Discorsi e dimostrazioni matematiche intorno a due nuove scienze/Scienzia nuova altra, de i movimenti locali, cioè dell'equabile, del naturalmente accelerato. Giornata terza
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GIORNATA TERZA.
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Salv. Questo, che habbiamo veduto è, quanto il nostro Autore hà scritto del moto equabili. Passeremo dunque à più sottile,e nuova contemplazione intorno al moto naturalmente accelerato, quale è quello, che generalmente è esercitato da i mobili gravi descendenti: et ecco il titolo, e l’introduzione.
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Sagr. Io, si come fuor di ragione mi opporrei à questa, ò ad altra definizione, che da qualsivoglia Autore fusse assegnata, essendo tutte arbitrarie, così ben posso senza offesa dubitare, se tal definizione concepita, et ammessa in astratto; si adatti, convenga, e si verifichi in quella sorte di Moto accelerato, che i gravi naturalmente descendenti vanno esercitando. E perche pare, che l’Autore ci prometta, che tale, quale egli hà definito, sia il moto naturale de i gravi, volentieri mi sentirei rimuover certi scrupoli, che mi perturbano la mente, acciò poi con maggior’ attenzione potessi applicarmi alle proposizioni, e lor dimostrazioni, che si attendono.
Salv. È bene, che V. S., et il Sig. Simplicio vadano proponendo le difficoltà, le quali mi vò immaginando, che siano per essere quelle stesse, che à me ancora sovvennero, quando primieramente veddi questo trattato, e che ò dall’Autor medesimo, ragionandone seco, mi furon sopite, ò tal una ancora da me stesso co’l pensarni rimosse.
Sagr. Mentre io mi vò figurando un mobile grave descendente partirsi dalla quiete, cioè dalla privazione di ogni velocità, et entrare nel moto, et in quello andarsi velocitando secondo la proporzione, che cresce ’l tempo dal primo instante del moto, et havere, v. gr. in otto battute di polso acquistato otto gradi di velocità, della qual nella quarta battuta ne haveva guadagnati quattro, nella seconda due, nella prima uno, essendo il tempo subdivisibile in infinito, ne seguita, che diminuendosi sempre con tal ragione l’antecedente velocità, grado alcuno non sia di velocità così piccolo, ò vogliamo dir di tardità così grande, nel quale non si sia trovato costituito l’istesso mobile dopo la partita dall’infinita tardità, cioè dalla quiete. Tal che se quel grado di velocità, ch’egli hebbe alle quattro battute di tempo, era tale, che mantenendola equabile harebbe corso due miglia in un’ora, e co’l grado di velocità, ch’hebbe nella seconda battuta, harebbe fatto un miglio per ora, convien dire, che ne gl’instanti del tempo più, e più vicini al primo della sua mossa dalla quiete, si trovasse così tardo, che non harebbe (seguitando di muoversi con tal tardità) passato un miglio in un’ora, ne in un giorno, ne in un’anno, ne in mille: ne passato anco un sol palmo în tempo maggiore: accidente, al quale pare, che assai mal agevolmente s’accomodi l’immaginazione, mentre che il senso ci mostra un grave cadente venir subito con gran’ velocità
Salv. Questa è una delle difficoltà, che à me ancora su ’l principio dette, che pensare, mà non molto dopo la rimossi; et il rimuoverla fù effetto della medesima esperienza, che di presente à voi la suscita. Voi dite parervi, che l’esperienza mostri, che à pena partito si il grave dalla quiete entri in una molto notabile velocità; et io dico, che questa medesima esperienza ci chiarisce i primi impeti del cadente, benche gravissimo, esser lentissimi, e tardissimi. Posate un grave sopra una materia cedente, lasciandovelo sin che prema, quanto egli può con la sa semplice gravità: è manifesto, che alzandolo un braccio o