Teoria degli errori e fondamenti di statistica/7.1.2

by Maurizio Loreti

7.1.2 Cambiamento di variabile casuale

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Maurizio Loreti - Teoria degli errori e fondamenti di statistica (2006)

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7.1.2 Cambiamento di variabile casuale

Supponiamo di definire due nuove variabili casuali u e v per descrivere un evento casuale collegato a due variabili continue x ed y; questo attraverso due funzioni

$u=u(x,y)$

e

$v=v(x,y)$.

Se la corrispondenza tra le due coppie di variabili è biunivoca, esistono le funzioni inverse

$x=x(u,v)$

e

$y=y(u,v);$

se inoltre esistono anche le derivate parziali prime della x e della y rispetto alla u ed alla v, esiste anche non nullo il determinante Jacobiano

${\frac {\partial (x,y)}{\partial (u,v)}}=\det \left\|{\begin{matrix}{\frac {\partial x}{\partial u}}&{\frac {\partial x}{\partial v}}\\{\frac {\partial y}{\partial u}}&{\frac {\partial y}{\partial v}}\end{matrix}}\right\|$

dotato della proprietà che

${\frac {\partial (x,y)}{\partial (u,v)}}=\left[{\frac {\partial (u,v)}{\partial (x,y)}}\right]^{-1}$

In tal caso, dalla richiesta di invarianza della probabilità sotto il cambiamento di variabili,

$f(x,y)\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y=g(u,v)\,\mathrm {d} u\,\mathrm {d} v$

si ottiene la funzione densità di probabilità congiunta per u e v, che è legata alla $f(x,y)$ dalla

$g(u,v)=f\left[x(u,v),y(u,v)\right]\cdot \left|{\frac {\partial (x,y)}{\partial (u,v)}}\right|$

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