso le due equazioni precedenti, paragonate fra loro, danno $om=o\mu$. Dunque:

Se $a_{1}$ è il centro armonico, di primo grado, del sistema di punti $a_{2}\,a_{3}\dots a_{n}$ rispetto al polo $o$, il punto $a_{1}$ è anche il centro armonico, di primo grado, del sistema $a_{1}\,a_{2}\dots a_{n}$ rispetto allo stesso polo.

16. Fin qui abbiamo tacitamente supposto che i dati punti $a_{1}\,a_{2}\dots a_{n}$ fossero distinti, ciascuno dai restanti. Suppongasi ora che $r$ punti $a_{n}\,a_{n-1}\dots a_{n-r+1}$ coincidano in un solo, che denoteremo con $a_{0}$. Allora, se nella equazione 5) si assume $a_{0}$ in luogo dell’origine arbitraria $i$, risulta evidentemente:

$\sum (ia)_{n}=0,\quad \sum (ia)_{n-1}=0,\dots \sum (ia)_{n-r+1}=0$,

onde l’equazione 5) riesce divisibile per ${\overline {a_{0}m}}^{r-1}$, cioè $r-1$ centri armonici del grado $n-1$ cadono in $a_{0}$, e ciò qualunque sia il polo $o$. Ne segue inoltre, avuto riguardo al teorema (13), che in $a_{0}$ cadono $r-2$ centri armonici di grado $n-2$; $r-3$ centri armonici di grado $n-3,\dots$ ed un centro armonico di grado $n-r+1$.

17. L’equazione 3) moltiplicata per ${\overline {om}}^{r}$ e per $(-1)^{r}oa_{1}.oa_{2}\dots oa_{n}$ diviene:

6)	${\overline {om}}^{r}\sum (oa)_{n-r}-(n-r+1){\overline {om}}^{r-1}\sum (oa)_{n-r+1}$ $+{\frac {(n-r+2)(n-r+1)}{1.2}}{\overline {om}}^{r-2}\sum (oa)_{n-r+2}\dots$ $\dots +(-1)^{r}{\frac {n(n-1)\dots (n-r+1)}{1.2\dots r}}\sum (oa)_{n}=0$.

Suppongo ora che il polo $o$ coincida, insieme con $a_{n}\,a_{n-1}\dots a_{n-s+1}$, in un unico punto. Allora si ha:

$\sum (oa)_{n}=0,\quad \sum (oa)_{n-1}=0,\dots \sum (oa)_{n-s+1}=0$;

quindi l’equazione che precede riesce divisibile per ${\overline {om}}^{s}$, ossia il polo $o$ tien luogo di $s$ centri armonici di grado qualunque. Gli altri $r-s$ centri armonici, di grado $r$, sono dati dall’equazione:

${\overline {om}}^{r-s}\sum (oa)_{n-r}-(n-r+1){\overline {om}}^{r-s-1}\sum (oa)_{n-r+1}$ $+{\frac {(n-r+2)(n-r+1)}{1.2}}{\overline {om}}^{r-s-2}\sum (oa)_{n-r+2}\dots =0$,

ove le somme $\sum (oa)$ contengono solamente i punti $a_{1}\,a_{2}\dots a_{n-s}$. Dunque, gli altri $r-s$ punti $m$, che insieme ad $o$ preso $s$ volte costituiscono i centri armonici, di grado $r$, del sistema $a_{1}\,a_{2}\dots a_{n}$ rispetto al polo $o$, sono i centri armonici, di grado $r-s$, del sistema $a_{1}\,a_{2}\dots a_{n-s}$ rispetto allo stesso polo $o$^[4].

Si noti poi che, per $s=r+1$, l’ultima equazione è sodisfatta identicamente, qualunque sia $m$. Cioè, se $r+1$ punti $a$ ed il polo $o$ coincidono insieme, i centri armonici del grado $r$ riescono indeterminati, onde potrà assumersi come tale un punto qualunque della retta $a_{1}\,a_{2}\dots$^[5].