due, lasciandolo poi cadere sopra la medesima materia, farà con la percossa nuova pressione, e maggiore, che la fatta prima co ’l solo peso; e l’effetto sarà cagionato dal mobile cadente congiunto con la velocità guadagnata nella caduta, il quale effetto sarà più e più grande, secondo che da maggior’ altezza verrà la percossa; cioè secondo che la velocità del percuziente sarà maggiore. Quanta dunque sia la velocità d’un grave cadente, lo potremo noi senza errore conietturare dalla qualità, e quantità della percossa. Mà ditemi Signori, quel Mazzo, che lasciato cadere sopra un palo dall’altezza di quattro braccia lo ficca in terra, v. gr., quattro dita, venendo dall’altezza di duo braccia lo caccerà assai manco, e meno dall’altezza di uno, e manco da un palmo; e finalmente sollevandolo un dito, che farà di più, che se senza percossa vi fusse posto sopra? certo pochissimo, et operazione del tutto impercettibile sarebbe, se si elevasse, quanto è grosso un foglio. E perche l’effetto della percossa si regola dalla velocità del medesimo percuziente, chi vorrà dubitare, che lentissimo sia ’l moto e più che minima la velocità, dove l’operazione sua sia impercettibile? Veggano hora quanta sia la forza della verità, mentre l’istessa esperienza, che pareva nel primo aspetto mostrare una cosa, meglio considerata ci assicura del contrario. Mà senza ridursi à tale esperienza (che senza dubbio è concludentissima) mi pare che non sia difficile co ’l semplice discorso penetrare una tal verità. Noi habbiamo un sasso grave sostenuto nell’aria in quiete; si libera dal sostegno e si pone in libertà: e come più grave dell’aria, vien descendendo al basso, e non con moto equabile, mà lento nel principio, e continuamente dopo accelerato; et essendo che la velocità è augumentabile, e menomabile in infinito, qual ragione mi persuaderà, che tal mobile partendosi da una tardità infinita (ché tal’ è la quiete), entri immediatamente in dieci gradi di velocità più, che in una di quattro, ò in questa prima, che in una di due, di uno, di un mezo, di un centesimo? Et in somma in tutte le minori in infinito? Sentite in grazia. Io non credo, che voi fuste renitenti a concedermi, che l’acquisto de i gradi di velocità del sasso cadente dallo stato di quiete possa farsi co ’l medesimo ordine, che la diminuzione, e perdita de i medesimi gradi, mentre da virtù impellente fusse ricacciato in sù alla medesima altezza: mà quando ciò sia, non veggo, che si possa dubitare, che nel diminuirsi la velocità del sasso ascendente consumandola tutta possa pervenire allo stato di quiete prima che passar per tutti i gradi di tardità.
Simp. Mà se i gradi di tardità maggiore, e maggiore sono infiniti, già mai non si consumeranno tutti; onde tal grave ascendente non si condurrà mai alla quiete, mà infinitamente si moverà, ritardandosi sempre: cosa che non si vede accadere.
Salv. Accaderebbe cotesto, Sig. Simp., quando il mobile andasse per qualche tempo trattenendosi in ciaschedun grado; mà egli vi passa solamente senza dimorarvi oltre à un’instante; e perche in ogni tempo quanto, ancor che piccolissimo, sono infiniti instanti, però son bastanti à rispondere à gl’infiniti gradi di velocità diminuita. Che poi tal grave ascendente non persista per verun tempo quanto, in alcun medesimo grado di velocità, si fà manifesto così: perche se assegnato qualche tempo quanto nel primo instante di tal tempo, et anco nell’ultimo il mobile si trovasse haver’ il medesimo grado di velocità, potrebbe da questo secondo grado esser parimente sospinto in sù per altrettanto spazio, si come dal primo fù portato al secondo, e per l’istessa ragione passerebbe dal secondo al terzo, e finalmente continuerebbe il suo moto uniforme in infinito.
