Un sistema di postulati per la Geometria Projettiva astratta degli iperspazi

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Mario Pieri

1896 U Matematica matematica Un sistema di postulati per la Geometria Projettiva astratta degli iperspazi Intestazione 8 maggio 2008 25% Matematica}}{{Da formattare Matematica

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Estratto dalla «Rivista di Matematica», 6(1896.99), pp. 9-16.


Un sistema di postulati per la Geometria Projettiva astratta degli iperspazi
Nota di MARIO PIERI


§ 1. — La Geometria projettiva degli spazi da quante si vogliano dimensioni, intesa come scienza autonoma, rimane tuttavia soggetto di controversia per molti, a cui non sembra che tutti i suoi principi siano affermati con quel grado di chiarezza e di rigore, che si pretende a ragione in ogni ramo di scienza esatta. Una succinta analisi delle premesse, su cui potrebbe logicamente fondarsi una dottrina projettiva degli iperspazi, non è dunque fuor di proposito ; quantunque non manchino lavori di molto pregio volti al medesimo scopo, od aventi un fine prossimo a quello 1.

In uno studio recente "Sui principi che reggono la Geometria di Posizione" 2 ho proposto diciannove postulati atti a fondare l'ordinaria Geometria Projettiva come scienza deduttiva astratta, indipendente da ogni altro corpo di dottrine matematiche o fisiche, e in particolare dagli assiomi, od ipotesi, della Geometria elementare euclidèa; e successivamente ho mostrato 3 che essi sono realmente sufficienti agli scopi della pura Geometria di posizione («costruirende Geometrie»), poiché se ne deduce la rappresentazione dei punti projettivi mediante coordinate. Qui nulla ho da mutare circa l'indirizzo ivi adottato, che è un indirizzo puramente deduttivo ed astratto 4; e poco da aggiungere e togliere per passare dal campo delle rette e dei piani projettivi a quello molto più vasto delle forme lineari di n° specie in uno spazio generale; entro un ambiente, cioè, dove esistano forme lineari di specie comunque grande: così che il presente scritto può aversi come appen dice, o complemento, di quello. In particolare nulla è da modificare circa i postulati del separarsi, i quali saranno qui riprodotti (§ 5) senza amplificazione di sorta, rinviandosi per maggiori notizie il lettore alla memoria citata. Dalla quale è sperabile che emerga eziandio la possibilità di provare coi metodi della logica algebrica alcune affermazioni, che i termini del presente articolo non consentono di approfondire quanto sarebbe opportuno. Circa i seguenti postulati non è detto che siano indipendenti fra loro, nè irreduttibili: condizioni queste, che toccano quasi alla perfezione ideale; soltanto si afferma che essi bastano (in un cogli assiomi logici 5, o leggi del pensiero) a sostener l'intero edifizio d'una geometria projettiva astratta degli iperspazi.

§ 2. — Il simbolo [O] leggasi «punto projettivo», o «classe dei punti projettivi» e, od anche «spazio generale» e . Il fatto che la parola «punto» denota qui una classe di enti, ossia che ha valore di nome collettivo, può affermarsi esplicitamente con un primo postulato:

(I)

[O] ε K

Pp.

Con un secondo postulato si dirà poi che questa classe non è illusoria, ossia che contiene almeno un individuo:

(II)

[O] - = ∧

Pp.

Questo ente «punto» non è definito, o (come altri si esprime) è definito in sè stesso da tutte quelle proprietà che gli verranno attribuite man mano 6. Col postulato seguente s'impone, ad es., che «se a è un punto, esista ancora un punto diverso da quello»:

(III)

a ε [0].ɔ:[0] - ιa.- = ∧

Pp.

Essendo a, b due punti non coincidenti (ipotesi non assurda in virtù di (I) e (II)), col simbolo ab si rappresenta un nuovo ente primitivo, a cui si attribuiscono intanto le qualità seguenti:

(IV)

a, b ε [O] . a - = b : ɔ . ab ε K

Pp.

(V)

» » b : ɔ . ab ɔ [0]

Pp.


che si potrebbero entrambe racchiudere nell'unica proposizione a, b ε [O]. a - = b : ɔ . ab ε K[0] 7 esprimente che • se a , b sono punti distinti, ab è una classe o varietà di punti, ossia una figura Con ciò non è detto ancora che il simbolo ab rappresenti una figura individuata mediante a, b: questa ed altre determinazioni del contenuto di «ab» risulteranno a poco per volta dai postulati seguenti:

(VI)

a, b ε [0] . a - = b : ɔ . a ε ab

Pp.

(VII)

»  »  : ɔ ab ɔ ba

Pp.

Cioè «sotto le stesse ipotesi, la figura ab deve contenere il punto a ed esser contenuta nella figura ba». Di qui segue immediatamente :

Teor.

» »  : ɔ . b ε ab

Teor.