18. Abbiasi, come sopra (11), in una retta $\mathrm {R}$ (fig. 5.^a) un sistema di $n$ punti $a_{1}\,a_{2}\dots a_{n}$Fig.ª 5.ª ed un polo $o$; sia inoltre $m$ un centro armonico di grado $r$, onde fra i segmenti $ma$, $oa$ sussisterà la relazione 1). Assunto un punto arbitrario $c$ fuori di $\mathrm {R}$ e da esso tirate le rette ai punti $o,\,a,\,m$, seghinsi queste con una trasversale qualunque $\mathrm {R} '$ nei punti $o',\,a',\,m'$. Allora si avrà:

${\frac {ma}{ca}}:{\frac {m'a'}{ca'}}={\frac {\operatorname {sen} {cm'a'}}{\operatorname {sen} {cma}}}$,

ed analogamente:

${\frac {oa}{ca}}:{\frac {o'a'}{ca'}}={\frac {\operatorname {sen} {co'a'}}{\operatorname {sen} {coa}}}$,

donde si ricava:

${\frac {ma}{oa}}:{\frac {m'a'}{o'a'}}={\frac {\operatorname {sen} {cm'a'}}{\operatorname {sen} {co'a'}}}:{\frac {\operatorname {sen} {cma}}{\operatorname {sen} {coa}}}$.

Il secondo membro di questa equazione non varia, mutando i punti $a,\,a'$, quindi avremo:

${\frac {ma_{1}}{oa_{1}}}:{\frac {ma_{2}}{oa_{2}}}:\dots :{\frac {ma_{n}}{oa_{n}}}={\frac {m'a_{1}'}{o'a_{1}'}}:{\frac {m'a_{2}'}{o'a_{2}'}}:\dots :{\frac {m'a_{n}'}{o'a_{n}'}}$.

Siccome poi la relazione 1) è omogenea rispetto alle quantità ${\frac {ma}{oa}}$, così se ne dedurrà:

$\sum \left({\frac {m'a'}{o'a'}}\right)_{r}=0$,

cioè:

Se $m$ è un centro armonico, di grado $r$, di un dato sistema di punti $a_{1}\,a_{2}\dots a_{n}$ situati in linea retta, rispetto al polo $o$ posto nella stessa retta, e se tutti questi punti si projettano, mediante raggi concorrenti in un punto arbitrario, sopra una trasversale qualunque, il punto $m'$ (projezione di $m$) sarà un centro armonico, di grado $r$, del sistema di punti $a_{1}'\,a_{2}'\dots a_{n}'$ (projezioni di $a_{1}\,a_{2}\dots a_{n}$) rispetto al polo $o'$ (projezione di $o$).

Questo teorema ci abilita a trasportare ad un sistema di rette concorrenti in un punto le definizioni ed i teoremi superiormente stabiliti per un sistema di punti allineati sopra una retta.

19. Sia dato un sistema di $n$ rette $\mathrm {A} _{1}\,\mathrm {A} _{2}\dots \mathrm {A} _{n}$ ed un’altra retta $\mathrm {O}$, tutte situate in uno stesso piano e passanti per un punto fisso $c$. Condotta una trasversale arbitraria $\mathrm {R}$ che, senza passare per $c$, seghi le rette date in $a_{1}\,a_{2}\dots a_{n}$ ed $o$, si imaginino gli $r$ centri armonici $m_{1}\,m_{2}\dots m_{r}$, di grado $r$, del sistema di punti $a_{1}\,a_{2}\dots a_{n}$ rispetto al polo $o$. Le rette ${\rm {M_{1}\,M_{2}\dots M_{r}}}$ condotte da $c$ ai punti $m_{1}\,m_{2}\dots m_{r}$ si chiameranno assi armonici, di grado $r$, del dato sistema di rette ${\rm {A_{1}\,A_{2}\dots A_{n}}}$ rispetto alla retta ${\rm {O}}$.

Considerando esclusivamente rette passanti per $c$, avranno luogo i seguenti teoremi, analoghi a quelli già dimostrati per un sistema di punti in linea retta.^[6]

Se ${\rm {M}}$ è un asse armonico, di grado $r$, del dato sistema di rette ${\rm {A_{1}\,A_{2}\dots A_{n}}}$ rispetto alla retta ${\rm {O}}$, viceversa ${\rm {O}}$ è un asse armonico di grado $n-r$, del medesimo sistema, rispetto alla retta ${\rm {M}}$.

Se ${\rm {M_{1}\,M_{2}\dots M_{r}}}$ sono gli assi armonici, di grado $r$, del dato sistema ${\rm {A_{1}\,A_{2}\dots A_{n}}}$, rispetto alla retta ${\rm {O}}$, gli assi armonici, di grado $s\,(s<r)$, del sistema ${\rm {M_{1}\,M_{2}\dots M_{r}}}$, rispetto ad ${\rm {O}}$, sono anche gli assi armonici, del grado $s$, del sistema dato, rispetto alla stessa retta ${\rm {O}}$.