Sagr. Da questo discorso mi par, che si potrebbe cavare una assai congrua ragione della quistione agitata tra i Filosofi, qual sia la cansa dell’accelerazione del Moto naturale de i gravi. Imperò che mentre io considero nel grave cacciato in sù andarsi continuamente diminuendo quella virtù impressagli dal proiciente, la quale, sin che fù superiore all’altra contraria della gravità, lo sospinse in alto giunte che siano questa, e quella all’equilibrio, resta il mobile di più salire, e passa per lo stato della quiete, nel quale l’impeto impresso non è altramente annichilato, mà solo consumatosi quell’eccesso, che pur dianzi haveva sopra la gravità del mobile, per lo quale prevalendogli lo spigneva in sù. Continuandosi poi la diminuzione di questo impeto straniero, et in consequenza cominciando il vantaggio ad esser dalla parte della gravità, comincià altresi la scesa, mà lenta per il contrasto della virtù impressa, buona parte della quale rimane ancora nel mobile; mà perche ella pur và continuamente diminuendosi, venendo sempre con maggior proporzione superata dalla gravità, quindi nasce la continua accelerazione del moto.
Simp. Il pensiero è arguto, mà più sottile, che saldo: imperò che quando pur sia concludente, non sodisfà se non à quei moti naturali, à i quali sia preceduto un moto violento, nel quale resti ancora vivace parte della virtù esterna: mà dove non sia tal residuo, mà si parta il mobile da una antiquata quiete, cessa la forza di tutto il discorso.
Sagr. Credo che voi siate in errore, e che questa distinzione di casi che fate, sia superflua, ò per dir meglio nulla. Però ditemi, se nel proietto può esser tal’ volta impressa dal proiciente molta, et tal’ ora poca virtù; si che possa essere scagliato in alto cento braccia, et anco venti, ò quattro, ò uno?
Simp. Non è dubbio che sì.
Sagr. E non meno potrà cotal’ virtù impressa di così poco superar la resistenza della gravità, che non l’alzi più d’un dito; e finalmente può la virtù del proiciente esser solamente tanta, che pareggi per l’appunto la resistenza della gravità, si che il mobile sia, non cacciato in alto, mà solamente sostenuto. Quando dunque voi reggete in mano una pietra, che altro gli fate voi, che l’imprimerli tanta virtù impellente all’in sù, quanta è la facoltà della sua gravità, traente in giù? E questa vostra virtù non continuate voi di conservargliela impressa per tutto il tempo, che voi la sostenete in mano? Si diminuisce ella forse per la lunga dimora, che voi la reggete? E questo sostentamento, che vieta la scesa al sasso, che importa, che sia fatto più dalla vostra mano, che da una tavola, ò da una corda, dalla quale ei sia sospeso? Certo niente. Concludete per tanto, Sig. Simp., che il precedere alla caduta del sasso una quiete lunga, ò breve, ò momentanea, non fà differenza alcuna, si che il sasso non parta sempre affetto da tanta virtù contraria alla sua gravità, quanta appunto bastava à tenerlo in quiete.
Salv. Non mi par tempo opportuno d’entrare al presente nell’investigazione della causa dell’accelerazione del Moto naturale, intorno alla quale da varii Filosofi varie sentenzie sono state prodotte: riducendola alcuni all’avvicinamento al centro, altri al restar successivamente manco parti del mezo da fendersi: altri à certa estrusione del mezo ambiente, il quale nel ricongiugnersi à tergo del mobile lo và premendo, e continuatamente scacciando, le quali fantasie, con altre appresso converrebbe andare esaminando, e con poco guadagno risolvendo. Per ora basta al nostro Autore, che noi intendiamo, che egli ci vuole investigare, e dimostrare alcune passioni di un Moto accelerato (qualunque si sia la causa della sua accelerazione) talmente che i momenti della sua velocità vadano accrescendosi dopo la sua partita dalla quiete con quella semplicissima proporzione con la quale cresce la continuazion del tempo, che è quanto dire, che in tempi eguali si facciano eguali additamenti di velocità. E se s’incontrerà, che gli accidenti, che poi saranno dimostrati, si verifichino nel moto de i gravi naturalmente descendenti, et accelerati, potremo reputare, che l’assunta definizione comprenda cotal moto de i gravi, e che vero sia che l’accelerazione loro vadia crescendo secondo, che cresce il tempo, e la durazione del moto.
