Discorsi e dimostrazioni matematiche intorno a due nuove scienze/Qual potesse esser la causa di tal coerenza. Giornata seconda
 |
Questo testo è completo. | |
GIORNATA SECONDA.
Sagr. .png)
Tavamo il S. Simplicio, et io aspettando la venuta di V. S., e nel medesimo tempo ci andavamo riducendo à memoria, l’ultima considerazione, che quasi come principio, e supposizione delle conclusioni, che V. S. intendeva di dimostrarci fù circa quella resistenza, che hanno tutti i corpi solidi all’esser rotti, dependente da quel glutine, che tiene le parti attaccate, e congiunte, si che non senza una potente attrazzione, cedono, e si separano: si andò poi cercando, qual potesse esser la causa di tal coerenza, che in alcuni solidi è gagliardissima, proponendosi principalmente quella del Vacuo, che fù poi cagione di tante digressioni, che ci tennero tutta la giornata occupati, e lontani dalla materia primieramente intesa, che era la contemplazione delle resistenze de i solidi all’essere spezzati.
Salv. Ben mi sovviene del tutto, e ritornando su ’l filo incominciato: Posta qualunque ella sia la resistenza de i corpi solidi all’essere spezzati per una violenta attrazzione, basta che indubitabilmente ella in loro si trova: la quale, ben che grandissima contro alla forza di chi per diritto gli tira, minore per lo più si osserva nel violentargli per traverso: e così vegghiamo una verga per esempio d’acciaio, ò di vetro reggere per lo lungo il peso di mille libbre, che fitta à squadra in un muro si spezzerà con l’attaccargliene cinquanta solamente. E di questa seconda resistenza deviamo noi parlare, ricercando secondo quali proporzioni ella si ritrovi ne i Prismi, e Cilindri simili, ò dissimili in figura, e grossezza, essendo però dell’istessa materia: nella quale specolazione io piglio come principio noto quello che nelle Mecaniche si dimostra trà le passioni del Vette, che noi chiamiamo Leva; cioè, Che nell’uso della Leva la forza alla resistenza hà la proporzion contraria di quella, che hanno le distanze tra ’l sostegno, e le medesime forza, e resistenza.
Simp. Questo fu dimostrato da Aristotele nelle sue Mecaniche, prima che da ogni altro.
Salv. Voglio che gli concediamo il primato nel tempo, mà nella fermezza della dimostrazione parmi che se gli deva per grand’intervallo anteporre Archimede, da una sola proposizione del quale, dimostrata da esso ne gli equiponderanti dependono le ragioni non solamente della Leva, mà della maggior parte de gli altri strumenti Mecanici.
Sagr. Mà già che questo principio è il fondamento di tutto quello, che voi havete intenzione di volerci dimostrare, non sarebbe se non molto à proposito l’arrecarci anco la prova di tal supposizione, quando non sia materia molto prolissa, dandoci una intera, e compita instruzzione.
Salv. Come questo si habbia à fare, sarà pur meglio che io per altro ingresso alquanto diverso da quello d’Archimede v’introduca nel campo di tutte le future specolazioni; e che non supponendo altro, se non che Pesi eguali posti in bilancia di braccia eguali facciano l’equilibrio, (principio supposto parimente dal medesimo Archimede) io venga poi à dimostrarvi, come non solamente altrettanto sia vero, che Pesi diseguali facciano l’equilibrio in stadera di braccia diseguali secondo la proporzione di essi Pesi permutatamente sospesi, ma che l’istessa cosa fà colui, che colloca Pesi eguali in distanze eguali, che quello che colloca Pesi diseguali in distanze, che habbiano permutatamente la medesima proporzione che i Pesi. Or per chiara dimostrazione di quanto dico, segno un Prisma, ò Cilindro solido ab, sospeso dall’estremità alla linea hi, e sostenuto da due fili ha, ib. E manifesto, che se io sospenderò il tutto dal filo c posto nel mezzo della bilancia hi, il Prisma ab, resterà equilibrato, essendo la metà del suo peso da una banda, e l’altra dall’altra del punto della sospensione c per il principio da noi supposto. .png)
Intendasi ora il Prisma esser diviso in parti diseguali dal piano per la linea d, e sia la parte da maggiore, e la db minore, et acciòche fatta tal divisione le parti del Prisma restino nel medesimo sito, e costituzione rispetto alla linea sc soccorriamo con un filo ed, il quale fermato nel punto e sostenga le parti del Prisma ad, db, non è da dubitarsi, che non si essendo fatta veruna local mutazione nel Prisma rispetto alla bilancia hi ella resterà nel medesimo stato dell’equilibrio. Mà nella medesima costituzione resterà ancora se la parte del Prisma, che ora è sospesa dalle due estremità con li fili ah, de, si appenda ad un sol filo gl posto nel mezzo; e parimente l’altra parte db non muterà stato sospesa dal mezzo, e sostenuta dal filo fm. Sciolti dunque i fili ha, ed, ib, e lasciati solo li due gl, fm, resterà l’istesso equilibrio, fatta pur sempre la sospensione dal punto c. Or qui voltiamoci à considerare come noi habbiamo due gravi ad, db, pendenti da i termini gf di una libra gf, nella quale si fà l’equilibrio dal punto c, in modo che la distanza della sospensione del grave ad, dal punto c, è la linea cg, e l’altra parte cf, è la distanza, dalla qual pende l’altro grave db. Resta dunque solo da dimostrarsi tali distanze haver la medesima proporzione trà di loro che hanno gli stessi Pesi, mà permutatamente presi: cioè che la distanza gc alla cf sia come il Prisma db al Prisma da, il che proveremo così. Essendo la linea ge la metà della eh, e la ef metà della ei, sarà tutta la gf metà di tutta la hi, e però eguale alla ci, e trattane la parte comune cf, sarà la rimanente gc eguale alla rimanente fi, cioè, alla fe, e presa comunemente la ce saranno le due ge, cf eguali: e però, come ge ad ef, così fc à cg, mà come ge ad ef, così la doppia alla doppia, cioè he ad ei, cioè il Prisma ad al Prisma db. Adunque, per l’egual proporzione, e convertendo, come la distanza gc alla distanza cf, così il Peso bd al Peso da, che è quello, che io volevo provarvi. Inteso sin qui, non credo che voi porrete difficoltà in ammettere che i due Prismi ad, db facciano l’equilibrio dal punto c, perche la metà di tutto ’l solido ab è alla destra della sospensione c, e l’altra metà dalla sinistra: e che così si vengono à rappresentar due pesi eguali disposti, e distesi in due distanze eguali. Che poi li due Prismi ad, db ridotti in due dadi, ò in due palle, ò in due qual’altre si siano figure, (purche si conservino le sospensioni medesime gf) seguitino di far l’equilibrio dal punto c, non credo che sia alcuno che ne possa dubitare; perche troppo manifesta cosa è, che le figure non mutano peso, dove si ritenga la medesima quantità di materia. Dal che possiamo raccor la general conclusione, che due Pesi qualunque si siano fanno l’equilibrio da distanze permutatamente respondenti alle lor gravità. Stabilito dunque tal principio, avanti che passiamo più oltre, devo metter in considerazione, come queste forze, resistenze, momenti, figure, si posson considerar’ in astratto, e separate dalla materia, et anco in concreto, e congiunte con la materia; et in questo modo quelli accidenti, che converranno alle figure considerate come immateriali, riceveranno alcune modificazioni, mentre li aggiugneremo la materia, et in consequenza la gravità; come, per esempio se noi intenderemo una Leva, qual sarebbe questa ba, la quale, posando su ’l sostegno e, sia applicata per sollevare il grave sasso d. E manifesto, per il dimostrato principio, che la forza posta nell’estremità b basterà per adequare la resistenza del grave d, se il suo momento al momento di esso d habbia la medesima proporzione che hà la distanza ac alla distanza cb, e questo è vero non mettendo in considerazione altri momenti che quelli della semplice forza in b, e della resistenza in d, quasi che l’istessa leva fusse immateriale, e senza gravità. .png)
Mà se noi metteremo in conto la gravità ancora dello strumento stesso della Leva, la quale sarà talor di legno, e tal volta anche di ferro; è manifesto che alla forza in b aggiunto il peso della Leva altererà ia proporzione, la quale converrà pronunziare sotto altri termini. E però prima che passar più oltre è necessario, che noi convenghiamo în por distinzione trà queste due maniere di considerare, chiamando, un prendere assolutamente quello, quando intenderemo lo strumento preso in astratto, cioè separato dalla gravità della propria materia: mà congiugnendo con le figure semplici, et assolute la materia con la gravità ancora, nomineremo le figure congiunte con la materia momento, ò forza composta.
Sagr. E forza ch’io rompa il proposito, che havevo di non dar’ occasione di digredire, mà non potrei con attenzione applicarmi al rimanente, se non mi fusse rimosso certo scrupolo, che mi nasce; et è questo, che mi pare che V. S. faccia comparazione della forza posta in b con la total gravità del sasso d, della qual gravità mi pare che vna parte, e forse forse la maggiore si appoggi sopra ’l piano del Orizonte; si che
Salv. Hò inteso benissimo. V.S. non soggiunga altro; mà solamente avverta, che io non hò nominata la gravità totale del sasso, mà hò parlato del momento, che egli tiene, et esercita sopra ’l punto a estremo termine della Leva ba, il quale è sempre minore dell’intero peso del sasso; et è variabile secondo la figura della pietra, e secondo che ella vien più, è meno sollevata.
