Teoria degli errori e fondamenti di statistica/7.1.3

by Maurizio Loreti

7.1.3 Applicazione: il rapporto di due variabili casuali indipendenti

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Maurizio Loreti - Teoria degli errori e fondamenti di statistica (2006)

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7.1.3 Applicazione: il rapporto di due variabili casuali indipendenti

Come esempio, consideriamo due variabili casuali x ed y indipendenti tra loro e di cui si conoscano le funzioni di frequenza, rispettivamente $f(x)$ e $g(y)$; e si sappia inoltre che la y non possa essere nulla. Fatte queste ipotesi, useremo la formula precedente per calcolare la funzione di frequenza $\varphi (u)$ della variabile casuale u rapporto tra x ed y. Definite

$u={\frac {x}{y}}$

e

$v=y$,

la corrispondenza tra le coppie di variabili è biunivoca; e le funzioni inverse sono la

$x=uv$

e la

$y=v$.

Le funzioni di frequenza congiunte delle due coppie di variabili sono, ricordando la (7.2) e la (7.3)

$f(x,y)=f(x)g(y)$

e

$\varphi (u,v)=f(x)g(y)\left|{\frac {\partial (x,y)}{\partial (u,v)}}\right|$

rispettivamente; e, calcolando le derivate parziali,

${\frac {\partial (x,y)}{\partial (u,v)}}=\det \left\|{\begin{matrix}v&u\\0&1\end{matrix}}\right\|$

per cui

$\varphi (u,v)=f(uv)\,g(v)\,|v|.$

In conclusione, la funzione di distribuzione della sola u (la funzione marginale) è la

$\varphi (u)=\int _{-\infty }^{+\infty }\varphi (u,v)\,\mathrm {d} v=\int _{-\infty }^{+\infty }f(uv)\,g(v)\,|v|\,\mathrm {d} v$

(7.4)