Sagr. Per quanto per ora mi si rappresenta all’intelletto, mi pare che con chiarezza forse maggiore si fusse potuto definire, senza variare il concetto: Moto uniformemente accelerato esser quello, nel qual la velocità andasse crescendo secondo, che cresce lo spazio, che si và passando; sì che per esempio il grado di velocità acquistato dal mobile nella scesa di quattro braccia, fusse doppio di quello ch’egli hebbe sceso che e fà lo spazio di due, e questo doppio del conseguito nello spazio del primo braccio. Perche non mi par, che sia da dubitare, che quel grave, che viene dall’altezza di sei braccia, non habbia, e perquota con impeto doppio di quello che hebbe, sceso che fù trè braccia, e triplo di quello che hebbe alle due, e sescuplo dell’hauto nello spazio di uno.
Salv. Io mi consolo assai d’haver hauto un tanto compagno nell’errore; e più vi dirò, che il vostro discorso hà tanto del verisimile, e del probabile, che il nostro medesimo Autore non mi nego, quando io glielo proposi, d’esser’ egli ancora stato per qualche tempo nella medesima fallacia. Mà quello, di che io poi sommamente mi maravigliai, fù il vedere scoprir con quattro semplicissime parole, non pur false, mà impossibili due proposizioni, che hanno del verisimile tanto, che havendole io proposte à molti, non hò trovato, chi liberamente non me l’ammettesse.
Simp. Veramente io sarei del numero de i conceditori, e che il grave descendente vires acquirat eundo, crescendo la velocità à ragion dello spazio, e che ’l momento dell’istesso percuziente sia doppio venendo da doppia altezza, mi paiono proposizioni da concedersi senza repugnanza, ò controversia.
Salv. E pur son tanto false, e impossibili, quanto che il moto si faccia in un’instante. Et eccovene chiarissima dimostrazione. Quando le velocità hanno la medesima proporzione, che gli spazii passati, ò da passarsi, tali spazii vengon passati in tempi eguali; se dunque le velocità, con le quali il cadente passò lo spazio di quattro braccia, furon doppie delle velocità, con le quali passò le due prime braccia (si come lo spazio è doppio dello spazio), adunque i tempi di tali passaggi sono eguali; mà passare il medesimo mobile le quattro braccia, e le due nell’istesso tempo non può aver luogo fuor che nel moto istantaneo. Mà noi veggiamo, che il grave cadente fà suo moto in tempo, et in minore passa le due braccia, che le quattro. Adunque è falso, che la velocità sua cresca come lo spazio. L’altra proposizione si dimostra falsa con la medesima chiarezza. Imperò che essendo quello che percuote il medesimo; non può determinarsi la differenza, e momento delle percosse, se non dalla differenza, della velocità. Quando dunque il percuziente venendo la doppia altezza facesse percossa di doppio momento, bisognerebbe, che percotesse con doppia velocità; mà la doppia velocità passa il doppio spazio nell’istesso tempo: e noi veggiamo il tempo della scesa dalla maggior’ altezza esser più lungo.
Sagr. Troppa evidenza, troppa agevolezza è questa, con la quale manifestate conclusioni ascoste; questa somma facilità le rende di minor pregio, che non erano, mentre stavano sotto contrario sembiante. Poco penso io, che prezzerebbe l’universale notizie acquistate con si poca fatica in comparazione di quelle, intorno alle quali si fanno lunghe, et inesplicabili altercazioni.