Sagr. Resto appagato, mà mi nasce un’altro desiderio; che è che per intera cognizione mi fusse dimostrato il modo, se vi è, di poter’investigare qual parte sia del peso totale quella, che vien sostenuta dal soggetto piano, e quale quella, che grava su ’l Vette nell’estremità a.
Salv. Perche posso con poche parole dargli sodisfazzione, non voglio lasciar di servirla; però facendone un poco di figura, intenda V.S. il peso, il cui centro di gravità sia a appoggiato sopra l’Orizonte .png)
co’ l termine b, e nell’altro sia sostenuto col Vette cg, sopra ’l sostegno n da una potenza posta in g, e dal centro a, e dal termine c caschino perpendicolari all’Orizonte ao, cf. Dico il momento di tutto il peso al momento della potenza in g haver la proporzion composta della distanza gn alla distanza nc, e della fb alla bo. Facciasi come la linea fb alla bo, così la nc alla x, et essendo tutto il peso a sostenuto dalle due potenze poste in v, e c, la potenza b alla c, è come la distanza fo alla ob, e componendo, le due potenze bc insieme, cioè, il total momento di tutto ’l Peso a alla potenza in c, è come la linea fb alla bo, cioè come la nc alla , mà il momento della potenza in c al momento della potenza in g, è come la distanza gn alla nc, adunque per la perturbata il total peso a al momento della potenza in g, è come la gn alla x, mà la proporzione di gn ad x, è composta della proporzione gn ad nc, e di quella di nc ad x, cioè, di fb à bo, adunque il peso a alla potenza che lo sostiene in g, hà la proporzitne composta della gn ad nc, e di quella di fb à bo, ch’è quello che si doveva dimostrare. Or tornando al nostro primo proposito, intese tutte le cose fin quì dichiarate, non sarà difficile l’intender la ragione, onde avvenga, che un Prisma, ò Cilindro solido di vetro, acciaio, legno, ò altra materia frangibile, che sospeso per lungo sosterrà gravissimo peso, Prop. I. che gli sia attaccato, mà in traverso (come poco fà dicevamo) da minor peso assai potrà tal volta essere spezzato, secondo che la sua lunghezza eccederà la sua grossezza. Imperò che figuriamoci il Prisma solido ab, cd fitto in un muro dalla parte ab, e nell’altra estremità s’intenda la forza del Peso e, (intendendo sempre il muro esser eretto all’Orizonte, et il Prisma, ò Cilindro fitto nel muro ad angoli retti) è manifesto che dovendosi spezzare si romperà nel .png)
luogo b, dove il taglio del muro serve per sostegno, e la bc per la parte della leva dove si pone la forza, e la grossezza del solido ba è l’altra parte della leva, nella quale è posta la resistenza, che consiste nello staccamento, che s’hà da fare della parte del solido bd, che è fuor del muro, da quella che è dentro; e per le cose dichiarate il momento della forza posta in c al momento della resistenza, che stà nella grossezza del Prisma, cioè, nell’attaccamento della base ba con la sua contigua hà la medesima proporzione, che la lunghezza cb alla metà della ba, e però l’assoluta resistenza è all’esser rotto che è nel Prisma bd (la quale assoluta resistenza è quella, che si fà col tirarlo per diritto, perche allora tanto è il moto del movente quanto quello del mosso) all’esser rotto con l’aiuto della Leva bc, hà la medesima proporzione che la lunghezza bc alla metà di ab nel Prisma, che nel Cilindro è il semidiametro della sua base. E questa sia la nostra prima Proposizione. E notate che questo che dico si debbe intendere rimossa la considerazione del peso proprio del solido bd, il qual solido hò preso, come nulla pesante. Mà quando vorremo mettere in conto la sua gravità congiugnendola col peso e, doviamo al peso e aggiugnere la metà del peso del solido bd, si che essendo v. gr. il peso di bd due libbre, e ’l peso di e libbre dieci, si deve pigliare il Peso e come se fusse undici.
Simp. E perche non come se fusse dodici?
Salv. Il Peso e S. Simp. mio pendente dal termine c preme in rispetto alla Leva bc, con tutto ’l suo momento di libbre dieci, dove se fusse appeso il solo bd, graverebbe con tutto ’l momento di due libbre, mà, come vedete, tal solido è distribuito per tutta la lunghezza bc uniformemente, onde le parti sue vicine all’estremità b gravano manco delle più remote: si che in somma ristorando quelle con queste, il peso di tutto ’l Prisma si riduce à lavorare sotto ’l centro della sua gravità, che risponde al mezzo della Leva bc; mà un peso pendente dalla estremità c hà momento doppio di quello, che harebbe pendendo dal mezzo; e però la metà del peso del Prisma si deve aggiugnere al Peso e, mentre ci serviamo del momento di amendue come locati nel termine c.
Simp. Resto capacissimo, e di più s’io non m’inganno, parmi che la potenza di amendue i pesi bd et e posti così, harebbe l’istesso momento, che se tutto il peso di bd col doppio di e, fusse appeso nel mezo dalla Leva bc.
Salv. Così è precisamente, e si deve tenere à memoria. Quì possiamo immediatamente intender, come e con che proporzione resista più una verga, Prop. II. ò vogliam dir Prisma più largo, che grosso all’esser rotto, fattogli forza secondo la sua larghezza, che secondo la grossezza. Per intelligenza di che, intendasi una riga ad; la cui larghezza sia ac, e la grossezza, assai minore, cb, .png)
si cerca perche volendola romper per taglio, come nella prima figura, resisterà al gran peso t, mà posta per piatto come nella seconda figura, non resisterà all’x minore del t, il che si fà manifesto, mentre intendiamo il sostegno essere una volta sotto la linea bc, et un’altra sotto la ca, e le distanze delle forze esser nell’un caso, e nell’altro eguali, cioè la lunghezza bd. Mà nel primo caso la distanza della resistenza dal sostegno, che è la metà della linea ca, è maggiore della distanza nell’altro caso, la quale è la metà della bc: però la forza del Peso t, conviene che sia maggiore della x, quanto la metà della larghezza ca è maggiore della metà della grossezza bc, servendoci quella per contralleva della ca, e questa della cb, per superare la medesima resistenza, che è la quantità delle fibre di tutta la base ab. Concludesi per tanto la medesima riga, ò Prisma più largo che grosso resister più all’esser rotto per taglio, che per piatto secondo la proporzione della larghezza alla grossezza.
Conviene ora che cominciamo à investigare secondo qual proporzione vadia crescendo il momento della propria gravità, Prop. III. in relazione alla propria resistenza all’essere spezzato in un Prisma, ò Cilindro, mentre stando parallelo all’Orizonte, si và allungando; il qual momento trovo andar crescendo in duplicata proporzione di quella dell’allungamento, .png)
per la cui dimostrazione, intendasi il Prisma, ò Cilindro ad fitto saldamente nel muro dall’estremità a, e sia equidistante all’orizonte, et il medesimo intendasi allungato sino in e, aggiugnendovi la parte be. È manifesto che l’allungamento della Leva ab sino in c cresce per se solo, cioè assolutamente preso, il momento della forza premente contro alla resistenza dello staccamento, e rottura da farsi in a secondo la proporzione di ca à ba, mà, oltre à questo il peso aggiunto del solido be al peso del solido ab, cresce il momento della gravità premente secondo la proporzione del Prisma ae al Prisma ab, la qual proporzione è la medesima della lunghezza ac alla ab, adunque è manifesto, che congiunte i due accrescimenti delle lunghezze, e delle gravità il momento composto di amendue è in doppia proporzione di qualunque di esse. Concludasi per tanto, i momenti delle forze de i Prismi, è Cilindri egualmente grossi, mà disegualmente lunghi esser trà di loro in duplicata proporzione di quella delle lor lunghezze, cioè esser come i quadrati delle lunghezze.
Mostreremo adesso, nel secondo luogo, secondo qual proporzione cresca la resistenza all’essere spezzati ne i Prismi, e Cilindri, mentre restino della medesima lunghezza, e si accresca la grossezza. E qui dico che
Prop. IV.Ne i Prismi, e Cilindri egualmente lunghi, mà disegualmente grossi la resistenza all’esser rotti cresce in triplicata proporzione de i diametri delle lor grossezze, cioè delle lor basi.
I due cilindri siano questi ab, le cui lunghezze eguali, dg, fh, le basi diseguali, i cerchi, i cui Diametri cd, ef. .png)
Dico, la resistenza del Cilindro b alla resistenza del cilindro a, ad esser rotti, haver triplicata proporzione di quella che hà il Diametro fe al diametro dc. Imperò che se consideriamo l’assoluta, e semplice resistenza, che risiede nelle basi, cioè ne i Cerchi ef, dc, all’essere strappati facendogli forza col tirargli per diritto, non è dubbio che la resistenza del Cilindro b è tanto maggiore, che quella del Cilindro a, quanto il cerchio ef è maggiore del cd, perche tante più sono le fibre, i filamenti o le parti tenaci, che tengono unite le parti de i solidi. Mà se consideriamo che nel far forza per traverso ci serviamo di due Leve, delle quali le parti o distanze dove si applicano le forze sono le linee dg, fh, i sostegni sono ne punti d f, mà le altre parti, ò distanze, dove son poste le resistenze, sono i semidiametri de i Cerchi dc, ef, perche i filamenti sparsi per tutte le superficie de i Cerchi, è come se tutti si riducessero ne i centri; considerando dico, tali Leve intenderemo la resistenza nel centro della base ef contro alla forza di h, esser tanto maggiore della resistenza della base cd contro alla forza posta in g, (e sono le forze in g et h, di Leve uguali dg, fh), quanto il semidiametro fe è maggiore del semidiametro dc, cresce dunque la resistenza all’esser rotta nel Cilindro b sopra la resistenza del Cilindro a, secondo amendue le proporzioni de i cerchi ef, dc, e de i lor semidiametri, ò vogliam dir Diametri: mà la proporzione de i Cerchi è doppia di quella de i Diametri, adunque la proporzione delle resistenze, che di quelle si compone, è triplicata della proporzione de i medesimi Diametri, che è quello, che dovevo provare. Mà perche anco i Cubi sono in tripla proporzione de i loro lati, possiamo similmente concludere le resistenze de i Cilindri egualmente lunghi esser trà di loro come i Cubi de i lor Diametri.