Adesso può definirsi, come l'insieme di tutti i possibili enti «ab», un nuovo ente «[1]» da chiamarsi «retta projettiva»: [1] r e la ,b e [O] . - b . r ab : =a, b Def. [1] è pertanto il simbolo d'una classe di classi di punti, non illusoria in virtù delle cose precedenti: [1] K11[0] [1] - Teori

In ordine agl'individui di questa classe ammetteremo ancora í po- projettivo », e indicheremo con [2], l'insieme di tutti i possibili piani stulati seguenti : ar; vale a dire: Pp • Pp. (VIII) b : o : ab-ta-tb.-= (IX) a,be[0].a-= b.ceab -ta:o.abo ac cioè che « essendo a , b due punti distinti, la figura ab contiene un punto almeno diversa da a e da b; e se c è nn punto di ab diverso da a, ab è contenuta in ac ». E da questi e dai precedenti si deduce : a, b e [O] . a - — b ce ah -ta:o. ah = ac Teor. v c e ab cb : o . ab = bc (*) Teor. c e ab -ta-tb:o.ac= bc Teor. onde si può dimostrare (m.1, § 2) qualmente: a,b,c,de[0].a-----b.a=c.b=d:o.ab=cd Teor. ossia che « essendo dati i punti (distinti) a e b, l'ente ah non può mutare, se questi punti non mutano •. 11 simbolo « ab può leggersi « retta projettiva ab ». § 3. — Essendo a un punto e k una classe arbitraria di punti, col simbolo ak denoteremo « la visuale (") di k da a » vale a dire l'insieme di tutti i punti delle rette che uniscono il punto a coi vari' punti di k diversi da a : kell[0].ae[0]:o.ak=xe(yek-ta.xeay:- =,y A) Def. Tale nozione è fondamentale in Geometria Projettiva: per mezzo di essa è possibile una definizione delle varie forme fondamentali o spazi lineari, a cominciare dal piano projettivo. Essendo r una retta, ed a un punto fuori di r, si chiamerà • piano projettivo ar » la visuale di r da a ; cosicchè : r e [1] . a e [01- r : o ar e 11[0], Def. Diremo poi « classe dei piani projettivi ., o semplicemente « piano — 6 _ § 4. — Ma il mio scopo è di protrarre in infinito la serie [1] [2] , [3] , ..., mediante un numero finito di definizioni e postulati. A ciò si riesce in virtù del principio logico d'induzione completa (*). Accanto alla definizione (§ 2): (a) [1] r e /a , b [O] . a - b . r = ab - =a, t, Al Def. pongasí l'altra: (f3) n e 1-i-N.o.[n],----K[0] n X e /y e [n-1].a e [0]-y.x=ay:- =y ael Def. dove il simbolo [n] può leggersi « forma fondamentale di ris specie o « spazio projettivo (lineare) ad n dimensioni (**). L'ultima dice in sostanza che « P[n], o spazio lineare ad n dimensioni — supposto n numero intero positivo maggior d'uno — è la classe di tutte le possibili figure x, per ognuna delle quali esiste un individuo y della classe [n-1] (il quale alla sua volta sarà classe di punti o figura quand'anche fosse n-1=1 (§ 2) ) ed un punto a fuori di esso, di guisa che x sia la visuale di y da a ›. Le proposizioni (a) e ((a) prese insieme costituiscono una definizione induttiva di 28 specie (***), la quale determina pienamente il valore del segno [n] per n intero positivo arbitrario. Il numero n si dirà specie, o dimensione, di [n]. Per affermar poi l'esistenza (ideale) di così fatti enti [n], basterà che si ammetta p. e. il postulato seguente : (XI) nzN.cre[n]:0:[0]-a.-= A Pp. cioè che ' dato uno spazio lineare di n& specie, esiste almeno un punto che non gli appartiene • — onde si può dimostrare che: n e N . o.[n]-= Teor. Supposto invero n > 1 ed [n — 1] - = e , non sarà assurda l'ipotesi y e[n-1]; e quindi, per il postulato (XI), nemmeno la proposizione a e [O] - y. Di poi, per la definizione (a)(P), y sarà una classe di punti, e tale p. c. anche la sua visuale x = ay presa dal punto a. Esisterà (') Ved. p. es. BuR.ALD:Foarr, loc. cit., pagg. 100.103 e 126-128. (**) Il segno [n] è tolto da H. SCHUBERT : Matti. Annalen, Bd. 26. (***) BURALI-FORTI, 100. cit., pag. 128. La condizione imposta ad ogni spazio [n] di essere una K[0] giova a che tutti i segni del secondo membro di (B) abbiano nn senso ancorchò resti indeterminato il valore numerico di n; ma essa potrebbe ciò non ostante sopprimersi, dopo di che quel secondo membro avrebbe sempre un significato preciso, quando ad n si dessero succeseivamente i valori 2, 3, 4,_ 7 — dunque allora un individuo x almeno della classe rappresentata nel secondo membro di (a). D'altra parte si sa già (§ 2) che [1] - A : quindi il teorema, in forza del principio d'induzione completa, dovrà esser vero per qualsivoglia n (*). Per le proprietà che si aggirano intorno all'appartenersi degli enti [O] ed [n]; ossia intorno alle mutue projezioni e intersezioni di spazi lineari, non c'è bisogno d'altri postulati oltre quelli ammessi finora (undici in tutto). Così p. e. il fatto che « una retta ed un piano giacenti in un medesimo spazio projettivo di 3• specie hanno sempre (almeno) un punto a comune », ossia che: c re [3] .re[1].pe[2].r,Jpoa:o.rnp-= A Teor. si può dimostrare in modo perfettamente simile a quello da me seguito nel caso di due rette giacenti nel medesimo piano (m.1, pag. 18). Ed è similmente un teorema la proposizione che « una retta ed un piano che non abbiano alcun punto comune individuano un [4] che li contiene ». Eec., ecc. § 5. — Essendo a , b , c tre punti distinti sopra una retta projettiva data, il simbolo (abc) leggasi • segmento protettivo abc (XII) re[1].a,b,cer.a- —b.b--c.c- a : o . (abc) e Kr Pp. (XIII) » : o . a - e (abc) » (XIV) » : o . (abc) = (cba) » (XV) r e [1].a,b,c e r . a- ------b.b--c.c-=---a.der-(abc) -ta: : 3 . d e (bca) Pp. (XVI) re[1] =a:o:r-ta-tc- - (abc). = A Pp. (XVII) r e [1] .a,b,cer.a- =b.b- =c.c: o . d - e (abc) Pp. (XVIII) r [l] a,b, C E : o . (abc) = (adc) Pp. (XT.X) re[1].a,b,cer.ah,k--.A.huk.(abc)..xeh.yek:ox ,y y e (acax):: ::0::ze(abc).•.ue(abc).ze(acu): .ueh..ve(abc). • v e (aez): ov . v e k – —2 A Pp. Queste proposizioni corrono al tutto indipendenti dai Postulati (I), ..., (XI), potendosi qui legger dovunque r e S al posto di r e [1]. Sopra di esse potrebbe dunque costruirsi un trattato della struttura o connessione di certe classi (ad una dimensione), di cui la retta projettiva non è che un caso particolare. Conviene per ultimo ammettere il postulato seguente, che giova agli scopi della Geometria projettiva: (XX) r , rs e [l] .r–=1 s t,b ,c,der.a–=b.b–=c.c–=a. a', b', e', d' e r. a- =h' . b'– . c – = a' . • . p e [O] . (a,a' ,p) e CI . . (b,b' , p) e Cl . (c, d,p) e Cl .(tid', p) e 01: — A:: a : d e (abc) . . 0 . d' e (a'b'c') Pp. dove il valore del segno • e CI » (sono collinari) viene espresso da : a,b,c e [0.1.0::(a b , c) s CI a—. • .x,y e 1-01. x – =y . a,b,c e xy:– =x, yn Del: Torino, febbraio 1896. 'M\ V. Fodratti e E. Lecco - Via Oauclecisio Ferrari, 3, Torino.


