Teoria degli errori e fondamenti di statistica/7.1.1

by Maurizio Loreti

7.1.1 Momenti, funzione caratteristica e funzione generatrice

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Maurizio Loreti - Teoria degli errori e fondamenti di statistica (2006)

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7.1.1 Momenti, funzione caratteristica e funzione generatrice

Analogamente a quanto fatto per le variabili casuali unidimensionali, in uno spazio degli eventi bidimensionale in cui rappresentiamo le due variabili $\left\{x,y\right\}$ aventi densità di probabilità congiunta $f(x,y)$, si può definire la speranza matematica (o valore medio) una qualunque funzione $\psi (x,y)$ come

$E\left[\psi (x,y)\right]=\int _{-\infty }^{+\infty }\mathrm {d} x\,\int _{-\infty }^{+\infty }\mathrm {d} y\,\psi (x,y)\,f(x,y)$;

i momenti rispetto all’origine come

$\lambda _{mn}=E(x^{m}y^{n})$

e quelli rispetto alla media come

$\mu _{mn}=E\left[(x-\lambda _{10})^{m}(y-\lambda _{01})^{n}\right]$.

Risulta ovviamente:

$\lambda _{00}\equiv 1$

$\lambda _{10}=E(x)$

$\lambda _{01}=E(y)$

$\mu _{20}=E\left\{\left[x-E(x)\right]^{2}\right\}={\text{Var}}(x)$

$\mu _{02}=E\left\{\left[y-E(y)\right]^{2}\right\}={\text{Var}}(y)$

$\mu _{20}=E\left\{\left[x-E(x)\right]\,\left[y-E(y)\right]\right\}$

La quantità $\mu _{11}$ si chiama anche covarianza di x ed y; si indica generalmente col simbolo ${\text{Cov}}(x,y)$, e di essa ci occuperemo più in dettaglio nell’appendice C (almeno per quel che riguarda le variabili discrete). Un’altra grandezza collegata alla covarianza è il cosiddetto coefficiente di correlazione lineare, che si indica col simbolo $r_{xy}$ (o, semplicemente, con r): è definito come

$r_{xy}={\frac {\mu _{11}}{\sqrt {\mu _{20}\mu _{02}}}}={\frac {{\text{Cov}}(x,y)}{\sigma _{x}\sigma _{y}}}$,

e si tratta di una grandezza adimensionale compresa, come vedremo, nell’intervallo $[-1,+1]$. Anche del coefficiente di correlazione lineare ci occuperemo più avanti, e sempre nell’appandice C.

La funzione caratteristica per due variabili, che esiste sempre, è la

$\phi _{xy}(u,v)=E\left[e^{i(ux+vy)}\right];$

se poi esistono tutti i momenti, vale anche la

$\left.{\frac {\partial ^{m+n}\phi _{xy}}{\partial u^{m}\,\partial v^{n}}}\right|_{\begin{matrix}u=0\\[-1em]v=0\end{matrix}}=(i)^{m+n}\lambda _{mn}$.

La funzione generatrice, che esiste solo se tutti i momenti esistono, è poi definita come

$M_{xy}(u,v)=E\left[e^{(ux+vy)}\right]$

e per essa vale la

$\left.{\frac {\partial ^{m+n}M_{xy}}{\partial u^{m}\,\partial v^{n}}}\right|_{\begin{matrix}u=0\\[-1em]v=0\end{matrix}}=\lambda _{mn}$.