Teoria degli errori e fondamenti di statistica/8.4.3
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8.4.3 La distribuzione binomiale negativa
Consideriamo ancora un evento casuale E ripetibile, avente probabilità costante p di presentarsi (e quindi probabilità di non presentarsi) in una singola prova; in più prove successive l’evento seguirà dunque la statistica di Bernoulli. Vogliamo ora calcolare la probabilità che, prima che si verifichi l’N-esimo successo, si siano avuti esattamente x insuccessi; o, se si preferisce, la probabilità che l’N-simo successo si presenti nella -sima prova.
L’evento casuale considerato si realizza se e solo se nelle prime prove si è presentata una delle possibili sequenze di successi e x fallimenti; e se poi, nella prova successiva, si ha un ulteriore successo. La prima condizione, applicando la (8.7), ha probabilità
;
e, vista l’indipendenza statistica delle prove tra loro, risulta dunque
(8.12) |
(nell’ultimo passaggio si è sfruttata la proprietà dei coefficienti binomiali ; vedi in proposito il paragrafo A.6).
Questa distribuzione di probabilità prende il nome di distribuzione binomiale negativa1; il motivo di tale nome è che l’equazione (8.12) può essere riscritta in forma compatta sfruttando una “estensione” dei coefficienti binomiali che permette di definirli anche per valori negativi di N. La funzione generatrice dei momenti è
;
da questa si possono poi ricavare la speranza matematica
,
e la varianza
.
La distribuzione binomiale negativa con prende il nome di distribuzione geometrica; la probabilità (8.12) diventa
,
ed è quella dell’evento casuale consistente nell’ottenere il primo successo dopo esattamente x insuccessi; ponendo nelle formule precedenti, speranza matematica e varianza della distribuzione geometrica sono rispettivamente
e | . |
Note
- ↑ La distribuzione binomiale negativa è talvolta chiamata anche distribuzione di Pascal o di Pólya.