Corol.Dà questo che si è dimostrato, possiamo concludere ancora, le resistenze de i Prismi, e Cilindri egualmente lunghi haver sesquialtera proporzione di quella de gli stessi Cilindri. Il che è manifesto, perche i Prismi, e Cilindri egualmente alti hanno frà di loro la medesima proporzione, che le lor basi, cioè, doppia de i lati, ò Diametri di esse basi: mà le resistenze (come si è dimostrato) hanno triplicata proporzione de i medesimi lati, ò Diametri, adunque la proporzione delle resistenze è sesquialtera della proporzione de gli stessi solidi, et in consequenza de i pesi de i medesimi solidi.
Simp. Egli è forza che avanti che si proceda piú oltre, io resti sincerato di certa mia difficoltà; e questa è, che sin quì non hò sentito mettere in considerazione cert’altra sorte di resistenza, la quale mi par che venga diminuita ne i solidi, secondo che si vanno più e più allungando, e non solo nell’uso trasversale, mà ancora per lo lungo, in quel modo appunto che veggiamo, una corda lunghissima esser molto meno atta à reggere un gran peso, che se fusse corta: onde io credo che una verga di legno, ò di ferro più peso assai potrà reggere se sarà corta, che se sarà molto lunga; intendendo sempre usata per lo lungo, e non in traverso; et anco messo in conto il suo proprio peso, che nella più lunga è maggiore.
Salv. Dubito, S. Simp., che in questo punto voi con molti altri v’inganniate, se però hò ben compreso il vostro concetto, si che voi vogliate dire, che una corda lunga, v. gr., quaranta braccia non possa sostenere tanto peso, quanto se fusse un braccio, ò due della medesima corda.
Simp. Cotesto hò voluto dire, e sin quì mi par proposizione assai probabile.
.png)
Salv. Mà io l’hò per falsa, non che per improbabile; e credo di potervi assai agevolmente cavar d’errore. Però ponghiamo questa corda ab fermata di sopra dal capo a, e dall’altro sia il Peso c, dalla cui forza debba essa corda essere rotta. Assegnatemi voi S. Simp. il luogo particolare dove debba seguir la rottura.
Simp. Sia nel luogo d.
Salv. Vi domando qual sia la cagione dello strapparsi in d.
Simp. È la causa di ciò, perche la corda in quella parte non era potente a reggere, v. gr., cento libbre di peso, quanto è la parte db con la pietra c.
Salv. Adunque tutta volta che tal corda nella parte d venisse violentata dalle medesime cento libbre di peso, ella li si strapperebbe.
Simp. Così credo.
Salv. Mà ditemi ora: chi attaccasse il medesimo peso non al fine della corda b, mà vicino al punto d, come sarebbe in e, ò vero legasse la corda non nella altezza a, mà pur vicina, e sopra al punto medesimo d come sarebbe in f, ditemi, dico, se il punto d sentirebbe il medesimo peso delle cento libbre.
Simp. Sentirebbelo, accompagnando però il pezzo di corda eb con la pietra c.
Salv. Se dunque la corda nel punto d vien tirata dalle medesime cento libbre di peso, si romperà per la vostra concessione; e pure la fe è un piccol pezzo della lunga ab, come dunque volete più dire, che la corda lunga sia più debole della corta? Contentatevi dunque d’esser cavato d’un’errore, nel quale havete hauto molti compagni, et anco per altro molto intelligenti. E seguitiamo innanzi: et havendo dimostrato i Prismi, e Cilindri crescere il lor momento sopra le proprie resistenze secondo i Quadrati delle lunghezze loro (mantenendo però sempre la medesima grossezza) e parimente gli egualmente lunghi, mà differenti in grossezza crescer le lor resistenze secondo la proporzione de i Cubi de i lati, ò Diametrì delle lor basi, passiamo à investigare quello che accaggia à tali solidi differenti in lunghezza, e grossezza, ne i quali io osservo che
Prop. V.I Prismi, e Cilindri di diversa lunghezza, e grossezza hanno le lor resistenze all’esser rotti di proporzione composta della proporzione de i Cubi de Diametri delle lor basi, e della proporzione delle lor lunghezze permutatamente prese.
Siano tali due Cilindri abc, def. Dico, la resistenza del Cilindro ac alla resistenza del Cilindro df, haver la proporzione composta della proporzione del Cubo del Diametro ab al Cubo del Diametro de, e della proporzione della lunghezza ef alla lunghezza bc. Pongasi la eg eguale alla bc, e delle linee ab, de sia terza proporzionale la h, e quarta la i, e come la ef alla bc, e delle linee, così sia la i alla s. E perche la resistenza del Cilindro ac alla resistenza del Cilindro dg, è come il Cubo ab al Cubo de, cioè come la linea ab alla linea i, e la resistenza del Cilindro dg alla resistenza del cilindro df come la lunghezza fe alla eg, cioè come la linea i alla s, adunque, per l’egual proporzione, come la resistenza del Cilindro ac alla resistenza del Cilindro df, .png)
così la linea ab alla s, mà la linea ab alla s, hà la proporzion composta della ab alla i, e della i alla s, adunque la resistenza del Cilindro ac alla resistenza del Cilindro df, hà la proporzion composta della ab alla i, cioè del Cubo di ab al Cubo di de, e della proporzione della linea i alla s, cioè della lunghezza ef alla lunghezza bc, che è quello, che intendevo di dimostrare.
Dopo la dimostrata Proposizione, voglio che consideriamo quello, che accaggia trà i Cilindri, e Prismi simili, de i quali dimostreremo, come
Prop. VI.De i Cilindri, e Prismi simili i momenti composti cioè risultanti dalle lor gravità, e dalle loro lunghezze, che sono come Leve, hanno trà di loro proporzione sesquialtera di quella, che hanno le resistenze delle medesime lor basi.
Per il che dimostrare, segniamo i due Cilindri simili ab, cd. Dico, il momento del Cilindro ab per superare la resistenza della sua base b, al momento di cd per superare la resistenza della sua d, haver sesquialtera proporzione di quella, che hà la medesima resistenza della base b alla resistenza della base d, e perche i momenti de i solidi ab, cd per superar le resistenze delle lor basi b, d son composti delle lor gravità, e delle forze delle lor Leve, e la forza della Leva ab è eguale alla forza della leva cd, (e questo perche la lunghezza ab al semidiametro della base b, hà la medesima proporzione (per la similitudine de’ Cilindri) che la lunghezza cd al semidiametro .png)
della base d), resta che ’l momento totale del Cilindro ab al momento totale di cd, sia come la sola gravità del Cilindro ab alla sola gravità del Cilindro cd, cioè come l’istesso Cilindro ab all’istesso cd; mà questi sono in triplicata proporzione de i Diametri delle basi loro bd, e le resistenze delle medesime basi, essendo trà di loro come l’istesse basi, sono, in consequenza in duplicata proporzione de i medesimi loro Diametri: adunque i momenti de i Cilindri son in sesquialtera proporzione delle resistenze delle basi loro.
Simp. Questa proposizione mi è veramente giunta non solamente nuova, mà inaspettata, e nel primo aspetto assai remota dal giudizio, che io ne haverei conietturalmente fatto: imperò che, essendo tali figure in tutto ’l restante simili, harei tenuto per fermo, che anco i momenti loro verso le proprie resistenze havessero ritenuta la medesima proporzione.
Sagr. Questa è la dimostrazione di quella proposizione, che nel principio de nostri ragionamenti dissi parermi di scorger per ombra.
Salv. Quello che ora accade al S. Simp. avvenne per alcun tempo à me credendo che le resistenze di solidi simili fusser simili, sin che certa, ne anco molto fissa, ò accurata osservazione mi pareva rappresentarmi, ne i solidi simili non mantenersi un tenore eguale nelle loro robustezze, mà i maggiori esser meno atti à patire gli eventi violenti, come rimaner più offesi dalle cadute gli huomini grandi, che i piccoli fanciulli, e, come da principio dicevamo, cadendo dalla medesima altezza vedesi andare in pezzi una gran trave, ò una colonna, mà non così un piccolo corrente, ò un piccol Cilindro di marmo. Questa tal quale osservazione mi destò la mente all’investigazione di quello, che ora son per dimostrarvi, proprietà veramente ammirabile, poiche trà le infinite figure solide simili trà di loro pur due non ve ne sono i momenti delle quali verso le proprie resistenze ritenghino la medesima proporzione.
Simp. Ora mi fate sovvenire non sò che posto da Aristotele tra le sue Quistioni Mecaniche, mentre vuol render la ragione, onde avvenga che i legni quanto più son lunghi, tanto più son deboli, e più si piegano, ben che i più corti sieno più sottili, e i lunghi più grossi; e se io ben mi ricordo, ne riduce la ragione alla semplice Leva.
