Teoria degli errori e fondamenti di statistica/8.4

by Maurizio Loreti

8.4 La distribuzione di Bernoulli

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Maurizio Loreti - Teoria degli errori e fondamenti di statistica (2006)

8.4 La distribuzione di Bernoulli

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8.4 La distribuzione di Bernoulli

Consideriamo un evento casuale ripetibile E, avente probabilità costante p di verificarsi; indichiamo con $q=1-p$ la probabilità del non verificarsi di E (cioè la probabilità dell’evento complementare ${\bar {E}}$). Vogliamo ora determinare la probabilità $P(x;N)$ che in N prove ripetute E si verifichi esattamente x volte (deve necessariamente risultare $0\leq x\leq N$).

L’evento casuale costituito dal presentarsi di E per x volte (e quindi dal presentarsi di ${\bar {E}}$ per le restanti $N-x$) è un evento complesso che può verificarsi in diverse maniere, corrispondenti a tutte le diverse possibili sequenze di successi e fallimenti; queste sono ovviamente mutuamente esclusive, ed in numero pari a quello delle possibili combinazioni di N oggetti a x a x, che vale

$C_{x}^{N}={\binom {N}{x}}={\frac {N!}{x!\,(N-x)!}}$.

Essendo poi ognuna delle prove statisticamente indipendente dalle altre (infatti la probabilità di E non cambia di prova in prova), ognuna delle possibili sequenze di x successi ed $N-x$ fallimenti ha una probabilità di presentarsi che vale $p^{x}q^{N-x}$; in definitiva

$P(x;N)={\frac {N!}{x!\,(N-x)!}}p^{x}q^{N-x}$

(8.7)

Questa distribuzione di probabilità $P(x;N)$ per una variabile casuale discreta x si chiama distribuzione binomiale o di Bernoulli¹; vogliamo ora determinarne alcune costanti caratteristiche.

Verifichiamo per prima cosa che vale la condizione di normalizzazione: sfruttando la formula per lo sviluppo delle potenze del binomio, risulta

$\sum _{x=0}^{N}P(x;N)=\sum _{x=0}^{N}{\frac {N!}{x!\,(N-x)!}}\,p^{x}q^{N-x}={(p+q)}^{N}\;\equiv \;1$.

Vogliamo ora calcolare la speranza matematica della variabile x (ossia il numero di successi attesi, in media, in N prove): per questo useremo la stessa variabile casuale ausiliaria già considerata nel paragrafo 5.6.3, y, che rappresenta il numero di successi nella generica delle N prove eseguite.

Avevamo a suo tempo già calcolato, sempre nel paragrafo 5.6.3, la speranza matematica della y

$E(y)=1\cdot p+0\cdot q=p$;

e, osservando che anche $y^{2}$ può assumere i due soli valori 1 e 0, sempre con le probabilità rispettive p e q,

$E\left(y^{2}\right)=1\cdot p+0$

e quindi la varianza della y esiste e vale

${\text{Var}}(y)=E(y^{2})-\left[E(y)\right]^{2}=p-p^{2}=p(1-p)=pq.$

(8.8)

Il numero totale x di successi nelle N prove è legato ai valori y_i della y in ognuna di esse dalla

$x=\sum _{i=1}^{N}y_{i}$

e risulta quindi, per speranza matematica e varianza della distribuzione binomiale,

$E(x)=E\left(\,\sum _{i=1}^{N}y_{i}\right)=\sum _{i=1}^{N}E\left(y_{i}\right)=Np$

${\text{Var}}(x)={\sigma _{x}}^{2}={\text{Var}}\left(\sum _{i=1}^{N}y_{i}\right)=\sum _{i=1}^{N}{\text{Var}}\left(y_{i}\right)=Npq$.

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Figura 8e - La distribuzione binomiale, per un numero di prove $N=50$ e due differenti valori della probabilità p.

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Come è evidente dalla figura 8e, la forma della distribuzione binomiale è molto simile a quella di una curva di Gauss; si può in effetti dimostrare che quando N tende all’infinito la distribuzione di probabilità dei possibili valori tende ad una distribuzione normale avente la stessa media Np e la stessa varianza Npq. Infatti la funzione generatrice dei momenti della distribuzione di Bernoulli è

