Teoria degli errori e fondamenti di statistica/6.6
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6.6 I valori estremi di un campione
Sia x una variabile casuale continua, di cui siano note sia la funzione di frequenza che la funzione di distribuzione ; e sia disponibile un campione di dimensione N di valori indipendenti di questa variabile casuale. Supponiamo inoltre, una volta ottenuti tali valori, di averli disposti in ordine crescente: ovvero in modo che risulti . Vogliamo qui, come esercizio, determinare la funzione di frequenza del generico di questi valori ordinati, : funzione che verrà nel seguito identificata dal simbolo ·
Supponiamo che sia compreso nell’intervallo infinitesimo ; la scelta di un certo i divide naturalmente il campione (ordinato) in tre sottoinsiemi, ovvero:
- stesso, che può essere ottenuto (dall’insieme non ordinato dei valori originariamente a disposizione) in N maniere differenti; si sa inoltre che è compreso nell’intervallo — evento, questo, che avviene con probabilità .
- I primi valori: questi possono essere ottenuti, dagli elementi restanti dall’insieme non ordinato dei valori originari, in modi distinti1; ognuno di essi è inoltre minore di x, e questo avviene con probabilità data da .
- I residui valori: questi sono univocamente determinati dalle due scelte precedenti; inoltre ognuno di essi è maggiore di x, e questo avviene con probabilità .
In definitiva, applicando i teoremi della probabilità totale e della probabilità composta, possiamo affermare che risulta
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in particolare, i valori estremi e hanno densità di probabilità date da
e da
.