Salv. È verissimo, e perche la soluzione non par che tolga interamente la ragion del dubitare, Monsig. di Guevara, il quale veramente con i suoi dottissimi Comentarii hà altamente nobilitata, e illustrata quell’Opera, si estende con altre più acute specolazioni per sciorre tutte le difficoltà, restando però esso ancora perplesso in questo punto, se crescendosi con la medesima proporzione le lunghezze, e le grossezze di tali solide figure, si deva mantenere l’istesso tenore nelle loro robustezze, e resistenze nell’esser rotti, et anco nel piegarsi. Io dopo un lungo pensarvi hò in questa materia ritrovato quello che seguentemente son per apportarvi. E prima dimostrerò che
Prop. VII.De i Prismi, ò Cilindri simili gravi un solo, e unico è quello, che si riduce (gravato dal proprio peso) all’ultimo stato trà lo spezzarsi e ’l sostenersi intero: si che ogni maggiore, come impotente à resistere al proprio peso, si romperà, e ogni minore resiste à qualche forza che gli venga fatta per romperlo.
Sia il prisma grave ab ridotto alla somma lunghezza di sua consistenza, si che allungato un minimo di più si rompesse: Dico, questo esser’ unico trà tutti i suoi simili (che pur sono infiniti); atto ad esser ridotto in tale stato ancipite, si che ogni maggiore oppresso dal proprio peso si spezzerà, et ogni minore nò, anzi potrà resistere à qualche aggravio di nuova violenza, oltre à quella del proprio peso. .png)
Sia prima il Prisma ce simile, e maggiore di ab. Dico questo non poter consistere, mà rompersi superato dalla propria gravità. Pongasi la parte cd lunga quanto ab. E perche la resistenza di cd à quella di ab, è come il Cubo della grossezza di cd, al Cubo della grossezza di ab, cioè come il Prisma cd al Prisma ab, (essendo simili) adunque il peso di ce è il sommo, che possa esser sostenuto nella lunghezza del Prisma cd, mà la lunghezza ce è maggiore: adunque il Prisma ce si romperà. Mà sia fg minore; si dimostrerà similmente (posta fh eguale alla ba) la resistenza di fg à quella di ab, esser come il Prisma fg al prisma ab, quando la distanza ab, cioè fh, fusse eguale alla fg, mà è maggiore: adunque il momento del Prisma fg posto in g, non basta per romper’ il prisma fg.
Sagr. Chiarissima, e breve dimostrazione, concludente la verità, e necessità di una Proposizione che, nel primo aspetto sembra assai remota dal verisimile. Bisognerebbe dunque alterare assai la proporzione trà la lunghezza, e la grossezza del Prisma maggiore con l’ingrossarlo, ò scorciarlo, acciò si riducesse allo stato ancipite trà ’l reggersi, e lo spezzarsi, e l’investigazione di tale stato penso che potesse esser’ altrettanto ingegnosa.
Salv. Anzi più presto d’avvantaggio, come anco più laboriosa; et io lo sò, che vi spesi non piccol tempo per ritrovarla; et ora voglio participarvela:
Prop. VIII.Dato dunque un Cilindro, ò Prisma di massima lunghezza da non esser dal suo proprio peso spezzato, e data una lunghezza maggiore, trovar la grossezza d’un altro Cilindro,
Sia il Cilindro bc massimo resistente al proprio peso, e sia la de lunghezza maggiore della ac, bisogna trovare la grossezza del Cilindro, che sotto la lunghezza de sia il massimo resistente al proprio peso. Sia delle lunghezze de, ac terza proporzionale i, e come de ad i, così sia il Diametro fd al Diametro ba, e facciasi il Cilindro fe. Dico, questo esser’ il massimo ed unico, tra tutti i suoi simili, resistente al proprio peso. .png)
Delle linee dei sia terza proporzionale m, e quarta o. E pongasi fg eguale alla ac. E perche il Diametro fd al Diametro ab, è come la linea de alla i, e delle dei la o è quarta proporzionale, il Cubo di fd al cubo di ba sarà, come la de alla o, mà come il Cubo di fd al Cubo di ba, così è la resistenza del Cilindro dg alla resistenza del Cilindro bc, adunque la resistenza del cilindro dg à quella del Cilindro bc, è come la linea de alla o. E perche il momento del Cilindro bc è eguale alla sua resistenza, se si mostrerà il momento del Cilindro fe al momento del Cilindro bc esser come la resistenza df alla resistenza ba, cioè come il Cubo di fd al Cubo di ba, cioè come la linea de alla o, haremo l’intento: cioè il momento del Cilindro fe esser' eguale alla resistenza posta in fd. Il momento del Cilindro fe al momento del Cilindro dg, è come il Quadrato della de al quadrato della ac, cioè come la linea de alla i, mà il momento del Cilindro dg al momento del Cilindro bc, è come il Quadrato df al Quadrato ba, cioè come il Quadrato di de al Quadrato della i, cioè come il Quadrato della i al Quadrato della m, cioè come la i alla o, adunque per l’egual proporzione, come il momento del Cilindro fe al momento del Cilindro bc, così è la linea de alla o, cioè il Cubo df al Cubo ba, cioè la resistenza della base df alla resistenza della base ba, che è quello che si cercava.
Sagr. Questa, S. Salv. è una lunga dimostrazione, e molto difficile à ritenersi à memoria per sentirla una sola volta; onde io vorrei che V. S. si contentasse di replicarla di nuovo.
Salv. Farò quanto V. S. comanda; ma forse sarebbe meglio arrecarne una più speditiva, e breve: mà converrà fare una figura alquanto diversa.
Sagr. Maggiore sarà il favore: e la già dichiarata mi farà grazia darmela scritta, acciò a mio bell’agio possa ristudiarla.
Salv. Non mancherò di servirla. Ora intendiamo un Cilindro a, il Diametro della cui base sia la linea dc, e sia questo a il massimo, che possa sostenersi, del quale vogliamo trovare un maggiore, che pur sia il massimo esso ancora, et unico che si sostenga. .png)
Intendiamone un simile ad esso a, e lungo quanto la linea assegnata, e questo sia, v. gr. e, il Diametro della cui base sia la kl, e delle due linee dc, kl sia terza proporzionale la mn, che sia Diametro della base del Cilindro x di lunghezza eguale all’e. Dico, questo x esser quello che cerchiamo. E perche la resistenza dc alla resistenza kl, è come il Quadrato dc al Quadrato kl, cioè come il Quadrato kl al Quadrato mn, cioè come il Cilindro e al Cilindro x, cioè come il momento e al momento x; mà la resistenza kl alla mn, è come il Cubo di kl al Cubo di mn, cioè come il Cubo dc al Cubo kl, cioè come il Cilindro a al Cilindro e, cioè come il momento a al momento e; adunque, per l’Analogia perturbata, come la resistenza dc alla mn, così il momento a al momento x, adunque il Prisma x è nella medesima costituzione di momento, e resistenza, che il Prisma a.
Dato il Cilindro ac, qualunque si sia il suo momento verso la sua resistenza, e data qualsi sia lunghezza de, trovar la grossezza del Cilindro, la cui lunghezza sia de, e ’l suo momento verso la sua resistenza ritenga la medesima proporzione che il momento del Cilindro ac alla sua.
Or vegghino come dalle cose sin quì dimostrate apertamente si raccoglie l’impossibilità del poter non solamente l’arte, mà la natura stessa crescer le sue macchine à vastità immensa, si che impossibil sarebbe fabbricar Navilii, Palazzi, o Templi vastissimi, li cui remi, antenne, travamenti, catene di ferro, et in somma le altre lor parti consistessero: come anco non potrebbe la natura far alberi di smisurata grandezza, poiche i rami loro gravati dal proprio peso finalmente si fiaccherebbero; e parimente sarebbe impossibile far strutture di ossa per huomini, cavalli, ò altri animali, che potessero sussistere, e far proporzionatamente gli uffizii loro, mentre tali animali si dovesser' agumentare ad altezze immense, se già non si togliesse materia molto più dura, e resistente della consueta, ò non si deformassero tali ossi sproporzionatamente ingrossandogli, onde poi la figura, et aspetto dell’animale ne riuscisse mostruosamente grosso: il che forse fu avvertito dal mio accortissimo Poeta, mentre descrivendo un grandissimo Gigante disse:
|
Non si può compatir quanto sia lungo, |
E per un breve esempio di questo che dico disegnai già la figura di un osso allungato solamente tre volte, et ingrossato con tal proporzione, che potesse nel suo animale grande far l’uffizio proporzionato a quel dell’osso minore nell’animal più piccolo, e le figure son queste: .png)
dove vedete sproporzionata figura, che diviene quella dell’osso ingrandito. Dal che è manifesto, che chi volesse mantener in un vastissimo Gigante le proporzioni, che hanno le membra in un huomo ordinario, bisognerebbe ò trovar materia molto più dura, e resistente per formarne l’ossa, ò vero ammettere, che la robustezza sua fusse à proporzione assai più fiacca, che ne gli huomini di statura mediocre; altrimente, crescendogli a smisurata altezza si vedrebbono dal proprio peso opprimere e cadere. Dove che all’incontro si vede nel diminuire i corpi non si diminuir con la medesima proporzione le forze, anzi ne i minori crescer la gagliardia con proporzion maggiore. Onde io credo che un piccolo cane porterebbe addosso due, ò tre cani eguali à se, mà non penso già che un cavallo portasse ne anco un solo cavallo à se stesso eguale.
Simp. Ma se così è, grand’occasione mi danno di dubitare le moli immense, che vediamo ne i pesci, ché tal Balena, per quanto intendo, sarà grande per dieci Elefanti, e pur si sostengono.
