Teoria degli errori e fondamenti di statistica/7.1.6

by Maurizio Loreti

7.1.6 Ancora sui valori estremi di un campione

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Maurizio Loreti - Teoria degli errori e fondamenti di statistica (2006)

7.1.6 Ancora sui valori estremi di un campione

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7.1.6 Ancora sui valori estremi di un campione

Come esempio, e ricordando il paragrafo 6.6, calcoliamo la densità di probabilità congiunta dei due valori estremi $x_{1}$ e $x_{N}$ di un campione ordinato e di dimensione N; questo sotto l’ipotesi che i dati appartengano a una popolazione avente funzione di frequenza $f(x)$ e funzione di distribuzione $F(x)$ entrambe note.

$x_{1}$ può provenire dal campione a disposizione in N maniere distinte; una volta noto $x_{1}$, poi, $x_{N}$ può essere scelto in $(N-1)$ modi diversi; e, infine, ognuno dei dati restanti è compreso tra $x_{1}$ e $x_{N}$: e questo avviene con probabilità $[F(x_{N})-F(x_{1})]$. Ripetendo i ragionamenti del paragrafo 6.6, si ricava

$f(x_{1},x_{N})=N(N-1)\left[F(x_{N})-F(x_{1})\right]^{N-2}\,f(x_{1})\,f(x_{N})$

(7.6)

che non è fattorizzabile: quindi i valori minimo e massimo di un campione non sono indipendenti tra loro. Introducendo le variabili ausiliarie

${\begin{cases}\xi =N\cdot F(x_{1})\\[1em]\eta =N\cdot [1-f(x_{N})]\end{cases}}$

con

${\begin{cases}\mathrm {d} \xi =NF(x_{1})\,\mathrm {d} x_{1}\\[1em]\mathrm {d} \eta =-Nf(x_{N})\,\mathrm {d} x_{N}\end{cases}}$

ed essendo $F(x_{N})-F(x_{1})$ identicamente uguale a $1-[1-F(x_{N})]-F(x_{1})$, dalla (7.6) si ricava

$f(\xi ,\eta )={\frac {N-1}{N}}\left(1-{\frac {\xi +\eta }{N}}\right)^{N-2}$

che, ricordando il limite notevole

$\lim \limits _{x\to +\infty }\left(1+{\frac {k}{x}}\right)^{x}=e^{k}$,

asintoticamente diventa

$f(\xi ,\eta )\quad \xrightarrow {N\to \infty } \quad e^{-(\xi +\eta )}\equiv e^{-\xi }\,e^{-\eta }$.

Quindi $\xi$ ed $\eta$ (come anche di conseguenza $x_{1}$ e $x_{N}$) sono statisticamente indipendenti solo asintoticamente, all’aumentare indefinito della dimensione del campione.