Salv. A quelli i quali con gran brevità e chiarezza mostrano le fallacie di proposizioni state comunemente tenute per vere dall’universale, danno assai comportabile sarebbe il riportarne solamente disprezzo in luogo di aggradimento: mà bene spiacevole, e molesto riesce cert’altro affetto, che suol tal volta destarsi in alcuni, che pretendendo ne i medesimi studii almeno la parità con chiunque si sia, si veggono haver trapassate per vere conclusioni, che poi da un’altro con breve, e facile discorso vengono scoperte, e dichiarate false. Io non chiamerò tale affetto invidia, solita à convertirsi poi in odio, et ira contro agli scopritori di tali fallacie, mà lo dirò uno stimolo, e una brama di voler più presto mantener gl’errori inveterati, che permetter che si ricevano le verità nuovamente scoperte: la qual brama tal volta gl’induce à scrivere in contradizione à quelle verità, pur troppo internamente conosciute anco da loro medesimi, solo per tener bassa nel concetto del numeroso, e poco intelligente vulgo l’altrui reputazione. Di simili conclusioni false ricevute per vere, e di agevolissima confutazione, non piccol numero ne hò io sentite dal nostro Academico, di parte delle quali hò anco tenuto registro.
Sagr. E V. S. non dovrà privarcene, mà à suo tempo farcene parte, quando ben’ anco bisognasse in grazia loro fare una particolar sessione. Per hora, continuando il nostro filo parmi, che sin quì habbiamo fermata la definizione del Moto uniformemente accelerato, del quale si tratta ne i discorsi, che seguono; et è:Motum æquabiliter, seu uniformiter acceleratum dicimus eum, qui à quiete, recedens temporibus æqualibus æqualia celeritatis momenta sibi superaddit.
Accipio, gradus velocitatis ejusdem mobilis super diversas planorum inclinationes acquistos tunc esse æquales, cum eorumdem planorum elevationes æquales sint.
Chiama la elevazione di un piano inclinato la perpendicolare, che dal termine sublime di esso piano casca sopra la linea orizontale prodotta per l’infimo termine di esso piano inclinato; come, per intelligenza, essendo la linea ab parallela all’orizonte, sopra ’l quale siano inclinati li due piani ca, cd; la perpendicolare cb cadente sopra l’orizontale ba, chiama l’Autore .png)
la elevazione de i Piani ca, cd, e suppone, che i gradi di velocità del medesimo mobili scendente per li piani inclinati ca, cd, acquistati ne i termini ad, siano eguali, per esser la loro elevazione l’istessa cb. E tanto anco si deve intendere il grado di velocità, che il medesimo cadente dal punto c harebbe nel termine b.
Sagr. Veramente mi par, che tal supposto habbia tanto del probabile, che meriti di esser senza controversia conceduto: intendendo sempre, che si rimuovano tutti gl’impedimenti accidentarii, et esterni; e che i piani siano ben solidi, e tersi, et il mobile di figura perfettissimamente rotonda, si che et il piano, et il mobile non habbiano scabrosità. Rimossi tutti i contrasti, et impedimenti, il lume naturale mi detta senza difficoltà, che una Palla grave, e perfettamente rotonda, scendendo per le linee ca, cd, cb, giugnerebbe ne i termini adb, con impeti eguali.
Salv. Voi molto probabilmente discorrete: mà oltre al verisimile voglio con una esperienza accrescer tanto la probabilità, che poco gli manchi all’agguagliarsi ad una ben necessaria dimostrazione. Figuratevi questo foglio essere una parete eretta all’orizonte, e da un chiodo fitto in essa pendere una palla di piombo d’un’oncia, ò due sospesa dal sottil filo ab lungo due, ò tre braccia perpendicolare all’orizonte; e nella parete segnate una linea orizontale dc segante à squadra il perpendicolo ab, il quale sia lontano dalla parete due dita in circa: trasferendo poi il filo ab con la palla in ac, lasciate essa palla in libertà, la quale primieramente .png)