Salv. Il vostro dubbio, S. Sim., mi fà accorgere d’una condizione da me non avvertita prima, potente essa ancora à far che Giganti, et altri animali vastissimi potessero consistere e agitarsi non meno che i minori, e ciò seguirebbe quando non solo si aggiugnesse gagliardia all’ossa, et all’altre parti, offizio delle quali è il sostener il proprio, e ’l sopravegnente peso; mà lasciata la struttura delle ossa con le medesime proporzioni pur nell’istesso modo, anzi più agevolmente consisterebbono le medesime fabbriche, quando con tal proporzione si diminuisse la gravità della materia delle medesime ossa, e quella della carne, ò di altro, che sopra l’ossa si habbia ad appoggiare; e di questo secondo artifizio si è prevalsa la natura nella fabbrica de i pesci, facendogli le ossa, e le polpe non solamente assai leggiere, mà senza veruna gravità.
Simp. Veggo bene, S. Salv. dove tende il vostro discorso: voi volete dire, che per esser l’habitazione de i pesci l’elemento dell’acqua, la quale per la sua corpulenza, ò come altri vogliono per la sua gravità scema il peso à i corpi, che in quella si demergono, per tal ragione la materia de i pesci non pesando può senza aggravio dell’ossa loro esser sostenuta; mà questo non basta, perche quando bene il resto della sustanza del pesce non graviti, grava però senza dubbio la materia dell’ossa loro; e chi dirà che una costola di Balena grande quanto una trave non pesi assaissimo, e nell’acqua non dia al fondo? queste dunque non deveriano poter sussistere in sí vasta mole.
Salv. Voi acutamente opponete; e per risposta al vostro dubbio, ditemi se havete osservato stare i pesci quando piace loro, sott’acqua immobili, e non descendere verso ’l fondo, ò sollevarsi alla superficie senza far qualche forza col nuoto?
Simp. Questa è chiarissima osservazione.
Salv. Questo dunque potersi i pesci fermare come immobili à mezz’acqua è concludentissimo argomento il composto della lor mole corporea agguagliar la gravità in spezie dell’acqua, si che se in esso si trovano alcune parti più gravi dell’acqua, necessariamente bisogna, che ve ne siano altre altrettanto men gravi, acciò si possa pareggiar l’equilibrio. Se dunque le ossa son più gravi è necessario che le polpe, ò altre materie che vi siano, sien più leggiere, e queste si oppporranno con la lor leggerezza al peso dell’ossa: talche ne gli acquatici avverrà l’opposito di quel che accade ne gli animali terrestri, cioè che in questi tocchi all’ossa à sostenere il peso proprio, e quel della carne: e in quelli la carne regga la gravezza propria, e quella dell’ossa. E però deve cessar la maraviglia, come nell’acqua possano essere animali vastissimi, mà non sopra la terra, cioè nell’aria.
Simp. Resto appagato, e di più noto, che questi che noi addimandiamo animali terrestri, più ragionevolmente si devrebbero dimandar’ aerei: perche nell’aria veramente vivono, e dall’aria son circondati, e dell’aria respirano.
Sagr. Piacemi il discorso del Sig. Simp. col suo dubbio, e con la soluzione. E di più comprendo assai facilmente, che uno di questi smisurati pesci tirato in terra forse non si potrebbe per lungo tempo sostenere: mà che relassate le attaccature dell’ossa la sua mole si ammaccherebbe.
Salv. Io per ora inclino à creder l’istesso; ne son lontano à credere, che ’l medesimo avverrebbe à quel vastissimo navilio, il quale galleggiando in mare non si dissolve per il peso, e carico di tante merci, et armamenti, che in secco, e circondato dall’aria forse si aprirebbe. Mà seguitiamo la nostra materia, e dimostriamo; come:
Dato un Prisma, ò Cilindro col suo peso, et il Peso massimo sostenuto da esso, trovare la massima lunghezza, oltre alla quale prolungato dal solo suo proprio peso si romperebbe.
.png)
Sia dato il prisma ac col suo proprio peso, e dato parimente il peso d massimo da poter esser’ sostenuto dall’estremità c, bisogna trovare la lunghezza massima, sino alla quale si possa allungare il detto Prisma senza rompersi. Facciasi come il peso del prisma ac al composto de i pesi ac col doppio del peso di d, così la lunghezza ca alla ah, trà le quali sia media proporzionale la ag. Dico ag esser la lunghezza cercata. Imperò che il momento gravante del Peso d in c, è eguale al momento del peso doppio di d, che fusse posto nel mezo di ac, dove è anco il centro del momento del Prisma ac, il momento dunque della resistenza del Prisma ac, che stà in a, equivale al gravante del doppio del Peso d col peso ac, attaccati però nel mezo di ac. E perche viene ad essersi fatto come ’l momento di detti pesi così situati, cioè del doppio d con ac al momento di ac, così la ha alla ac, trà le quali è media la ag: adunque il momento del doppio d col momento ac, al momento ac, è come il Quadrato ga al Quadrato ac: mà il momento premente del Prisma ga al momento di ac, è come il Quadrato ga al Quadrato ac: adunque la lunghezza ag è la massima, che si cercava, cioè, quella sino alla quale allungandosi il Prisma ac si sosterrebbe, mà più oltre si spezzerebbe.
Sin quì si son considerati i momenti, e le resistenze de i Prismi, e Cilindri solidi, l’una estremità de i quali sia posta immobile, e solo nell’altra sia applicata la forza di un peso premente, considerandolo esso solo, ò ver congiunto con la gravità del medesimo solido, ò veramente la sola gravità dell’istesso solido. Ora voglio che discorriamo alquanto de i medesimi Prismi, e Cilindri, quando fussero sostenuti da amendue l’estremità, ò vero che sopra un sol punto preso trà le estremità fusser posati. E prima dico, che il Cilindro, che gravato dal proprio peso sarà ridotto alla massima lunghezza, oltre alla quale più non si sosterrebbe, ò sia retto nel mezo da un solo sostegno, ò vero da due nelle estremità, potrà esser lungo il doppio di quello, che sarebbe fitto nel muro, cioè sostenuto in un sol termine; il che per se stesso è assai manifesto, perche se intenderemo, del Cilindro, che io segno abc, la sua metà ab esser la somma lunghezza potente à sostenersi stando fissa nel termine b, nell’istesso modo si sosterrà, se posata sopra ’l sostegno g sarà contrappesata dall’altra sua metà bc. E similmente se del Cilindro def la lunghezza sarà tale, che solamente la sua metà potesse sostenersi fissa nel termine d, et in consequenza l’altra ef fissa nel termine f, è manifesto che posti i sostegni hi sotto l’estremità df, ogni momento che si aggiunga di forza, ò di peso in e, quivi si farà la rottura.
.png)
Quello che ricerca più sottile specolazione è, quando astraendo dalla gravità di tali solidi, ci fusse proposto di dovere investigare, se quella forza, ò peso, che applicato al mezo d’un Cilindro sostenuto nelle estremità basterebbe à romperlo, potrebbe far l’istesso effetto applicato in qualsivoglia altro luogo più vicino all’una che all’altra estremità. Come per esempio se volendo noi rompere una mazza presola con le mani nell’estremità, et appuntato il ginocchio in mezo l’istessa forza, che basterebbe usare per romperla in tal modo, basterebbe ancora quando il ginocchio si puntasse non nel mezzo, mà più vicino all’un de gli estremi.
Sagr. Parmi che ’l Problema sia toccato da Aristotele nelle sue Questioni Mecaniche.
Salv. Il quesito d’Aristotele non è precisamente l’istesso, perche ei non cerca altro, se non di render la ragione, perche manco fatica si ricerchi à romperlo, tenendo le mani nell’estremità del legno, cioè remote assai dal ginocchio, che se le tenessimo vicine: e ne rende una ragione generale, riducendo la causa alle Leve più lunghe, quando s’allargano le braccia afferrando l’estremità. Il nostro quesito aggiugne qualche cosa di più, ricercando se posto il ginocchio nel mezo, ò in altro luogo, tenendo pur le mani sempre nell’estremità, la medesima forza serva in tutti i siti.
Sagr. Nella prima apprensione parrebbe di sì, atteso che le due Leve mantengono in certo modo il medesimo momento, mentre quanto si scorcia l’una tanto s’allunga l’altra.
Salv. Or vedete, quanto sono in pronto l’equivocazioni, e con quanta cautela, e circospezione convien andare per non v’incorrere. Cotesto che voi dite, e che veramente nel primo aspetto hà tanto del verisimile, in ristretto poi è tanto falso, che quando il ginocchio, che è il fulcimento delle due Leve, sia posto, ò non posto nel mezo, fà tal diversità, che di quella forza, che basterebbe per far la frazzione nel mezo, dovendola fare in qualche altro luogo tal volta non basterà l’applicarvene quattro volte tanto, nè dieci, nè cento, nè mille. Faremo sopra ciò una tal quale considerazion generale, e poi verremo alla specifica determinazione della Proporzione, secondo la quale si vanno variando le forze per far la frazzione più in un punto, che in un altro.
