Teoria degli errori e fondamenti di statistica/7.1

by Maurizio Loreti

7.1 Variabili casuali bidimensionali

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Maurizio Loreti - Teoria degli errori e fondamenti di statistica (2006)

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7.1 Variabili casuali bidimensionali

Nel caso multidimensionale più semplice, $N=2$, se supponiamo che la probabilità dP per la coppia di variabili casuali x ed y di trovarsi nell’intorno (infinitesimo) di una certo punto dello spazio bidimensionale sia proporzionale all’ampiezza dell’intorno stesso e dipenda dalla sua posizione, possiamo definire la densità di probabilità (o funzione di frequenza) congiunta, $f(x,y)$, attraverso la

$\mathrm {d} P=f(x,y)\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y$;

e, analogamente a quanto fatto nel caso unidimensionale, definire poi attraverso di essa altre funzioni. Ad esempio la funzione di distribuzione congiunta,

$F(x,y)=\int _{-\infty }^{x}\mathrm {d} u\,\int _{-\infty }^{y}\mathrm {d} v\,f(u,v)$

che dà la probabilità di ottenere valori delle due variabili non superiori a quantità prefissate; le funzioni di frequenza marginali

$g(x)=\int _{-\infty }^{+\infty }f(x,y)\,\mathrm {d} y$

e

$h(y)=\int _{-\infty }^{+\infty }f(x,y)\,\mathrm {d} x$

che rappresentano la densità di probabilità di ottenere un dato valore per una delle due variabili qualunque sia il valore assunto dall’altra; ed infine le funzioni di distribuzione marginali

$G(x)=\int _{-\infty }^{x}g(t)\,\mathrm {d} t=F(x,+\infty )$

e

$H(y)=\int _{-\infty }^{y}h(t)\,\mathrm {d} t=F(+\infty ,y).$

La condizione di normalizzazione si potrà poi scrivere

$F(+\infty ,+\infty )=1$.

Per un insieme di due variabili si possono poi definire le funzioni di frequenza condizionate, $\pi (x|y)$ e $\pi (y|x)$; esse rappresentano la densità di probabilità dei valori di una variabile quando già si conosce il valore dell’altra. Per definizione deve valere la

$f(x,y)\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y=g(x)\,\mathrm {d} x\cdot \pi (y|x)\,\mathrm {d} y=h(y)\,\mathrm {d} y\cdot \pi (x|y)\,\mathrm {d} x$

per cui tra probabilità condizionate, marginali e congiunte valgono la

$\pi (y|x)={\frac {f(x,y)}{g(x)}}$

e la

$\pi (x|y)={\frac {f(x,y)}{h(y)}}.$

Due variabili casuali sono, come sappiamo, statisticamente indipendenti tra loro quando il fatto che una di esse abbia un determinato valore non altera le probabilità relative ai valori dell’altra: ovvero quando

$\pi (x|y)=g(x)$

e

$\pi (y|x)=h(y)$;

(7.1)

e questo a sua volta implica che

$f(x,y)=g(x)\cdot h(y)$

(7.2)

Non è difficile poi, assunta vera la (7.2), giungere alla (7.1); in definitiva:

Due variabili casuali continue sono statisticamente indipendenti tra loro se e solo se la densità di probabilità congiunta è fattorizzabile nel prodotto delle funzioni marginali.