Teoria degli errori e fondamenti di statistica/6.6

Da Wikisource.
6.6 I valori estremi di un campione

../6.5 ../7 IncludiIntestazione 29 agosto 2022 100% Da definire

6.5 7

[p. 78 modifica]

6.6 I valori estremi di un campione

Sia x una variabile casuale continua, di cui siano note sia la funzione di frequenza che la funzione di distribuzione ; e sia disponibile un campione di dimensione N di valori indipendenti di questa variabile casuale. Supponiamo inoltre, una volta ottenuti tali valori, di averli disposti in ordine crescente: ovvero in modo che risulti . Vogliamo qui, come esercizio, determinare la funzione di frequenza del generico di questi [p. 79 modifica]valori ordinati, : funzione che verrà nel seguito identificata dal simbolo ·

Supponiamo che sia compreso nell’intervallo infinitesimo ; la scelta di un certo i divide naturalmente il campione (ordinato) in tre sottoinsiemi, ovvero:

  1. stesso, che può essere ottenuto (dall’insieme non ordinato dei valori originariamente a disposizione) in N maniere differenti; si sa inoltre che è compreso nell’intervallo — evento, questo, che avviene con probabilità .
  2. I primi valori: questi possono essere ottenuti, dagli elementi restanti dall’insieme non ordinato dei valori originari, in modi distinti1; ognuno di essi è inoltre minore di x, e questo avviene con probabilità data da .
  3. I residui valori: questi sono univocamente determinati dalle due scelte precedenti; inoltre ognuno di essi è maggiore di x, e questo avviene con probabilità .

In definitiva, applicando i teoremi della probabilità totale e della probabilità composta, possiamo affermare che risulta

; (6.18)

in particolare, i valori estremi e hanno densità di probabilità date da

e da

.

Note

  1. è il numero delle combinazioni di classe K di N oggetti; si veda in proposito il paragrafo A.6.