Segniamo prima questo legno ab da rompersi nel mezo sopra ’l sostegno c, et appresso segniamo l’istesso, mà sotto caratteri de da rompersi sopra ’l sostegno f, remoto dal mezo. .png)
Prima è manifesto che sendo le distanze ac, cb eguali, la forza sarà compartita egualmente nelle estremità ba. Secondo, poi che la distanza df diminuisce dalla distanza ac, il momento della forza posta in d scema dal momento in a, cioè posto nella distanza ca, e scema secondo la proporzione della linea df alla ac, et in consequenza bisogna crescerlo per pareggiare, ò superar la resistenza di f. Mà la distanza df si può diminuire in infinito in relazione alla distanza ac, adunque bisogna poter crescere in infinito la forza da applicarsi in d per pareggiar la resistenza in f. Mà all’incontro secondo che cresce la distanza fe sopra la cb, convien diminuire la forza in e per pareggiare la resistenza in f, mà la distanza fe in relazione alla cb, non si può crescere in infinito col ritirar’ il sostegno f verso il termine d, anzi nè anco il doppio, adunque la forza in e per pareggiare la resistenza in f, sarà sempre più che la metà della forza in b. Comprendesi dunque la necessità del doversi agumentare i momenti del congiunto delle forze in ed infinitamente, per pareggiare, ò superar la resistenza posta in f, secondo che il sostegno f s’andrà approssimando verso l’estremità d.
Sagr. Che diremo, S. Simplicio, non convien’ egli confessare, la virtù della Geometria esser’ il più potente strumento d’ogni altro per acuir l’ingegno, e disporlo al perfettamente discorrere, e specolare? e che con gran ragione voleva Platone i suoi scolari prima ben fondati nelle Matematiche? Io benissimo avevo compreso la facultà della Leva, e come crescendo, ò scemando la sua lunghezza cresceva, ò calava il momento della forza, e della resistenza, con tutto ciò nella determinazione del presente Problema m’ingannavo, e non di poco, mà d’infinito.
Simp. Veramente comincio à comprendere, che la Logica, benche strumento prestantissimo per regolare il nostro discorso, non arriva, quanto al destar la mente all’invenzione, all’acutezza della Geometria.
Sagr. À me pare, che la Logica insegni à conoscere se i discorsi, e le dimostrazioni già fatte, e trovate procedano concludentemente, mà che ella insegni à trovare i discorsi, e le dimostrazioni concludenti, ciò veramente non credo io. Mà sarà meglio che il S. Salv. ci mostri, secondo qual proporzione vadian crescendo i momenti delle forze per superar la resistenza del medesimo legno secondo i luoghi diversi della rottura.
Salv. La proporzione, che ricercate, procede in cotal forma, che:
Se nella lunghezza d’un Cilindro si noteranno due luoghi, sopra i quali si voglia far la frazzione di esso Cilindro, le
.png)
Siano le forze ab minime per rompere in c, et le ef parimente le minime per rompere in d. Dico le forze ab alle forze ef, haver la proporzion medesima che hà il rettangolo adb al rettangolo acb. Imperò che le forze ab alle forze ef, hanno la proporzion composta delle forze ab, alla forza b, della b alla f, e della f alle fe. Mà come le forze ab alla forza b, così stà la lunghezza ba ad ac, e come la forza b alla f, così stà la linea db alla bc, e come la forza f alle fe, così stà la linea da alla ab, adunque le forze ab alle forze ef, hanno la proporzion composta delle tre, cioè, della retta ba ad ac, della db à bc, e della da ad ab. Mà delle due da ad ab, et ab ad ac, si compone la proporzione della da ad ac, adunque le forze ab alle forze ef hanno la proporzion composta di questa da ad ac, e dall'altra db à bc. Mà il rettangolo adb al rettangolo acb, hà la proporzion composta delle medesime da ad ac, e db à bc, adunque le forze ab alle ef stanno come il rettangolo adb al rettangolo acb, che è quanto à dire, la resistenza in c ad essere spezzato, alla resistenza ad esser rotto in d haver la medesima proporzione, che il rettangolo adb al rettangolo acb, che è quello che si doveva provare.
In consequenza di questo Teorema possiamo risolvere un Problema assai curioso; et è:
Dato il peso massimo retto dal mezo di un Cilindro, ò Prisma, dove la resistenza è minima; e dato un peso maggior di quello, trovare nel detto Cilindro il punto, nel quale il dato peso maggiore sia retto come peso massimo.
Habbia il dato peso maggiore del peso massimo retto dal mezo del Cilindro ab, ad esso massimo la proporzione della linea e alla f, bisogna trovare il punto nel Cilindro, dal quale il dato peso venga sostenuto come massimo. Tra le due e, f sia media proporzionale la g, e come la e alla g, così si faccia la ad alla s, sarà la s minore della ad. .png)
Sia ad Diametro del mezo Cerchio ahd, nel quale pongasi la ah eguale alla s, e congiungasi hd, et ad essa si tagli eguale la dr. Dico il punto r essere il cercato, dal quale il dato peso maggiore del massimo retto dal mezo del Cilindro d verrebbe come massimo retto. Sopra la lunghezza ba facciasi il mezo cerchio ahb, e si alzi la perpendicolare rn, e congiungasi nd. E perche i due Quadrati nr, rd son eguali al Quadrato nd, cioè al Quadrato ad, cioè alli due ah, hd, e l’hd è eguale al Quadrato dr, adunque il Quadrato nr, cioè il rettangolo arb sarà eguale al Quadrato ah, cioè al Quadrato s, mà il Quadrato s al Quadrato ad è come la f alla e, cioè come il peso massimo retto in d al dato peso maggiore; adunque questo maggiore sarà retto in r come il massimo, che vi possa esser sostenuto. Che è quello che si cercava.
Sagr. Intendo benissimo, e vò considerando, che essendo il Prisma ab sempre più gagliardo, e resistente alla pressione nelle parti, che più, e più si allontanano dal mezo, nelle travi grandissime e gravi, se ne potrebbe levar non piccola parte verso l’estremità con notabile alleggerimento di peso, che ne i travamenti di grandi stanze sarebbe di commodo et utile non piccolo. E bella cosa sarebbe il ritrovar quale figura devrebbe haver quel tal solido, che in tutte le sue parti fusse egualmente resistente: tal che non più facile fusse ad esser rotto da un peso che lo premesse nel mezo, che in qualsivoglia altro luogo.
Salv. Già ero in procinto di dirvi cosa assai notabile, e vaga in questo proposito. Fò un poco di figura per meglio dichiararmi. Questo db è un Prisma, la cui resistenza ad essere spezzato nell’estremità ad, da una forza premente nel termine b, è tanto minore della resistenza, che si troverebbe nel luogo ci, quanto la lunghezza cb è minore della ba, come già si è dimostrato. Intendasi adesso il medesimo Prisma segato diagonalmente secondo la linea fb, si che le faccie opposte siano due triangoli, uno de i quali, verso noi, è questo fab. Ottiene tal solido contraria natura del Prisma, cioè che meno resiste all’essere spezzato sopra ’l termine c, che sopra l’a dalla forza posta in b, quanto la lunghezza cb è minore della ba, il che facilmente proveremo, perche intendendo il taglio cno parallelo all’altro afd, la linea fa alla cn nel triangolo fab .png)
harà la medesima proporzione, che la linea ab alla bc, e però se noi intenderemo ne i punti ac esser’ i sostegni di due Leve, le cui distanze ba, af, bc, cn queste saranno simili, e però quel momento, che hà la forza posta in b con la distanza ba, sopra la resistenza posta nella distanza af, l’harà la medesima forza in b con la distanza bc sopra la medesima resistenza, che fusse posta nella distanza cn: mà la resistenza da superarsi nel sostegno c, posta nella distanza cn dalla forza in b, è minore della resistenza in a, tanto quanto il rettangolo co è minore del rettangolo ad, cioè quanto la linea cn è minore della af, cioè la cb della ba, adunque la resistenza della parte ocb ad esser rotto in c, è tanto minore della resistenza dell’intero dao ad esser rotto in a, quanto la lunghezza cb è minore della ab. Haviamo dunque nel Trave, ò Prisma db levatone una parte, cioè la metà, segandolo diagonalmente, e lasciato il Cuneo, ò Prisma triangolare fba, e sono due solidi di condizioni contrarie, cioè quello tanto più resiste, quanto più si scorcia, e questo nello scorciarsi perde altrettanto di robustezza. Ora, stante questo, par ben ragionevole, anzi pur necessario, che se gli possa dare un taglio, per il quale, togliendo via il superfluo, rimanga un solido di figura tale, che in tutte le sue parti sia egualmente resistente.
Simp. È ben necessario, che dove si passa dal maggiore al minore s’incontri ancora l’eguale.
Sagr. Mà il punto stà ora à trovar, come si hà guidar la sega per far questo taglio.
Simp. Questo mi si rappresenta, che dovrebbe esser opera assai facile, perche se col segar il Prisma diagonalmente levandone la metà, la figura che resta ritien contraria natura à quella del Prisma intero, sì che in tutti i luoghi, ne i quali questo acquistava robustezza, quello altrettanto la perdeva, parmi che tenendo la via del mezo, cioè levando solamente la metà di quella metà, che è la quarta parte del tutto, la rimanente figura non guadagnerà, nè perderà robustezza in tutti quei medesimi luoghi, ne i quali la perdita, e ’l guadagno dell’altre due figure erano sempre eguali.
Salv. Voi, S. Simp. non havete dato nel segno: e si come io vi mostrerò, vedrete veramente, che quello che si può segar del Prisma, e levar via senza indebolirlo, non è la sua quarta parte, mà la terza. Ora resta (che è quello che accennava il Sig. Sagr.) il ritrovar secondo che linea si deve far camminar la sega; la quale proverò che deve esser linea Parabolica. Mà prima è necessario dimostrare certo Lemma, che è tale:
Se saranno due Libre, ò Leve divise da i loro sostegni in modo che le due distanze, dove si hanno à costituire le potenze, habbiano trà di loro doppia proporzione delle distanze, dove saranno le resistenze, le quali resistenze siano tra loro, come le lor distanze, le potenze sostenenti saranno eguali.