Note

  1. Ved. p. e. AMODEO "Quali possono essere i postulati, ecc." (Atti dell'Accademia dello Scienze di Torino, 1891). — VERONESE «Fondamenti di Geometria a più dimensioni, ecc. (Padova, 1891). — FANO «Sui postulati fondamentali della Geometria Projettiva, ecc.» (Giornale di Matematiche, 1891). — ENRIQUES «Sui fondamenti della Geometria Projettiva» (Rendic. del R. Istituto Lombardo, 1894).
  2. Atti d. Accad. d. Scienze di Torino, 1895. Citerò appresso questa memoria col segno m.1.
  3. In altre due Note, che fan seguito a quella (Atti di Torino, 1896).
  4. Astratto, in quanto prescindo da ogni interpretazione fisica delle premesse, e quindi anche dalla loro evidenza, ed intuitività geometrica: a differenza di un altro indirizzo (che chiamerei fisico-geometrico) secondo il quale gli enti primitivi e gli assiomi voglion esser desunti dall'osservazione diretta del mondo esterno, e identificati con lo idee che si acquistano por via d'induzione sperimentale da certi determinati oggetti e fatti fisici (PASCH, PEANO, ...).
  5. Ai quali (seguendo in questo il DEDEKIND ed altri) ascriveremo altresì le proposizioni primitive sul numero intero positivo — come ad es. il principio d' induzione (o, piuttosto, di deduzione) completa — poichè non par guari possibile alcuna scienza deduttiva senza il loro concorso. — Questa comunanza di assiomi (è noto che l' Analisi pura non ha postulati suoi propri, se tali non siano i principi sul numero (int. pos.) e sull'idea di successivo ad un numero) è una conferma della solidarietà esistente fra le discipline analitiche e geometriche.
  6. Ved. BURALI-FORTI «Logica matematica» (Milano, Hoepli, 1894), pag. 129. Così fa fatto in m.1, § 2, dove è anche taciuto il postulato (I),
  7. Così fu fatto in m.1, § 2, dove è anche taciuto il postulato (I).


ε