$M_{x}(t)$	$=E\left(e^{tx}\right)$
	$=\sum _{x=0}^{N}e^{tx}\,{\binom {N}{x}}\,p^{x}q^{N-x}$
	$=\sum _{x=0}^{N}{\binom {N}{x}}\!\left(pe^{t}\right)^{x}\!q^{N-x}$
	$=\left(pe^{t}+q\right)^{N}$

o anche, ricordando che $q=1-p$,

$M_{x}(t)=\left[1+p\left(e^{t}-1\right)\right]^{N}$

e se, per semplificare i calcoli, ci riferiamo alla variabile standardizzata

$z={\frac {x-E(x)}{\sigma _{x}}}={\frac {x-Np}{\sqrt {Npq}}}=ax+b$

ove si è posto

$a={\frac {1}{\sqrt {Npq}}}$

e

$b=-{\frac {Np}{\sqrt {Npq}}}$

applicando la (6.16) si trova

$M_{z}(t)$	$=e^{tb}\,M_{x}(at)$
	$=e^{-{\frac {Np}{\sqrt {Npq}}}t}\left[1+p\left(e^{\frac {t}{\sqrt {Npq}}}-1\right)\right]^{N}$

da cui, passando ai logaritmi naturali,

$\ln M_{z}(t)$	$=-{\frac {Np}{\sqrt {Npq}}}\,t+N\,\ln \left[1+p\left(e^{\frac {t}{\sqrt {Npq}}}-1\right)\right]$
	$=-{\frac {Np}{\sqrt {Npq}}}\,t+N\left[p\left(e^{\frac {t}{\sqrt {Npq}}}-1\right)-{\frac {p^{2}}{2}}\left(e^{\frac {t}{\sqrt {Npq}}}-1\right)^{2}+\right.$
	$\qquad \left.+{\frac {p^{3}}{3}}\left(e^{\frac {t}{\sqrt {Npq}}}-1\right)^{3}+\cdots \right]$
	$=-{\frac {Np}{\sqrt {Npq}}}\,t+N\left\{p\left[{\frac {t}{\sqrt {Npq}}}+{\frac {1}{2}}\,{\frac {t^{2}}{Npq}}+{\frac {1}{6}}\,{\frac {t^{3}}{(Npq)^{\frac {3}{2}}}}+\cdots \right]-\right.$
	$\qquad -{\frac {p^{2}}{2}}\left[{\frac {t}{\sqrt {Npq}}}+{\frac {1}{2}}\,{\frac {t^{2}}{Npq}}+{\frac {1}{6}}\,{\frac {t^{3}}{(Npq)^{\frac {3}{2}}}}+\cdots \right]^{2}+$
	$\qquad \left.+{\frac {p^{3}}{3}}\left[{\frac {t}{\sqrt {Npq}}}+{\frac {1}{2}}\,{\frac {t^{2}}{Npq}}+{\frac {1}{6}}\,{\frac {t^{3}}{(Npq)^{\frac {3}{2}}}}+\cdots \right]^{3}+\cdots \right\}$
	$=N\left\{p\left[{\frac {1}{2}}\,{\frac {t^{2}}{Npq}}+{\frac {1}{6}}\,{\frac {t^{3}}{(Npq)^{\frac {3}{2}}}}+\cdots \right]-\right.$
	$\qquad \left.-{\frac {p^{2}}{2}}\left[{\frac {t^{2}}{Npq}}+{\frac {t^{3}}{(Npq)^{\frac {3}{2}}}}+\cdots \right]+{\frac {p^{3}}{3}}\left[{\frac {t^{3}}{(Npq)^{\frac {3}{2}}}}+\cdots \right]\right\}$
	$=N\left[{\frac {1}{2}}\,{\frac {t^{2}}{Npq}}\,p(1-p)+{\frac {t^{3}}{(Npq)^{\frac {3}{2}}}}\left({\frac {p}{6}}-{\frac {p^{2}}{2}}+{\frac {p^{3}}{3}}\right)+{\mathcal {O}}\left(t^{4}N^{-2}\right)\right]$
	$={\frac {1}{2}}t^{2}+{\mathcal {O}}\left(t^{3}N^{-{\frac {1}{2}}}\right)$

ove si è sviluppato in serie di McLaurin prima

$\ln(1+x)=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}+\cdots$

e poi

$e^{x}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+\cdots$

e si sono svolti i prodotti tenendo solo i termini dei primi ordini.

Chiaramente quando $N$ viene fatto tendere all'infinito tutti i termini eccetto il primo tendono a zero, per cui

$\lim _{N\to \infty }M_{z}(t)=e^{\frac {t^{2}}{2}}$

e $M_{z}(t)$ tende quindi alla funzione generatrice dei momenti di una distribuzione normale standardizzata; in conseguenza si è effettivamente provato, visto uno dei teoremi citati nel paragrafo 6.4, che la distribuzione binomiale tende ad una distribuzione normale.

In pratica, quando il numero di prove N è elevato e la probabilità p non è troppo vicina ai valori estremi 0 ed 1, la distribuzione binomiale è bene approssimata da una distribuzione normale; in generale si ritiene che l’approssimazione sia accettabile quando entrambi i prodotti Np e Nq hanno valore non inferiore a 5.

Note

1. I Bernoulli furono una famiglia originaria di Anversa poi trasferitasi a Basilea, numerosi membri della quale ebbero importanza per le scienze del diciassettesimo e del diciottesimo secolo; quello cui vanno attribuiti gli studi di statistica ebbe nome Jacob (o Jacques), visse dal 1654 al 1705, e fu zio del più noto Daniel (cui si deve il teorema di Bernoulli della dinamica dei fluidi).