Siano due leve ab, cd, divise sopra i lor sostegni ef, talmente, che la distanza eb alla fd, habbia doppia proporzione di quella, che hà la distanza ea alla fc. Dico le potenze che in bd sosterranno le resistenze di a, c esser trà loro eguali. Pongasi la eg media proporzionale trà eb, e fd sarà dunque come be ad eg, così ge ad fd, et ae à cf, e così si è posto esser la resistenza di a alla resistenza di c. .png)
E perche come eg ad fd, così ae à cf, sarà permutando come ge ad ea, così df ad fc, e però (per esser le due Leve dc, ga divise proporzionalmente ne i punti fe) quando la potenza, che posta in d pareggia la resistenza di c, fusse in g, pareggerebbe la medesima resistenza di c posta in a, mà, per il dato la resistenza di a alla resistenza di c, hà la medesima proporzione, che la ae alla cf, cioè, che la be alla eg, adunque la potenza g, ò vogliam dire d posta in b, sosterrà la resistenza posta in a. Che è quello che si doveva provare.
Inteso questo: nella faccia fb del Prisma db, sia segnata la linea Parabolica fnb, il cui vertice b, secondo la quale sia segato esso Prisma, restando il solido compreso dalla base ad dal piano rettangolo ag dalla linea retta bg, e dalla superficie dgbf incurvata secondo la curvità della linea Parabolica fnb. Dico tal solido esser per tutto egualmente resistente. .png)
Sia segato dal piano co parallelo all’ad, e intendansi due Leve divise, e posate sopra i sostegni a, c, e siano dell’una le distanze ba, af, e dell’altra le bc, cn. E perche nella Parabola fba, la ab alla bc, stà come il Quadrato della fa al Quadrato di cn, è manifesto la distanza ba, dell’una Leva alla distanza bc, dell’altra haver doppia proporzione di quella, che hà l’altra distanza af all’altra cn: E perche la resistenza da pareggiarsi con la Leva ba alla resistenza da pareggiarsi con la Leva bc, hà la medesima proporzione, che ’l rettangolo da al rettangolo oc, la quale è la medesima, che hà la linea af alla nc, che sono l’altre due distanze delle Leve, è manifesto per il Lemma passato, che la medesima forza, che sendo applicata alla linea bg pareggerà la resistenza da, pareggerà ancora la resistenza co. Et il medesimo si dimostrerà segandosi il solido in qual si sia altro luogo: adunque tal solido Parabolico è per tutto egualmente resistente. Che poi, segandosi il Prisma secondo la linea Parabolica fnb, se ne levi la terza parte, si fa manifesto; perche la semiparabola fnba, e ’l rettangolo fb son basi di due solidi compresi trà due piani paralleli, cioè trà i rettangoli fb, dg, per lo che ritengono trà di loro la medesima proporzione, che esse lor basi; mà il rettangolo fb è sesquialtero della semiparabola fnba; adunque, segando il Prisma secondo la linea Parabolica se ne leva la terza parte. Di quì si vede, come con diminuzion di peso di più di trentatrè per cento si posson far i travamenti senza diminuir punto la loro gagliardia, il che ne i Navilii grandi in particolare per regger le coverte può esser d’utile non piccolo; atteso che in cotali fabbriche la leggerezza importa infinitamente.
Sagr. Le utilità son tante, che lungo, ò impossibil sarebbe il registrarle tutte. Mà io lasciate queste da banda, harei più gusto d’intender, che l’alleggerimento si faccia secondo le proporzioni assegnate. Che il taglio secondo la diagonale levi la metà del peso, l’intendo benissimo; mà che l’altro, secondo la Parabolica porti via la terza parte del Prisma posso, crederlo al S. Salv. sempre veridico, mà in ciò più della fede mi sarebbe grata la scienza.
Salv. Vorreste dunque aver la dimostrazione come sia vero, che l’eccesso del Prisma sopra questo, che per ora chiamiamo solido Parabolico, sia la terza parte di tutto il Prisma. Sò d’haverlo altra volta dimostrato; tenterò ora, se potrò rimetter’ insieme la dimostrazione, per la quale intanto mi sovviene, che mi servivo di certo Lemma d’Archimede posto da esso nel libro delle Spirali; et è che se quante linee si vogliono si eccederanno egualmente, e l’eccesso sia eguale alla minima di quelle, et altrettante siano ciascheduna eguale alla massima, i Quadrati di tutte queste saranno meno che tripli de i Quadrati di quelle che si eccedono: mà i medesimi saranno ben più che tripli di quelli altri che restano, trattone il Quadrato della massima. Posto questo: Sia in questo rettangolo acbp, inscritta la linea Parabolica ab; doviamo provare il triangolo misto bap, i cui lati sono bp, pa, e base la linea Parabolica ba esser la terza parte di tutto ’l rettangolo cp. .png)
Imperò che se non è tale, sarà ò più che la terza parte, ò meno. Sia se esser può meno, et à quello che gli manca intendasi esser’ eguale lo spazio x. Dividendo poi il rettangolo cp continuamente in parti eguali con linee parallele à i lati bp, ca, arriveremo finalmente à parti tali, ch’una di loro sarà minore dello spazio x. Or sia una di quelle il rettangolo ob, e per i punti dove l’altre parallele segano la linea Parabolica, facciansi passare le parallele alla ap, e quì intenderò circoscritta intorno al nostro triangolo misto una figura composta di rettangoli, che sono bo, in, hm, fl, ek, ga, la qual figura sarà pur ancora meno che la terza parte del rettangolo cp, essendo che l’eccesso di essa figura sopra ’l triangolo misto è manco assai del rettangolo bo, il quale è ancor minore dello spazio x.
Sagr. Piano di grazia, ch’io non veggo, come l’eccesso di questa figura circoscritta sopra ’l triangolo misto, sia manco assai del rettangolo bo.
Salv. Il rettangolo bo non è egli eguale a tutti questi rettangoletti, per i quali passa la nostra linea Parabolica: dico, di questi bi, ih, hf, fe, eg, ga? de i quali una parte sola resta fuori del triangolo misto? Et il rettangolo bo, non si è egli posto ancor minore nello spazio x? adunque se il triangolo insieme con l’x pareggiava per l’avversario la terza parte del rettangolo cp la figura circoscritta, che al triangolo aggiugne tanto meno che lo spazio x, resterà pur ancora minore della terza parte del rettangolo medesimo cp. Mà questo non può essere, perche ella è più della terza parte, adunque non è vero, che ’l nostro triangolo misto sia manco del terzo del rettangolo.
Sagr. Hò intesa la soluzione del mio dubbio. Mà bisogna ora provarci, che la figura circoscritta sia più della terza parte del rettangolo cp, dove credo, che haremo assai più da fare.
Salv. Eh non ci è gran difficoltà. Imperò che nella Parabola il Quadrato della linea de al Quadrato della zg, hà la medesima proporzione, che la linea da alla az, che è quella che hà il rettangolo ke al rettangolo ag, (per esser l’altezze ak, kl eguali,) adunque la proporzione che hà il Quadrato ed al Quadrato zg, cioè il Quadrato la al Quadrato ak, l’hà ancora il rettangolo ke al rettangolo kz. E nel medesimo modo appunto si proverà de gli altri rettangoli lf, mh, ni, ob, star trà di loro come i Quadrati delle linee ma, na, oa, pa. Consideriamo adesso come la figura circoscritta è composta di alcuni spazii, che trà di loro stanno come i Quadrati di linee, che si eccedono con eccessi eguali alla minima, e come il rettangolo cp, è composto di altrettanti spazii ciascuno eguale al massimo, che sono tutti i rettangoli eguali all’ob. Adunque, per il Lemma d’Archimede la figura circoscritta è più della terza parte del rettangolo cp, mà era anche minore, il che è impossibile. Adunque il triangolo misto non è manco del terzo del rettangolo cp. Dico parimente che non è più, imperò che se è più del terzo del rettangolo cp, intendasi lo spazio x, eguale all’eccesso del triangolo sopra la terza parte di esso rettangolo cp, e fatta la divisione, e suddivisione del rettangolo in rettangoli sempre eguali, si arriverà à tale, che uno di quelli sia minore dello spazio x: sia fatta; e sia il rettangolo bo minore dell’x, e descritta come sopra la figura havremo nel triangolo misto inscritta una figura compposta di rettangoli vo, tn, sm, nl, qk, la quale non sarà ancora minore della terza parte del gran rettangolo cp. .png)
Imperò che il triangolo misto supera di manco assai la figura inscritta di quello che egli superi la terza parte di esso rettangolo cp, atteso che l’eccesso del triangolo sopra la terza parte del rettangolo cp, è eguale allo spazio x, il quale è minore del rettangolo bo, e questo è anco minore assai dell’eccesso del triangolo sopra la figura inscrittagli; imperò che ad esso rettangolo bo, sono eguali tutti i rettangoletti ag, ge, ef, fh, hi, ib, de i quali son ancora manco che la metà gli avanzi del triangolo, sopra la figura inscritto. E però avanzando il triangolo la terza parte del rettangolo cp, di più assai (avanzandolo dello spazio x) che ei non avanza la sua figura inscritta, sarà tal figura ancora maggiore della terza parte del rettangolo cp, mà ella è minore per il Lemma supposto; imperò che il rettangolo cp, come aggregato di tutti i rettangoli massimi, à i rettangoli componenti la figura inscritta hà la medesima proporzione che l’aggregato di tutti i quadrati delle linee eguali alla massima à i quadrati delle linee, che si eccedono egualmente, trattone il quadrato della massima; e però (come de i quadrati accade) tutto l’aggregato de i massimi (che è il rettangolo cp) è più che triplo dell’aggregato de gli eccedentisi trattone il massimo, che compongono la figura inscritta. Adunque il triangolo misto non è nè maggiore, nè minore della terza parte del rettangolo cp, è dunque eguale.
