Teoria degli errori e fondamenti di statistica/3.3.4

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3.3.4 Il teorema di Bayes

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3.3.4 Il teorema di Bayes

Supponiamo che un dato fenomeno casuale possa dare luogo a eventualità mutuamente esclusive , che esauriscano inoltre la totalità delle possibilità; e sia poi un differente fenomeno casuale che possa condurre o al verificarsi o al non verificarsi di un evento . Osservando la realizzazione di entrambi questi fenomeni, se si verifica, assieme ad esso si dovrà verificare anche una ed una sola delle eventualità ; applicando prima la legge della probabilità totale (3.2) e poi l’equazione (3.3), si ottiene

. (3.5)

Ora, riprendendo la legge fondamentale delle probabilità condizionate (3.3), ne ricaviamo


e, sostituendovi la (3.5), si giunge alla

. (3.6)

L’equazione (3.6) è nota con il nome di Teorema di Bayes, e viene spesso usata nel calcolo delle probabilità; talvolta anche, come adesso vedremo, quando le non siano tanto eventi casuali in senso stretto, quanto piuttosto ipotesi da discutere per capire se esse siano o meno rispondenti alla realtà.

Facendo un esempio concreto, si abbiano due monete: una “buona”, che presenti come risultato la testa e la croce con uguale probabilità (dunque pari a 0.5); ed una “cattiva”, con due teste sulle due facce. Inizialmente si sceglie una delle due monete; quindi avremo due eventualità mutuamente esclusive: (è stata scelta la moneta “buona”) e (è stata scelta la moneta “cattiva”) con probabilità rispettive . Se lʼevento casuale consiste nellʼuscita di una testa, ovviamente e . [p. 26 modifica]

Se ora facciamo un esperimento, lanciando la moneta una volta e ottenendo una testa, quale è la probabilità che nellʼeffettuare la scelta iniziale si sia presa quella “buona”? La risposta è data dal teorema di Bayes, da cui si ottiene:

Ovviamente, se si volesse progettare un esperimento reale, sarebbe meglio associarlo al lanciare la moneta volte (con ): o si ottiene almeno una croce, ed allora è sicuramente vera ; o, invece, si presenta lʼevento consistente nellʼottenere teste in lanci. In questʼultimo caso, e se i lanci sono indipendenti tra loro; utilizzando ancora lʼequazione (3.6), si ricava che la probabilità di aver scelto la moneta “buona”, , è data da — e di conseguenza è la probabilità che si sia scelta la moneta “cattiva”.

Qui il teorema di Bayes viene utilizzato per verificare una ipotesi statistica: ovvero per calcolare la probabilità che lʼuna o lʼaltra di un insieme di condizioni che si escludono a vicenda sia vera, sulla base di osservazioni sperimentali riassunte dal verificarsi di ; ma questo ci risulta possibile solo perché si conoscono a priori le probabilità di tutte le condizioni stesse .

Se, viceversa, queste non sono note, la (3.6) ci dà ancora la probabilità che sia vera lʼuna o lʼaltra delle ipotesi se sappiamo che si è verificata la condizione sperimentale ; ma essa non si può ovviamente calcolare, a meno di fare opportune ipotesi sui valori delle : ad esempio assumendole tutte uguali, il che è chiaramente arbitrario. Per essere più specifici, non potremmo servirci di un esperimento analogo a quelli delineati e del teorema di Bayes per calcolare la probabilità che una particolare moneta da 1 euro ricevuta in resto sia o non sia “buona”: a meno di non conoscere a priori e , le probabilità che una moneta da 1 euro scelta a caso tra tutte quelle circolanti nella nostra zona sia “buona” o “cattiva”.