Teoria degli errori e fondamenti di statistica/6.5

by Maurizio Loreti

6.5 Cambiamento di variabile casuale

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Maurizio Loreti - Teoria degli errori e fondamenti di statistica (2006)

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6.5 Cambiamento di variabile casuale

Supponiamo sia nota la funzione $f(x)$ densità di probabilità della variabile casuale x; e sia y una nuova variabile casuale definita in funzione della x attraverso una qualche relazione matematica $y=y(x)$. Ci proponiamo di vedere come, da queste ipotesi, si possa ricavare la densità di probabilità $g(y)$ della nuova variabile y.

Supponiamo dapprima che la corrispondenza tra le due variabili continue sia biunivoca: ossia che la $y=y(x)$ sia una funzione monotona in senso stretto, crescente o decrescente, e di cui quindi esista la funzione inversa che indicheremo con $x=x(y)$; ed inoltre supponiamo che la $y(x)$ sia derivabile. Questo, dovendo risultare $y'(x)\neq 0$ in conseguenza dell’ipotesi fatta, implica che sia derivabile anche la $x(y)$ e che risulti

$x'(y)={\frac {1}{y'[x(y)]}}$.

L’asserita biunivocità della corrispondenza tra le due variabili assicura che, se la prima e compresa in un intervallo infinitesimo di ampiezza dx centrato sul generico valore x, allora e solo allora la seconda è compresa in un intervallo di ampiezza $\mathrm {d} y=|y'(x)|\,\mathrm {d} x$ (il valore assoluto tiene conto del fatto che la $y(x)$ può essere sia crescente che decrescente) centrato attorno al valore $y=y(x)$. Questo a sua volta implica che le probabilità (infinitesime) degli eventi casuali consistenti nell’essere la x o la y appartenenti a tali intervalli debbano essere uguali: ossia che risulti

$f(x)\,\mathrm {d} x=g(y)\,\mathrm {d} y=g(y)|y'(x)|\,\mathrm {d} x$

identicamente per ogni x, il che è possibile soltanto se

$g(y)={\frac {f(x)}{|y'(x)|}}={\frac {f'[x(y)]}{|y'[x(y)]|}}=f[x(y)]\cdot |x'(y)|$.

(6.15)

Se la relazione che lega y ad x non è invece biunivoca, i ragionamenti sono più complicati e devono essere fatti tenendo conto della natura della particolare funzione in esame; ad esempio, se

$y=x^{2}$

e quindi

$x=\pm {\sqrt {y}}$

un particolare valore per la y corrisponde a due eventualità (mutuamente esclusive) per la x; perciò

$g(y)\,\mathrm {d} y=\left[f(-{\sqrt {y}})+f({\sqrt {y}})\right]\,\mathrm {d} x$

e quindi

$g(y)=\left[f(-{\sqrt {y}})+f({\sqrt {y}})\right]\cdot \left|x'(y)\right|={\frac {f(-{\sqrt {y}})+f({\sqrt {y}})}{2{\sqrt {y}}}}$.

Per quello che riguarda la funzione generatrice dei momenti e la funzione caratteristica associate a variabili casuali definite l’una in funzione dell’altra, se ci limitiamo a considerare una trasformazione lineare del tipo $y=ax+b$, vale la

$M_{y}(t)$	$=E\left(e^{ty}\right)$
	$=E\left[e^{t(ax+b)}\right]$
	$=e^{tb}\,E\left(e^{tax}\right)$

da cui infine ricaviamo la

$M_{y}(t)=e^{tb}M_{x}(at)$

(6.16)

per la funzione generatrice dei momenti; e potremmo ricavare l’analoga

$\phi _{y}(t)=e^{itb}\phi _{x}(at)$

(6.17)

per la funzione caratteristica (si confronti anche la funzione (6.5), prima usata per ricavare i momenti rispetto alla media, e che si può pensare ottenuta dalla (6.4) applicando alla variabile casuale una traslazione che ne porti il valore medio nell’origine).