vedrete scendere descrivendo l’arco cbd, e di tanto trapassare il termine b, che scorrendo per l’arco bd sormonterà sino quasi alla segnata parallela cd, restando di pervenirvi per piccolissimo intervallo, toltogli il precisamente arrivarvi dall’impedimento dell’aria e del filo. Dal che possiamo veracemente concludere, che l’impeto acquistato nel punto b dalla palla, nello scendere per l’arco cb, fù tanto, che bastò à risospingersi per un simile arco bd alla medesima altezza; fatta, e più volte reiterata cotale esperienza, voglio che ficchiamo nella parete rasente al perpendicolo ab un chiodo, come in e, ò vero in f, che sporga in fuori cinque, ò sei dita; e questo acciò che il filo ac tornando come prima à riportar la palla c per l’arco cb, giunta che ella sia in b intoppando il filo nel chiodo e, sia costretta a camminare per la circonferenza bg, descritta intorno al centro e, dal che vedremo quello che potrà far quel medesimo impeto che, dianzi concepito nel medesimo termine b, sospinse l’istesso mobile per l’arco bd all’altezza della orizontale cd. Hora Signori voi vedrete con gusto condursi la palla all’orizontale nel punto g, e l’istesso accadere, se l’intoppo si mettesse più basso, come in f, dove la palla descriverebbe l’arco bi, terminando sempre la sua salita precisamente nella linea cd, e quando l’intoppo del chiodo fusse tanto basso, che l’avanzo del filo sotto di lui non arrivasse all’altezza di cd, (il che accaderebbe, quando fusse più vicino al punto b, che al segamento dell’ab con l’orizontale cd,) all’ora il filo cavalcherebbe il chiodo, e se gli avvolgerebbe intorno. Questa esperienza non lascia luogo di dubitare della verità del supposto: imperò che essendo li due archi cb, db eguali, e similmente posti, l’acquisto di momento fatto per la scesa nell’arco cb, è il medesimo che il fatto per la scesa dell’arco db, mà il momento acquistato in b per l’arco cb, è potente à risospingere in sù il medesimo mobile per l’arco bd; adunque anco il momento acquistato nella scesa db, è eguale à quello, che sospigne l’istesso mobile per il medesimo arco da b in d, si che universalmente, ogni momento acquistato per la scesa d’un arco è eguale à quello, che può far risalire l’istesso mobile per il medesimo arco: mà i momenti tutti che fanno risalire per tutti gli archi bd, bg, bi sono eguali, poiche son fatti dall’istesso medesimo momento acquistato per la scesa cb, come mostra l’esperienza. Adunque tutti i momenti, che si acquistano per le scese ne gli archi db, gb, ib sono eguali.
Sagr. Il discorso mi par concludentissimo, e l’esperienza tanto accomodata per verificare il postulato, che molto ben sia degno d’esser conceduto, come se fusse dimostrato.
Salv. Io non voglio, Sig. Sagr., che noi ci pigliamo più del dovere: e massimamente che di questo assunto ci habbiamo à servire principalmente ne i moti fatti sopra superficie rette, e non sopra curve, nelle quali l’accelerazione procede con gradi molto differenti da quelli, con i quali noi pigliamo, ch’ella proceda ne piani retti. Di modo che, se ben l’esperienza addotta ci mostra, che la scesa per l’arco cb conferisce al mobile momento tale, che può ricondurlo alla medesima altezza per qualsivoglia arco bc, bg, bi, noi non possiamo con simile evidenza mostrare, che l’istesso accadesse, quando una perfettissima palla dovesse scendere per piani retti inclinati secondo le inclinazioni delle corde di questi medesimi archi: anzi è credibile che formandosi angoli da essi piani retti nel termine b, la palla scesa per l’inclinato secondo la corda cb, trovando intoppo ne i piani ascendenti secondo le corde bd, bg, bi, nell’urtare in essi perderebbe del suo impeto, nè potrebbe salendo condursi all’altezza della linea cd. Mà levato l’intoppo, che progiudica all’esperienza, mi par bene, che l’intelletto resti capace, che l’impeto (che in effetto piglia vigore dalla quantità della scesa) sarebbe potente à ricondurre il mobile alla medesima altezza. Prendiamo dunque per hora questo, come Postulato, la verità assoluta del quale ci verrà poi stabilita dal vedere altre conclusioni fabbricate sopra tale Ipotesi rispondere, e puntualmente confrontarsi con l’esperienza. Supposto dall’Autore questo solo principio passa alle proposizioni dimostrativamente concludendole, delle quali la prima è questa.