Se ${\rm {M_{1}\,M_{2}\dots M_{r}}}$ sono gli assi armonici, di grado $r$, del sistema dato ${\rm {A_{1}\,A_{2}\dots A_{n}}}$ rispetto alla retta ${\rm {O}}$ e se ${\rm {M_{1}'\,M_{2}'\dots M_{r'}'}}$ sono gli assi armonici, di grado $r'$, dello stesso sistema dato, rispetto ad un’altra retta ${\rm {O'}}$; gli assi armonici, di grado $r+r'-n$, del sistema ${\rm {M_{1}\,M_{2}\dots M_{r}}}$, rispetto alla retta ${\rm {O'}}$, coincidono cogli assi armonici, di grado $r+r'-n$, del sistema ${\rm {M_{1}'\,M_{2}'\dots M_{r'}'}}$, rispetto alla retta ${\rm {O}}$.

Qualunque sia la retta ${\rm {O}}$, se $r$ fra le rette date ${\rm {A_{1}\,A_{2}\dots A_{n}}}$ coincidono in una sola, questa tien luogo di $r-1$ assi armonici di grado $n-1$, di $r-2$ assi armonici di grado $n-2,\dots$ di un asse armonico di grado $n-r+1$.

Se $s$ rette ${\rm {A_{n}\,A_{n-1}\dots A_{n-s+1}}}$ coincidono fra loro e colla retta ${\rm {O}}$, questa tien luogo di $s$ assi armonici di qualunque grado, e gli altri $r-s$ assi armonici, di grado $r$, sono gli assi armonici, di grado $r-s$, del sistema ${\rm {A_{1}\,A_{2}\dots A_{n-s}}}$ rispetto ad ${\rm {O}}$.

20. Se al n.º 18 la trasversale ${\rm {R'}}$ vien condotta pel punto $o$, ossia se la retta ${\rm {R}}$ si fa girare intorno ad $o$, il teorema ivi dimostrato può essere enunciato così:

Siano date $n$ rette ${\rm {A_{1}\,A_{2}\dots A_{n}}}$ concorrenti in un punto $c$. Se per un polo fisso $o$ si conduce una trasversale arbitraria ${\rm {R}}$ che seghi quelle $n$ rette ne’ punti $a_{1}\,a_{2}\dots a_{n}$, i centri armonici di grado $r$, del sistema $a_{1}\,a_{2}\dots a_{n}$, rispetto al polo $o$, generano, ruotando ${\rm {R}}$ intorno ad $o$, $r$ rette ${\rm {M_{1}\,M_{2}\dots M_{r}}}$ concorrenti in $c$.

E dagli ultimi due teoremi (19) segue:

Se $s$ rette ${\rm {A_{n}\,A_{n-1}\dots A_{n-s+1}}}$ fra le date coincidono in una sola ${\rm {A_{0}}}$, questa tien luogo di $s-(n-r)$ delle rette ${\rm {M_{1}\,M_{2}\dots M_{r}}}$. Se inoltre ${\rm {A_{0}}}$ passa pel polo $o$, essa tien luogo di $s$ delle rette ${\rm {M_{1}\,M_{2}\dots M_{r}}}$. Le rimanenti $r-s$, fra queste rette, sono il luogo de’ centri armonici di grado $r-s$ (rispetto al polo $o$) de’ punti, in cui ${\rm {R}}$ sega le rette ${\rm {A_{1}\,A_{2}\dots A_{n-s}}}$.

Note

1. Jonquières, Mémoire sur la théorie des pôles et polaires etc. (Journal de M. Liouville, août 1857, p. 266).
2. Mémoire sur les centres des moyennes harmoniques (Giornale di Crelle, t. 3, Berlino 1828, p. 229).
3. {Se $n=1$, ossia se il dato sistema riducesi ad un punto unico, con questo coincide il centro armonico di 1.º grado di qualsivoglia polo.}
4. {Viceversa, se $s$ centri armonici (di grado qualunque) coincidono nel polo $o$, in questo coincideranno $s$ punti del sistema fondamentale.}
5. {Viceversa, se i centri armonici di grado $r$ rispetto ad un polo $o$ sono indeterminati, i centri armonici di grado $r+1$ sono tutti riuniti in $o$, e questo punto in tal caso assorbe anche $r+1$ punti del sistema fondamentale.}
6. In un esemplare dell’edizione tedesca (Einleitung), sul quale l’A. fece segni in margine, probabilmente per servirsene in una ristampa, tutto il seguito di questo n. 19 è segnato come cosa da sopprimere.