Teoria degli errori e fondamenti di statistica/12.6

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12.6 La distribuzione di Fisher

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12.6 La distribuzione di Fisher

Sia una variabile casuale distribuita come il ad gradi di libertà; ed una seconda variabile casuale, indipendente dalla prima, distribuita ancora come il , ma con gradi di libertà.

La variabile casuale (sempre positiva) definita in funzione di esse attraverso la relazione

ha una densità di probabilità che segue la cosiddetta funzione di frequenza di Fisher con ed gradi di libertà. La forma analitica della funzione di Fisher è data dalla

(12.19)

(nella quale è un fattore costante determinato dalla condizione di normalizzazione). [p. 223 modifica]

Il valore medio e la varianza della funzione di frequenza di Fisher sono dati poi rispettivamente da

(se )
e da
(se ).

Si può dimostrare che, se è una variabile casuale distribuita come il ad gradi di libertà,

in senso statistico (ovverosia la probabilità che il rapporto sia differente da 1 tende a zero quando viene reso arbitrariamente grande); per cui, indicando con la funzione di frequenza del ad gradi di libertà,

.

Allo stesso modo

e quindi esiste una stretta relazione tra le distribuzioni di Fisher e del chi quadro.

Inoltre, ricordando che, se è una variabile casuale distribuita secondo la legge normale standardizzata , l’altra variabile casuale è distribuita come il ad un grado di libertà, il rapporto

deve essere distribuito secondo ; ma, se definiamo

sappiamo anche dalla (12.16) che la segue la distribuzione di Student ad gradi di libertà. La conclusione è che il quadrato di una variabile che segua [p. 224 modifica]la distribuzione di Student ad gradi di libertà è a sua volta distribuito con una densità di probabilità data da .

Per terminare, quando i due parametri ed (da cui la funzione di frequenza di Fisher (12.19) dipende) vengono resi arbitrariamente grandi, essa tende ad una distribuzione normale; ma la convergenza è lenta, e l’approssimazione normale alla distribuzione di Fisher si può pensare in pratica usabile quando sia che sono superiori a 50.