Sagr. Bella, e ingegnosa dimostrazione, e tanto più, quanto ella ci dà la quadratura della Parabola, mostrandola essere sesquiterza del triangolo inscrittogli, provando quello che Archimede con due trà di loro diversissimi: mà amendue ammirabili, progressi di molte Proposizioni dimostrò. Come anco fu dimostrata ultimamente da Luca Valerio altro Archimede, secondo dell’età nostra, la qual dimostrazione è registrata nel libro, che egli scrisse del Centro della gravità de i solidi.
Salv. Libro veramente da non esser posposto à qual si sia scritto da i più famosi Geometri del presente, e di tutti i secoli passati: il quale quando fù veduto dall’Accademico nostro, lo fece desistere dal proseguire i suoi trovati, che egli andava continuando di scrivere sopra ’l medesimo suggetto; già che vedde il tutto tanto felicemente ritrovato, e dimostrato dal detto S. Valerio.
Sagr. Io ero informato di tutto questo accidente dall’istesso Accademico; e l’havevo anco ricercato, che mi lasciasse una volta vedere le sue Dimostrazioni sin allora ritrovate, quando ei s’incontrò nel libro del S. Valerio; mà non mi successe poi il vederle.
Salv. Io ne hò copia, e le mostrerò a V. S., che haverà gusto di vedere la diversità de i Metodi, con i quali camminano questi due Autori per l’investigazione delle medesime Conclusioni, e loro Dimostrazioni; dove anco alcune delle Conclusioni hanno differente esplicazione, benche in effetto egualmente vere.
Sagr. Mi sarà molto caro il vederle, e V. S. quando ritorni à i soliti congressi, mi farà grazia di portarle seco. Mà intanto essendo questa della resistenza del solido cavato dal Prisma col taglio Parabolico, operazione non men bella, che utile in molte opere Mecaniche, buona cosa sarebbe, per gli Artefici l’haver qualche regola facile, e spedita per potere sopra ’l piano del Prisma segnare essa linea Parabolica.
Salv. Modi di disegnar tali linee ce ne son molti, mà due sopra tutti gli altri speditissimi, glie ne dirò io. Uno de i quali è veramente maraviglioso, poiche con esso in manco tempo, che col Compasso altri disegnerà sottilmente sopra una carta quattro, ò sei Cerchi di differenti grandezze, io posso disegnare trenta, e quaranta linee Paraboliche non men giuste sottili, e pulite delle circonferenze di essi Cerchi. Io hò una palla di Bronzo esquisitamente rotonda non più grande d’una noce, questa tirata sopra uno specchio di metallo tenuto, non eretto all’Orizonte, mà alquanto inchinato, sì che la palla nel moto vi possa camminar sopra calcandolo leggiermente nel muoversi, lascia una linea Parabolica sottilissimamente, e pulitissimamente descritta, e più larga, e più stretta, secondo che la proiezzione si sarà più, ò meno elevata. Dove anco habbiamo chiara, e sensata esperienza, il moto de i Proietti farsi per linee Paraboliche: effetto non osservato prima che dal nostro Amico, il quale ne arreca anco la Dimostrazione nel suo libro del moto, che vedremo insieme nel primo congresso. La palla poi per descrivere al modo detto le Parabole, bisogna con maneggiarla alquanto con la mano scaldarla, et alquanto inumidirla, ché così lascerà più apparenti sopra lo specchio i suoi vestigii. L’altro modo, per disegnar la linea, che cerchiamo sopra il Prisma, procede così: Ferminsi ad alto due chiodi in un parete equidistanti all’Orizonte, e trà di loro lontani il doppio della larghezza del rettangolo, su ’l quale vogliamo notare la semiparabola, e da questi due chiodi penda una catenella sottile, e tanto lunga, che la sua sacca si stenda quanta è la lunghezza del Prisma: questa catenella si piega in figura Parabolica, si che andando punteggiando sopra ’l muro la strada, che vi fà essa catenella, haremo descritta un’intera Parabola: la quale con un Perpendicolo, che penda dal mezo di quei due chiodi, si dividerà in parti eguali. Il trasferir poi tal linea sopra le faccie opposte del Prisma non hà difficoltà nessuna; si che ogni mediocre Artefice lo saprà fare. Potrebbesi anco con l’aiuto delle linee Geometriche segnate su ’l Compasso del nostro Amico senz’altra fattura andar sù l’istessa faccia del Prisma punteggiando la linea medesima.
Habbiamo sin qui dimostrate tante Conclusioni attenenti alla contemplazione di queste resistenze de i solidi all’essere spezzati con l’haver prima aperto l’ingresso à tale scienza col suppor come nota la resistenza per diritto, che si potrà consequentemente camminar avanti ritrovandone altre, et altre Conclusioni, e loro Dimostrazioni di quelle, che in natura sono infinite. Solo per ora per ultimo termine de gli hodierni ragionamenti voglio aggiugnere la specolazione delle resistenze de i solidi vacui, de i quali l’arte, e più la natura si serve in mille operazioni; dove senza crescer peso si cresce grandemente la robustezza: come si vede nell’ossa de gli uccelli, et in moltissime canne, che son leggiere e molto resistenti al piegarsi, e rompersi. che se un fil di paglia, che sostien una spiga più grave di tutto ’l gambo, fusse fatto della medesima quantità di materia, mà fusse massiccio, sarebbe assai meno resistente al piegarsi; et al rompersi. E con tal ragione hà osservato l’arte, e confermato l’esperienza, che un hasta vota, ò una canna di legno, ò di metallo, è molto più salda, che se fusse d’altrettanto peso, e della medesima lunghezza massiccia, che in consequenza sarebbe più sottile, e però l’arte hà trovato di far vote dentro le lancie, quando si desideri haverle gagliarde, e leggiere. Mostreremo per tanto, come
Le resistenze di due Cilindri eguali, et egualmente lunghi, l’uno de i quali sia voto, e l’altro massiccio, hanno tra di loro la medesima proporzione, che i lor Diametri.
Siano, la canna, ò Cilindro voto ae, et il Cilindro in massiccio, eguali in peso, et egualmente lunghi. .png)
Dico, la resistenza della canna ae all’esser rotta alla resistenza del Cilindro solido in haver la medesima proporzione, che ’l Diametro ab al Diametro il. Il che è assai manifesto, perche essendo la canna, e ’l Cilindro in eguali et egualmente lunghi, il Cerchio il, base del Cilindro, sarà eguale alla ciambella ab base della canna ae, (chiamo ciambella la superficie che resta, tratto un Cerchio minore dal suo concentrico maggiore) e però le loro resistenze assolute saranno eguali: mà perche nel romper in traverso ci serviamo, nel Cilindro in, della lunghezza ln per Leva, e per sostegno del punto l, e del semidiametro ò Diametro li per contralleva; e nella canna la parte della Leva, cioè la linea be è eguale alla ln: mà la contralleva oltre al sostegno b è il Diametro ò semidiametro ab; resta manifesto la resistenza della canna superar quella del Cilindro solido secondo l’eccesso del Diametro ab sopra ’l Diametro il. che è quello che cercavamo. S’acquista dunque di robustezza nella canna vota sopra la robustezza del Cilindro solido secondo la proporzione de i Diametri: tutta volta però che amendue siano dell’istessa materia, peso, e lunghezza. Sarà bene che conseguentemente andiamo investigando quello che accaggia negli altri casi indifferentemente trà tutte le canne, e Cilindri solidi egualmente lunghi; benche in quantità di peso diseguali, e più, e meno evacuati. E prima dimostreremo, come:
Data una canna vota, si possa trovare un Cilindro pieno eguale ad essa.
Facilissima è tal’ operazione. Imperò che sia la linea ab Diametro della canna, e cd Diametro del voto. .png)
Applichisi nel Cerchio maggiore la linea ae egual’ al Diametro cd, e congiungasi la eb. E perche nel mezo Cerchio aeb l’angolo e è retto, il Cerchio, il cui Diametro è ab, sarà eguale alli due Cerchi de i Diametri ae, eb: mà ae è il Diametro del voto della canna. adunque il Cerchio, il cui Diametro sia eb, sarà egual’ alla Ciambella acbd: e però il Cilindro solido, il cerchio della cui base habbia il Diametro eb, sarà eguale alla canna, essendo egualmente lungo. Dimostrato questo, potremo speditamente
Trovare qual proporzione abbiano le resistenze d’una canna e di un cilindro, qualunque siano, pur che egualmente lunghi.
Sia la canna abe et il Cilindro rsm egualmente lungo, bisogna trovare qual proporzione habbiano trà di loro le lor resistenze. .png)
Trovisi per la precedente il Cilindro iln eguale alla canna, et egualmente lungo, e delle linee il, rs (Diametri delle basi de i Cilindri in, rm) sia quarta proporzionale la linea v. Dico la resistenza della canna ae à quella del Cilindro rm, esser come la linea ab alla v. Imperò che, essendo la canna ae eguale, et egualmente lunga al Cilindro in, la resistenza della canna alla resistenza del Cilindro starà come la linea ab alla il: mà la resistenza del Cilindro in alla resistenza del Cilindro rm, stà come il Cubo il al Cubo rs, cioè, come la linea il alla v. Adunque ex æquali la resistenza della canna ae alla resistenza del Cilindro rm, hà la medesima proporzione, che la linea ab alla v. che è quello che si cercava.
Finisce la seconda Giornata.